1、2015-2016 学年辽宁省大连市高新区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分） 1下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( ) A等腰三角形 B等腰梯形 C直角三角形 D圆 2 （1998绍兴）抛物线 y=（x3） 2+1 的顶点坐标是( ) A （3， 1） B （3，1） C （ 3，1） D （3，1） 3下列一元二次方程中，没有实数根的是( ) Ax 22x1=0 Bx 22x+1=0 Cx 21=0 Dx 2+2x+3=0 4如图，BD 是 O 的直径， CBD=30，则A 的度数为 ( ) A30 B45 C60 D75 5
2、如图，ABC 中，DE BC， = ，DE=3，则 BC 边的长是 ( ) A6 B7 C8 D9 6小明在一次班会中参与知识抢答活动，现有语文题 2 道，数学题 3 道，综合题 4 道，他 从中随机抽取一道，抽中数学题的概率是( ) A B C D 7电脑病毒传播快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有 81 台电脑被感染，若 每轮感染中平均一台电脑会感染 x 台电脑，下列方程正确的是( ) Ax（x+1）=81 B1+x+x 2=81 C1+x+x （x+1 ）=81 D1+（x+1） 2=81 8已知抛物线 y=（x+1） 2 上的两点 A（x 1，y 1）和 B（ x2，y 2）
3、，如果 x1x 21，那么 下列结论一定成立的是( ) Ay 1y 20 B0y 1y 2C0y 2y 1Dy 2y 10 二、填空题（本大题共有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 9方程 x2+2x=0 的解为_ 10如图，AB 是 O 的直径，弦 CDAB，垂足为 P若 AB=10，CD=8，则 OP=_ 11已知关于 x 的一元二次方程 x2+ax+a1=0 有一个根为 3，则 a 的值为_ 12给甲、乙、丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个打电话给甲的概率是 _ 13用一个圆心角为 120，半径为 3 的扇形做一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径 为_ 14将抛物
4、线 y=2x2 向上平移 1 个单位，再向右平移 2 个单位，得到新的抛物线解析式为 _ 15已知ABC 与DEF 的相似比为 2：3，则ABC 与DEF 的面积比为_ 16如图，在ABC 中， BAC=70，在同一平面内将ABC 绕点 A 旋转到AB C的位置， 使得 CCAB，则BAB= _ 三、解答题（本大题共有 4 小题，共 39 分） 17解方程：3x 22x1=0 18如图，在O 中，点 C 是 的中点，D 、E 分别是半径 OA 和 OB 的中点，求证： CD=CE 19已知：二次函数 y=x2+bx3 的图象经过点 A（2，5） （1）求二次函数的解析式； （2）求二次函数的图
5、象与 x 轴的交点坐标； （3）将（1）中求得的函数解析式用配方法化成 y=（xh） 2+k 的形式 20如图，将ABC 放于平面直角坐标系中，得到顶点坐标为 A（3，6） ，B （3，0） ， C（0，3） 以 B 为旋转中心，在平面直角坐标系内将ABC 顺时针旋转 90 （1）画出旋转后的ABC ； （2）写出点 A、C的坐标； （3）求出线段 BA 旋转到 BA时所扫过的扇形的面积 四、解答题（本大题共有 3 小题，共 28 分） 21某山村种的水稻 2010 年平均每公顷产 7 200kg，2012 年平均每公顷产 8 712kg，求水 稻每公顷产量的年平均增长率 22一场篮球赛中，球
6、员甲跳起投篮，已知球在 A 处出手时离地面 m，与篮筐中心 C 的 水平距离为 7m，当球运行的水平距离是 4m 时，达到最大高度 4m（B 处） ，篮筐距地面 3m，篮球运行的路线为抛物线（如图所示） （1）建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的解析式； （2）判断此球能否投中？ 23如图，四边形 ABCD 是平行四边形，点 A，B ，C 在O 上，AD 与 O 相切于点 A， 射线 AO 交 BC 于点 E，交O 于点 F，点 G 在射线 AF 上，且GCB=2BAF （1）求证：直线 GC 是 O 的切线； （2）若 AB=2 ，AD=4，求线段 GC 的长 五、解答题（本大题共有 3
7、 小题，共 35 分） 24如图 1，在ABC 中，ACB=90，AC=3cm ，BC=4cm，点 D 为 AB 中点，连结 CD， 动点 P、Q 从点 C 同时出发，点 P 沿 BC 边 CBC 以 2a cm/s 的速度运动；点 Q 沿 CA 边 CA 以 a cm/s 的速度运动，当点 Q 到达点 A 时，两点停止运动，以 CQ，CP 为边作 矩形 CQMP，当矩形 CQMP 与 CDB 重叠部分的图形是四边形使，设重叠部分图形的面积 为 y（cm 2） P、Q 两点运动时间为 t（s） ，在点 P 由 CB 过程中，y 与 t 的图象如图 2 所 示 （1）求 a、m 的值； （2）求
8、 y 与 t 的函数关系式，并写出 t 的取值范围 25已知：过ABC 的顶点作直线 MNAC，D 为 BC 边上一点，连结 AD，作 ADE=BAC 交直线 MN 于点 E，DE 交 AB 于点 F（如图 1） （1）找出图中与BED 相等的角，并证明； （2）若 AB=AC（如图 2） ，其它条件不变，求证：AD=DE ； （3）若 AB=kAC（如图 3） ，其它条件不变，探究线段 AD，DE 之间的数量关系，并证 明 （用含 k 的式子表示） 26如图，抛物线 y=x2+bx+c 交 x 轴于 A（1，0） ，B（5，0）两点，顶点为 D，直线 y= x+3 交 x 轴、 y 轴于点
