1、山东省菏泽市单县 2016 届九年级上学期期末数学试卷 一、选择题（本大题共 8 个小题，每小题 3 分，共 24 分在每小题给出的四个选项 A，B，C，D 中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项选出来并填在该题相应的括号内） 1同时投掷两枚硬币，出现两枚都是正面朝上的概率是（ ） A B C1 D 2根据下列表格对应值： x 3 4 5 ax2+bx+c 0.5 0.5 1 判断关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 的一个解 x 的范围是（ ） Ax3 Bx2 C4x 5 D3x4 3抛物线 y=（x+2 ） 23 可以由抛物线 y=x2 平移得到，则下列平移过程正确的是（ ） A先向左
2、平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位 B先向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位 C先向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位 D先向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位 4在 RtABC 中， C=90， AC=9，sinB= ，则 AB=（ ） A15 B12 C9 D6 5用配方法解一元二次方程 4x24x=1，变形正确的是（ ） A B C D （x1） 2=0 6如图，在O 中，半径 OA弦 BC，AOB=50，点 D 在圆上，则ADC 的度数是（ ） A50 B40 C30 D25 7如图，Rt ABC 中， ACB=90，ABC=60，BC=2cm，D 为 B
3、C 的中点，若动点 E 以 1cm/s 的 速度从 A 点出发，沿着 AB 的方向运动，设 E 点的运动时间为 t 秒（0t4） ，连接 DE，当以 B、D、E 为顶点的三角形与ABC 相似时，t 的值为（ ） A2 B2.5 或 3.5 C2 或 3.5 D2 或 2.5 8二次函数 y=ax2+（a+c ）x+c 与一次函数 y=ax+c 在同一直角坐标系中的大致图象正确的是（ ） A B C D 二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分只要求写出最后结果，每小题填对得 3 分） 9已知关于 x 的一元二次方程（a+1）x 24x+1=0 有两个不相等的实数根，则 a
4、 的取值范围是 10如图，抛物线的对称轴是 x=1，与 x 轴交于 A、B 两点，若 B 点坐标是（1.7，0） ，则 A 点的 坐标是 11如图所示，CD 是一个平面镜，光线从 A 点射出经过 CD 上的 E 点反射后照射到 B 点，设入射 角为 （入射角等于反射角） ，AC CD，BDCD，垂足分别为点 C，D若 AC=3，CE=4，ED=8，则 BD= 12某书店 2013 年第一季度进书 50 万册，前三个季度共进书 175 万册，设二、三季度的平均增长 率为 x 则可列方程为 13当宽为 3cm 的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数如图所示（单位： cm） ，那么该
5、圆的半径为 cm 14如图，A、B 是双曲线 y= 上的两点，过 A 点作 ACx 轴，交 OB 于 D 点，垂足为 C，若 ADO 的面积为 3，D 为 OB 的中点，则 k 的值为 三、解答题：本大题共 7 个小题，共 78 分解答应写出必要的文字说明或演算步骤 15解方程：（2x1） 2=2x1 16如图，在边长为 9 的正三角形 ABC 中，点 D 在 BC 边上且 BD=3，点 E 在 AC 边上且 ADE=60，求 AE 的长 17在菏泽服装批发市场，某种品牌的时装当季即将来临是，价格呈上升趋势，设这种时装开始时 定价为 20 元，从第二周开始每周涨价 2 元，从第 6 周开始保持
6、 30 元的价格平稳销售，从第 12 周 开始，当季节即将过去时，平均每周减价 2 元，直到第 16 周周末，该服装不再销售试建立售价 y 与周次 x 之间的函数关系式 18如图，一次函数 y=kx+b 的图象与反比例函数 y= 的图象相交于 A、B 两点 （1）根据图象，分别写出 A、B 的坐标； （2）求出两函数解析式； （3）根据图象回答：当 x 为何值时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值 19如图，有一块长和宽分别为 70 厘米和 50 厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个全等的小 正方形，做成一个无盖的长方体铁盒，且使盒子的底面积为 1500 平方厘米，那么做成盒子的高是 多