9、E、F，交抛物线于 M、N 两点 （1）抛物线的解析式为_；点 D 的坐标为_； （2）点 P 为直线 MN 上方的抛物线上的点，当 PMN 的面积最大时，求点 P 的坐标； （3）在抛物线上是否存在点 Q，使点 Q 关于直线 EF 的对称点在 x 轴上？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 2015-2016 学年辽宁省大连市高新区九年级（上）期末 数学试卷 一、选择题（共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分） 1下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( ) A等腰三角形 B等腰梯形 C直角三角形 D圆 【考点】轴对称图形；中心对称图形 【分析】根据轴对称图形和中
10、心对称图形的概念作答 【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形； B、是轴对称图形，不是中心对称图形； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形； D、是轴对称图形，也是中心对称图形 故选 D 【点评】掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图 形沿对称轴叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转 180后与原图重合 2 （1998绍兴）抛物线 y=（x3） 2+1 的顶点坐标是( ) A （3， 1） B （3，1） C （ 3，1） D （3，1） 【考点】二次函数的性质 【分析】已知抛物线解析式为顶点式，根据顶点式的特点直接写出顶点坐标 【解答】解：
11、因为 y=（x 3） 2+1 是抛物线的顶点式， 根据顶点式的坐标特点可知，的顶点坐标是（3，1） 故选 B 【点评】此题考查了二次函数的性质，二次函数为 y=a（xh） 2+k 顶点坐标是（h，k） 3下列一元二次方程中，没有实数根的是( ) Ax 22x1=0 Bx 22x+1=0 Cx 21=0 Dx 2+2x+3=0 【考点】根的判别式 【分析】直接利用根的判别式的知识分别对各选项进行分析求解即可求得答案，注意排除 法在解选择题中的应用 【解答】解：A、=b 24ac=（ 2） 241（ 1）=80， 有不相等的实数根； B、 =b24ac=（2） 2411=0， 有相等的实数根； C
12、、 =b24ac=0241（1）=40， 有不相等的实数根； D、=b 24ac=22413=80， 没有实数根 故选 D 【点评】此题考查了根的判别式注意0 方程有两个不相等的实数根； =0方程有 两个相等的实数根；0方程没有实数根 4如图，BD 是 O 的直径， CBD=30，则A 的度数为 ( ) A30 B45 C60 D75 【考点】圆周角定理 【分析】根据直径所对的圆周角是直角，得BCD=90，可求 D=60，即可求 A=D=60 【解答】解：BD 是O 的直径， BCD=90， CBD=30， D=60， A=D=60 故选 C 【点评】本题重点考查了同弧所对的圆周角相等、直径所
13、对的圆周角为直角的知识 5如图，ABC 中，DE BC， = ，DE=3，则 BC 边的长是 ( ) A6 B7 C8 D9 【考点】相似三角形的判定与性质 【分析】由 DEBC 可得到 DE：BC=AD：AB，由 = ，DE=3，即可 BC 的长 【解答】解：DEBC， ADEABC， DE：BC=AD：AB=1：3， DE=3， BC=9 故选：D 【点评】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解 题的关键 6小明在一次班会中参与知识抢答活动，现有语文题 2 道，数学题 3 道，综合题 4 道，他 从中随机抽取一道，抽中数学题的概率是( ) A B C D 【
14、考点】概率公式 【分析】由语文题 2 道，数学题 3 道，综合题 4 道，直接利用概率公式求解即可求得答 案 【解答】解：语文题 2 道，数学题 3 道，综合题 4 道， 他从中随机抽取一道，抽中数学题的概率是： = 故选 B 【点评】此题考查了概率公式的应用用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之 比 7电脑病毒传播快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有 81 台电脑被感染，若 每轮感染中平均一台电脑会感染 x 台电脑，下列方程正确的是( ) Ax（x+1）=81 B1+x+x 2=81 C1+x+x （x+1 ）=81 D1+（x+1） 2=81 【考点】由实际问题抽象出一元二次
15、方程 【分析】首先设每轮感染中平均一台电脑会感染 x 台电脑则经过一轮感染，1 台电脑感 染给了 x 台电脑，这（x+1）台电脑又感染给了 x（1+x）台电脑利用等量关系：经过两 轮感染后就会有 81 台电脑被感染得出即可 【解答】解：设每轮感染中平均一台电脑会感染 x 台电脑 根据题意，得：1+x+x（1+x）=81， 故选：C 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，能够正确表示每轮感染中，有 多少台电脑被感染是解决此题的关键 8已知抛物线 y=（x+1） 2 上的两点 A（x 1，y 1）和 B（ x2，y 2） ，如果 x1x 21，那么 下列结论一定成立的是( ) Ay