7、少厘米？ 20一个不透明的布袋里装有 3 个小球，其中 2 个红球，1 个白球，它们除颜色外其余都相同 （1）求摸出 1 个小球是白球的概率； （2）摸出 1 个小球，记下颜色后放回，并搅均，再摸出 1 个小球求两次摸出的小球恰好颜色不 同的概率 （要求画树状图或列表） 21如图，某校 2016 届九年级课外活动小组，在测量树高的一次活动中，测得树底部中心 A 到斜 坡底 C 的水平距离为 8m，在阳光下某一时刻测得 1m 场的标杆影长是 0.5m，同时树影落在斜坡上 的部分 CD=4m，已知斜坡 CD 的坡比 i=1： ，求树高 AB （结果保留根号） 22如图，Rt ABC 中， C=90
8、，AC= ，tanB= ，半径为 2 的C，分别交 AC，BC 于点 D，E，得到 （1）求证：AB 为 C 的切线； （2）求图中阴影部分的面积 23某商场销售一种进价为 20 元/台的台灯，经调查发现，该台灯每天的销售量 w（台） ，销售单 价 x（元）满足 w=2x+80，设销售这种台灯每天的利润为 y（元） （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）当销售单价定为多少元时毎天的利润最大？最大利润多少？ （3）在保证销售量尽可能大的前提下该商场每天还想获得 150 元的利润，应将销售单价定位为 多少元？ 24已知抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交
9、于点 C，O 是坐标原点，点 A 的坐标 是（1， 0） ，点 C 的坐标是（ 0，3） （1）求抛物线的函数表达式； （2）求直线 BC 的函数表达式和ABC 的度数； （3）P 为线段 BC 上一点，连接 AC，AP，若 ACB=PAB，求点 P 的坐标 山东省菏泽市单县 2016 届九年级上学期期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 8 个小题，每小题 3 分，共 24 分在每小题给出的四个选项 A，B，C，D 中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项选出来并填在该题相应的括号内） 1同时投掷两枚硬币，出现两枚都是正面朝上的概率是（ ） A B C1 D 【考点】列表法与
10、树状图法 【专题】计算题 【分析】先画树状图展示所有 4 种等可能的结果数，再找出两枚都是正面朝上的结果数，然后根据 概率公式计算 【解答】解：画树状图为： 共有 4 种等可能的结果数，其中两枚都是正面朝上的结果数为 1， 所以出现两枚都是正面朝上的概率= 故选 B 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出 n，再从 中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，求出概率 2根据下列表格对应值： x 3 4 5 ax2+bx+c 0.5 0.5 1 判断关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 的一个解 x 的范围是（ ） Ax3 Bx2 C4x 5 D3x4
11、 【考点】图象法求一元二次方程的近似根 【分析】根据图表数据确定出代数式的值为 0 的 x 的取值范围即可 【解答】解：由图表可知，ax 2+bx+c=0 时，3x4 故选 D 【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，根据图表信息确定出代数式的值为 0 的 x 的 取值范围是解题的关键 3抛物线 y=（x+2 ） 23 可以由抛物线 y=x2 平移得到，则下列平移过程正确的是（ ） A先向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位 B先向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位 C先向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位 D先向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位 【考点
12、】二次函数图象与几何变换 【分析】根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可 【解答】解：抛物线 y=x2 向左平移 2 个单位可得到抛物线 y=（x+2） 2， 抛物线 y=（x+2） 2，再向下平移 3 个单位即可得到抛物线 y=（x+2） 23 故平移过程为：先向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位 故选：B 【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下 减 4在 RtABC 中， C=90， AC=9，sinB= ，则 AB=（ ） A15 B12 C9 D6 【考点】解直角三角形 【分析】利用 sinB= 【解答】解：如图： 在直角三
13、角形 ABC 中 sinB= ，AC=9， AB= 故选：A 【点评】考查直角三角形的正弦函数的性质 5用配方法解一元二次方程 4x24x=1，变形正确的是（ ） A B C D （x1） 2=0 【考点】解一元二次方程-配方法 【专题】计算题 【分析】在本题中，把二次项系数化为 1 后，应该在左右两边同时加上一次项系数1 的一半的平 方 【解答】解：把二次项系数化为 1，得到 x2x= ， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到 x2x+ = + ， 配方得（x ） 2= 故选 B 【点评】配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为 1； （3）等式两边
14、同时加上一次项系数一半的平方 选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为 1，一次项的系数是 2 的倍数 6如图，在O 中，半径 OA弦 BC，AOB=50，点 D 在圆上，则ADC 的度数是（ ） A50 B40 C30 D25 【考点】圆周角定理；垂径定理 【分析】由垂径定理得出 ，再由圆周角定理即可得出结果 【解答】解：A、B 、C、D 是O 上的四点，OA BC， ， ADC= AOB（等弧所对的圆周角是圆心角的一半） ； 又AOB=50， ADC=25 故选：D 【点评】本题考查了垂径定理、圆周角定理由垂径定理得出相等的弧是解决问题的关键 7如图，Rt ABC 中， A
15、CB=90，ABC=60，BC=2cm，D 为 BC 的中点，若动点 E 以 1cm/s 的 速度从 A 点出发，沿着 AB 的方向运动，设 E 点的运动时间为 t 秒（0t4） ，连接 DE，当以 B、D、E 为顶点的三角形与ABC 相似时，t 的值为（ ） A2 B2.5 或 3.5 C2 或 3.5 D2 或 2.5 【考点】相似三角形的判定 【专题】动点型 【分析】求出 AB=2BC=4cm，分两种情况： 当EDB=ACB=90时，DEAC，EBDABC， 得出 AE=BE= AB=2cm，即可得出 t=2s；当DEB=ACB=90 时，证出DBEABC，得出 BDE=A=30，因此
16、BE= BD= cm，得出 AE=3.5cm，t=3.5s ；即可得出结果 【解答】解：，ACB=90， ABC=60， A=30， AB=2BC=4cm， 分两种情况： 当 EDB=ACB=90时， DEAC，EBDABC， D 为 BC 的中点， BD=CD= BC=1cm，E 为 AB 的中点，AE=BE= AB=2cm， t=2s； 当 DEB=ACB=90时， B=B， DBEABC， BDE=A=30， BE= BD= cm， AE=3.5cm， t=3.5s； 综上所述：当以 B、D、E 为顶点的三角形与ABC 相似时，t 的值为 2 或 3.5； 故选：C 【点评】本题考查了相
17、似三角形的判定、平行线的性质、含 30角的直角三角形的性质等知识；熟 记相似三角形的判定方法是解决问题的关键，注意分类讨论 8二次函数 y=ax2+（a+c ）x+c 与一次函数 y=ax+c 在同一直角坐标系中的大致图象正确的是（ ） A B C D 【考点】二次函数的图象；一次函数的图象 【分析】先由一次函数 y=ax+c 图象得到字母系数的正负，再与二次函数 y=ax2+（a+c）x+c 的图象 相比较看是否一致，用排除法即可解答 【解答】解：A、一次函数 y=ax+c 的图象过一、三象限，a0，与二次函数开口向下，即 a0 相 矛盾，错误； B、一次函数 y=ax+c 的图象过二、四象