16、1y 20 B0y 1y 2C0y 2y 1Dy 2y 10 【考点】二次函数图象上点的坐标特征 【分析】根据二次函数的性质得到抛物线 y=（x+1） 2 的开口向下，有最大值为 0，对称轴 为直线 x=1，则在对称轴左侧，y 随 x 的增大而增大，所以 x1x 2 1 时，y 1y 20 【解答】解：y= （x+1） 2， a=10，有最大值为 0， 抛物线开口向下， 抛物线 y=（x+1） 2 对称轴为直线 x=1， 而 x1x 21， y1 y20 故选 A 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象 为抛物线，则抛物线上的点的坐标满足其解
17、析式；当 a0，抛物线开口向下；对称轴为直 线 x= ，在对称轴左侧，y 随 x 的增大而增大，在对称轴右侧，y 随 x 的增大而减小 二、填空题（本大题共有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 9方程 x2+2x=0 的解为 0，2 【考点】解一元二次方程-因式分解法 【专题】计算题 【分析】本题应对方程进行变形，提取公因式 x，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两 式相乘值为 0，这两式中至少有一式值为 0”来解题 【解答】解：x 2+2x=0 x（x+2）=0 x=0 或 x+2=0 x=0 或 2 故本题的答案是 0，2 【点评】本题考查了一元二次方程的解法解一元二次方程常用的
18、方法有直接开平方法， 配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法本题运用的是因 式分解法 10如图，AB 是 O 的直径，弦 CDAB，垂足为 P若 AB=10，CD=8，则 OP=3 【考点】垂径定理；勾股定理 【分析】连接 OC，先根据O 的直径 AB=10 求出半径 OC 的长，再根据垂径定理求出 CP 的长，在 RtCOP 中根据勾股定理即可求出 OP 的长 【解答】解：连接 OC， O 的直径 AB=10， OC=5， 弦 CD=8，CDAB ， CP= CD= 8=4， 在 RtCOP 中， OP= ， 故答案为：3 【点评】题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题
19、意作出辅助线，构造出直角三角形，利 用勾股定理求解是解答此题的关键 11已知关于 x 的一元二次方程 x2+ax+a1=0 有一个根为 3，则 a 的值为 2 【考点】一元二次方程的解 【分析】把 x=3 代入方程 x2+ax+a1=0，得到关于 a 的一元一次方程，解方程可以求出 a 的 值 【解答】解：把 x=3 代入方程 x2+ax+a1=0 有： 9+3a+a1=0， 解得 a=2 故答案是：2 【点评】本题考查的是一元二次方程的解，把一元二次方程的解代入方程，可以求出字母 系数的值 12给甲、乙、丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个打电话给甲的概率是 【考点】概率公式 【分
20、析】根据题意，打电话的顺序是任意的，打电话给甲、乙、丙三人的概率都相等均为 【解答】解：打电话的顺序是任意的，打电话给甲、乙、丙三人的概率都相等， 第一个打电话给甲的概率为 故答案为： 【点评】此题考查了概率的求法：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同， 其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A ）= 13用一个圆心角为 120，半径为 3 的扇形做一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径 为 1 【考点】圆锥的计算 【分析】设圆锥底面的半径为 r，由于圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底 面圆的周长，则 2r= ，然后解方程即可 【解答】解：设圆锥底
21、面的半径为 r， 根据题意得 2r= ，解得： r=1 故答案为：1 【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆 的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长 14将抛物线 y=2x2 向上平移 1 个单位，再向右平移 2 个单位，得到新的抛物线解析式为 y=2（x 2） 2+1 【考点】二次函数图象与几何变换 【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式即可 【解答】解：抛物线 y=2x2 先向上平移 1 个单位得到解析式：y= 2x2+1，再向右平移 2 个 单位得到抛物线的解析式为：y=2（x2） 2+1 故答案为：y=2（x2） 2+
22、1 【点评】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减 15已知ABC 与DEF 的相似比为 2：3，则ABC 与DEF 的面积比为 4：9 【考点】相似三角形的性质 【分析】直接根据相似三角形的性质即可得出结论 【解答】解：ABCDEF，且 ABC 与DEF 的相似比为 2：3， SABC：S DEF=（ ） 2=4：9 故答案为：4：9 【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是 解答此题的关键 16如图，在ABC 中， BAC=70，在同一平面内将ABC 绕点 A 旋转到AB C的位置， 使得 CCAB，则BAB= 40 【考