18、限， a0，与二次函数开口向上，a0 相矛盾，错误； C、y=ax 2+（a+c）x+c=（ax+c） （x+1 ） ，故此二次函数与 x 轴的两个交点为（ ，0） ， （1，0） ，一 次函数 y=ax+c 与 x 轴的交点为（ ，0） ，故两函数在 x 轴上有交点，错误； 排除 A、B、C， 故选 D 【点评】本题考查的是二次函数的图象，熟知二次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键 二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分只要求写出最后结果，每小题填对得 3 分） 9已知关于 x 的一元二次方程（a+1）x 24x+1=0 有两个不相等的实数根，则 a 的取值范围是
19、 a3 且 a1 【考点】根的判别式；一元二次方程的定义 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到 a+10 且=（ 4） 24（a+1）0，然后解两 个不等式得到它们的公共部分即可 【解答】解：根据题意得 a+10 且 =（4） 24（a+1）0， 解得 a3 且 a1 故答案为 a3 且 a1 【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a 0）的根的判别式=b 24ac：当 0，方程有两 个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当 0，方程没有实数根也考查了一元 二次方程的定义 10如图，抛物线的对称轴是 x=1，与 x 轴交于 A、B 两点，若 B 点坐标是
20、（1.7，0） ，则 A 点的 坐标是 （0.3，0） 【考点】抛物线与 x 轴的交点 【分析】已知抛物线的对称轴和 x 轴的一个交点坐标，根据对称轴方程即可求得 A 点的坐标 【解答】解：设 A 点坐标为（ x1，0） ， 抛物线的对称轴是 x=1， =1， 解得：x 1=0.3， A 点的坐标是（0.3，0） ； 故答案为：（0.3，0） 【点评】本题考查了抛物线与坐标轴的交点；熟记抛物线与坐标轴的交点横坐标和对称轴的关系是 解决问题的关键 11如图所示，CD 是一个平面镜，光线从 A 点射出经过 CD 上的 E 点反射后照射到 B 点，设入射 角为 （入射角等于反射角） ，AC CD，B
21、DCD，垂足分别为点 C，D若 AC=3，CE=4，ED=8，则 BD= 6 【考点】相似三角形的应用 【分析】运用所学知识，找出所需的量，运用相似图形，对应边成比例解答 【解答】解：由镜面反射对称可知：A= B， AEC=BED AECBED = 又 AC=3，CE=4，ED=8， = ， 解得：BD=6 故答案为：6 【点评】本题考查了相似三角形的应用，根据题中已知数量，找出与 的相等角，再转换到相应的 三角函数中 12某书店 2013 年第一季度进书 50 万册，前三个季度共进书 175 万册，设二、三季度的平均增长 率为 x 则可列方程为 50+50（1+x）+50 （1+x） 2=1
22、75 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程 【专题】增长率问题 【分析】设二、三季度的平均增长率为 x，根据第一季度进书 50 万册，前三个季度共进书 175 万 册，可列出方程 【解答】解：设以后每季度比上一季度增加 x， 根据题意得：50+50（1+x ）+50（1+x） 2=175， 故答案为 50+50（1+x ）+50 （ 1+x） 2=175 【点评】本题考查理解题意的能力，关键是设出增长率后，根据前三季度共进书 175 万册做为等量 关系列方程求解 13当宽为 3cm 的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数如图所示（单位： cm） ，那么该圆的半径为 cm 【考点
23、】垂径定理的应用；勾股定理 【专题】压轴题；探究型 【分析】连接 OA，过点 O 作 ODAB 于点 D，由垂径定理可知， AD= AB= （9 1）=4，设 OA=r，则 OD=r3，在 RtOAD 中利用勾股定理求出 r 的值即可 【解答】解：连接 OA，过点 O 作 ODAB 于点 D， ODAB， AD= AB= （9 1）=4cm ， 设 OA=r，则 OD=r3， 在 RtOAD 中， OA2OD2=AD2，即 r2（r 3） 2=42，解得 r= cm 故答案为： 【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题 的关键 14如图，A、B 是
24、双曲线 y= 上的两点，过 A 点作 ACx 轴，交 OB 于 D 点，垂足为 C，若 ADO 的面积为 3，D 为 OB 的中点，则 k 的值为 8 【考点】反比例函数系数 k 的几何意义 【分析】过点 B 作 BEx 轴于点 E，根据 D 为 OB 的中点可知 CD 是OBE 的中位线，即 CD= BE，设 A（x， ） ，则 B（2x， ） ，CD= ，AD= ，再由ADO 的面积为 1 求出 y 的 值即可得出结论 【解答】解：过点 B 作 BEx 轴于点 E， D 为 OB 的中点， CD 是OBE 的中位线，即 CD= BE 设 A（x， ） ，则 B（2x， ） ，CD= ，AD
25、= ， ADO 的面积为 3， ADOC=3， （ ） x=3， 解得 k=8， 故答案是：8 【点评】本题考查反比例函数系数 k 的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线， 与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|本知识点是 2016 届中考的重要考点，同学们应高度关注 三、解答题：本大题共 7 个小题，共 78 分解答应写出必要的文字说明或演算步骤 15解方程：（2x1） 2=2x1 【考点】解一元二次方程-因式分解法 【分析】首先移项，再进一步利用提取公因式法分解因式，求得方程的解即可 【解答】解：（2x1） 2=2x1 （2x1） 2（2x 1）=0 （2x1） （2x 11）
26、=0 （2x1） （2x 2） =0 解得：x 1= ，x 2=1 【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为 0，再把左边通过因式分解 化为两个一次因式的积的形式，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题即可 16如图，在边长为 9 的正三角形 ABC 中，点 D 在 BC 边上且 BD=3，点 E 在 AC 边上且 ADE=60，求 AE 的长 【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质 【分析】由ABC 是等边三角形可推得B=C=60，AB=BC ，进而得到 CD=BCBD=6，于是得到 BAD+ADB=120，又ADE=60，可得ADB+ EDC=120，于
27、是有DAB=EDC，可证得 ABDDCE，根据相似三角形的性质求得 CE，即可求得 AE 【解答】解：ABC 是等边三角形， B=C=60，AB=BC； CD=BCBD=93=6； BAD+ADB=120 ADE=60， ADB+EDC=120， DAB=EDC， 又B=C=60 ， ABDDCE， 则 ， 即 = ， 解得：CE=2， 故 AE=ACCE=92=7 【点评】本题主要考查了等边三角形的性质相似三角形的判定和性质，能够求得DAB= EDC，证 出ABDDCE 是解题的关键 17在菏泽服装批发市场，某种品牌的时装当季即将来临是，价格呈上升趋势，设这种时装开始时 定价为 20 元，从
28、第二周开始每周涨价 2 元，从第 6 周开始保持 30 元的价格平稳销售，从第 12 周 开始，当季节即将过去时，平均每周减价 2 元，直到第 16 周周末，该服装不再销售试建立售价 y 与周次 x 之间的函数关系式 【考点】分段函数 【分析】由于 y 与 x 之间的函数关系式为分段函数，分情况解答即可 【解答】解：依题意，可建立的函数关系式为： y= ； 即 y= 【点评】此题考查分段函数问题，题目所涉及的内容在求解过程中，要注意分段函数问题先分段解 决，最后再整理、归纳得出最终结论，另外还要考虑结果是否满足各段的要求，这是解此类综合应 用题目的特点 18如图，一次函数 y=kx+b 的图象
29、与反比例函数 y= 的图象相交于 A、B 两点 （1）根据图象，分别写出 A、B 的坐标； （2）求出两函数解析式； （3）根据图象回答：当 x 为何值时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【专题】压轴题；数形结合；待定系数法 【分析】 （1）直接由图象就可得到 A（6，2） 、B （4，3 ） ； （2）把点 A、B 的坐标代入两函数的解析式，利用方程组求出 k、b、m 的值，即可得到两函数解 析式； （3）结合图象，分别在第一、二象限求出一次函数的函数值反比例函数的函数值的 x 的取值范 围 【解答】解：（1）由图象得 A（6，2） ，B （4
30、，3） （2）设一次函数的解析式为 y=kx+b， （k0） ； 把 A、B 点的坐标代入得 解得 ， 一次函数的解析式为 y= x+1， 设反比例函数的解析式为 y= ， 把 A 点坐标代入得 ， 解得 a=12， 反比例函数的解析式为 （3）当6x 0 或 x4 时一次函数的值反比例函数的值 【点评】本类题目主要考查一次函数、反比例函数的图象和性质，考查待定系数法求函数解析式的 基本方法，以及从平面直角坐标系中读图获取有效信息的能力，考查数形结合的数学思想，另外， 还需灵活运用方程组解决相关问题 19如图，有一块长和宽分别为 70 厘米和 50 厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个全等的
31、小 正方形，做成一个无盖的长方体铁盒，且使盒子的底面积为 1500 平方厘米，那么做成盒子的高是 多少厘米？ 【考点】一元二次方程的应用 【专题】几何图形问题 【分析】设截去的小正方形的边长为 xcm，则长方体盒子的底的长为（702x）cm，宽为（502x） cm根据题意列出方程就可以求出其解 【解答】解：设做成盒子的高是 x 厘米，由题意得： （702x ） （50 2x）=1500 ， 整理得：x 260x+500=0， x=10 或 50， 显然 x50，故只取 x=10， 即做成盒子的高是 10 厘米 【点评】本题是一道几何图形问题，考查了利用矩形的面积公式建立一元二次方程求解的运用在
32、 解答中注意要检验方程的根是否使实际问题有意义这是在解答时学生容易忽略的问题 20一个不透明的布袋里装有 3 个小球，其中 2 个红球，1 个白球，它们除颜色外其余都相同 （1）求摸出 1 个小球是白球的概率； （2）摸出 1 个小球，记下颜色后放回，并搅均，再摸出 1 个小球求两次摸出的小球恰好颜色不 同的概率 （要求画树状图或列表） 【考点】列表法与树状图法；概率公式 【分析】 （1）由一个不透明的布袋里装有 3 个小球，其中 2 个红球，1 个白球，利用概率公式求解 即可求得答案； （2）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与两次摸出的小球恰好颜色不同 的情况，再利用概率
33、公式求解即可求得答案 【解答】解：（1）一个不透明的布袋里装有 3 个小球，其中 2 个红球，1 个白球， P（摸出 1 个小球是白球）= ； （2）列表得： 红 1 红 2 白 红 1 （红 1，红 1） （红 1，红 2） （红 1，白） 红 2 （红 2，红 1） （红 2，红 2） （红 2，白） 白 （白，红 1） （白，红 2） （白，白） 所有等可能情况一共有 9 种，其中颜色恰好不同有 4 种， P（两次摸出的小球恰好颜色不同）= 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列 出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步
34、或两步以上完成的事件；注 意概率=所求情况数与总情况数之比 21如图，某校 2016 届九年级课外活动小组，在测量树高的一次活动中，测得树底部中心 A 到斜 坡底 C 的水平距离为 8m，在阳光下某一时刻测得 1m 场的标杆影长是 0.5m，同时树影落在斜坡上 的部分 CD=4m，已知斜坡 CD 的坡比 i=1： ，求树高 AB （结果保留根号） 【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题 【专题】探究型 【分析】延长 BD 与 AC 的延长线交于点 E，过点 D 作 DHAE 于点 H，由题意可得 CH、DH 、HE 的长度，从而可以求得 AE 的长，然后根据在阳光下某一时刻测得 1m 场的标
35、杆影长是 0.5m，可以 求得 AB 的长 【解答】解：如图，延长 BD 与 AC 的延长线交于点 E，过点 D 作 DHAE 于点 H， i=tanDCH= = = ， DCH=30， DH= CD=2（m） ，CH= DH=2 （m） ， 由题意可知， =1：0.5=2 ， HE=1（m） ， AE=AC+CH+HE=8+2 +1=9+2 （m） ， =1：0.5=2 ， AB=2AE=18+4 （m） ， 即树高 AB 是 m 【点评】本题考查解直角三角形坡度坡角问题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条 件 22如图，Rt ABC 中， C=90，AC= ，tanB= ，半径为
36、2 的C，分别交 AC，BC 于点 D，E，得到 （1）求证：AB 为 C 的切线； （2）求图中阴影部分的面积 【考点】切线的判定；勾股定理；扇形面积的计算 【专题】证明题 【分析】 （1）过点 C 作 CHAB 于 H，如图，先在 RtABC 中，利用正切的定义计算出 BC=2AC=2 ，再利用勾股定理计算出 AB=5，接着利用面积法计算出 CH=2，则可判断 CH 为 C 的半径，然后根据切线的判定定理即可得到 AB 为C 的切线； （2）根据三角形面积公式和扇形的面积公式，利用 S 阴影部分 =SACBS 扇形 CDE 进行计算即可 【解答】 （1）证明：过点 C 作 CHAB 于 H
37、，如图， 在 RtABC 中，tanB= = ， BC=2AC=2 ， AB= = =5， CHAB= ACBC， CH= =2， C 的半径为 2， CH 为C 的半径， 而 CHAB， AB 为C 的切线； （2）解：S 阴影部分 =SACBS 扇形 CDE = 25 =5 【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线在判定一 条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂 线段，证明该线段的长等于半径也考查了勾股定理和扇形面积的计算 23某商场销售一种进价为 20 元/台的台灯，经调查发现，该台灯每天的销售量 w（台
38、） ，销售单 价 x（元）满足 w=2x+80，设销售这种台灯每天的利润为 y（元） （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）当销售单价定为多少元时毎天的利润最大？最大利润多少？ （3）在保证销售量尽可能大的前提下该商场每天还想获得 150 元的利润，应将销售单价定位为 多少元？ 【考点】二次函数的应用 【专题】应用题 【分析】 （1）用每台的利润乘以销售量得到每天的利润 （2）由（1）得到的是一个二次函数，利用二次函数的性质，可以求出最大利润以及销售单价 （3）把 y=150 代入函数，求出对应的 x 的值，然后根据 w 与 x 的关系，舍去不合题意的值 【解答】解：（1）y=（x
39、20） （2x+80） ， =2x2+120x1600； （2）y= 2x2+120x1600， =2（x30） 2+200， 当 x=30 元时，最大利润 y=200 元； （3）由题意，y=150， 即：2（ x30） 2+200=150， 解得：x 1=25，x 2=35， 又销售量 W=2x+80 随单价 x 的增大而减小， 所以当 x=25 时，既能保证销售量大，又可以每天获得 150 元的利润 【点评】本题考查的是二次函数的应用， （1）根据题意得到二次函数 （2）利用二次函数的性质求 出最大值 （3）由二次函数的值求出 x 的值 24已知抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于
40、 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，O 是坐标原点，点 A 的坐标 是（1， 0） ，点 C 的坐标是（ 0，3） （1）求抛物线的函数表达式； （2）求直线 BC 的函数表达式和ABC 的度数； （3）P 为线段 BC 上一点，连接 AC，AP，若 ACB=PAB，求点 P 的坐标 【考点】二次函数综合题 【专题】压轴题 【分析】 （1）直接将 A，C 点坐标代入抛物线解析式求出即可； （2）首先求出 B 点坐标，进而利用待定系数法求出直线 BC 的解析式，进而利用 CO，BO 的长求 出ABC 的度数； （3）利用ACB=PAB，结合相似三角形的判定与性质得出 BP 的长，进而得出 P
41、点坐标 【解答】解：（1）将点 A 的坐标（ 1，0） ，点 C 的坐标（0， 3）代入抛物线解析式得： ， 解得： ， 故抛物线解析式为：y=x 22x3； （2）由（1）得：0=x 22x3， 解得：x 1=1，x 2=3，故 B 点坐标为：（3，0） ， 设直线 BC 的解析式为：y=kx+d， 则 ， 解得： ， 故直线 BC 的解析式为：y=x3， B（3，0） ，C（0，3） ， BO=OC=3， ABC=45； （3）过点 P 作 PDx 轴于点 D， ACB=PAB，ABC= PBA， ABPCBA， = ， BO=OC=3， BC=3 ， A（ 1， 0） ，B（3，0） ， AB=4， = ， 解得：BP= ， 由题意可得：PDOC， DB=DP= ， OD=3 = ， 则 P（ ， ） 【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及待定系数法求一次函数和二次函数解析式等 知识，熟练应用相似三角形的判定方法得出ABPCBA 是解题关键