23、点】旋转的性质 【分析】首先证明ACC =ACC；然后运用三角形的内角和定理求出 CAC=40即可解决 问题 【解答】解：由题意得： AC=AC， ACC=ACC； CCAB，且BAC=70， ACC=ACC=BAC=70， CAC=180270=40； 由题意知：BAB=CAC=40， 故答案为 40 【点评】该命题以三角形为载体，以旋转变换为方法，综合考查了全等三角形的性质及其 应用问题；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求 三、解答题（本大题共有 4 小题，共 39 分） 17解方程：3x 22x1=0 【考点】解一元二次方程-因式分解法 【分析】方程左边利用十字相乘法分解因式
24、后，利用两数相乘积为 0 两因式中至少有一个 为 0 转化为两个一元一次方程来求解 【解答】解：由原方程得：（3x+1） （x1）=0， 可得 3x+1=0 或 x1=0， 解得：x 1= ，x 2=1 【点评】此题考查了解一元二次方程因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边 化为 0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为 0，两因式中至少有一个为 0 转化为两 个一元一次方程来求解 18如图，在O 中，点 C 是 的中点，D 、E 分别是半径 OA 和 OB 的中点，求证： CD=CE 【考点】圆心角、弧、弦的关系；全等三角形的判定与性质 【专题】证明题 【分析】连接 OC，构建全等
25、三角形COD 和COE；然后利用全等三角形的对应边相等证 得 CD=CE 【解答】证明：连接 CO，如图所示， OA=OB，且 D、E 分别是半径 OA 和 OB 的中点， OD=OE， 又 点 C 是 的中点， = ， COD=COE， 在COD 和 COE 中， ， CODCOE（SAS） ， CD=CE 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，以及全等三角形的判定与性质判定两个三 角形全等的一般方法有：SSS、SAS 、SSA、HL 注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与， 若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角 19已知：二次函数 y=x
26、2+bx3 的图象经过点 A（2，5） （1）求二次函数的解析式； （2）求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标； （3）将（1）中求得的函数解析式用配方法化成 y=（xh） 2+k 的形式 【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的三种形式；抛物线与 x 轴的交点 【专题】计算题 【分析】 （1）直接把 A 点坐标代入 y=x2+bx3 可求出 b，从而确定二次函数的解析式； （2）根据抛物线与 x 轴的交点解方程 x2+2x3=0，即可得到二次函数的图象与 x 轴的交点 坐标； （3）利用配方法求解 【解答】解：（1）二次函的图象经过点 A（2，5） ， 4a+2b3=5，解得 b=2，
27、 二次函数的解析式为 y=x2+2x3； （2）令 y=0，则 x2+2x3=0，解得 x1=3，x 2=1， 二次函数的图象与 x 轴的交点坐标为（3，0）和（1，0） ； （3）y=x 2+2x3 =（x+1） 24 【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关 系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解一般 地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当 已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与 x 轴有两 个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解 20如图，将A
28、BC 放于平面直角坐标系中，得到顶点坐标为 A（3，6） ，B （3，0） ， C（0，3） 以 B 为旋转中心，在平面直角坐标系内将ABC 顺时针旋转 90 （1）画出旋转后的ABC ； （2）写出点 A、C的坐标； （3）求出线段 BA 旋转到 BA时所扫过的扇形的面积 【考点】作图-旋转变换 【分析】 （1）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）利用所画图形得出各点坐标即可； （3）利用扇形面积求法得出答案 【解答】解：（1）如图所示：ABC即为所求； （2）如图所示：A（3，0） ，C（0，3） ； （3）如图所示：线段 BA 旋转到 BA时所扫过的扇形的面积为：S=
29、=9 【点评】此题主要考查了旋转变换以及扇形面积求法，根据题意得出对应点位置是解题关 键 四、解答题（本大题共有 3 小题，共 28 分） 21某山村种的水稻 2010 年平均每公顷产 7 200kg，2012 年平均每公顷产 8 712kg，求水 稻每公顷产量的年平均增长率 【考点】一元二次方程的应用 【专题】增长率问题 【分析】根据增长后的产量=增长前的产量（1+增长率） ，设增长率是 x，则 2012 年的产量 是 7200（1+x） 2 据此即可列方程，解出即可 【解答】解：设水稻每公顷产量年平均增长率为 x， 依题意得 7200（1+x） 2=8712， 解得：x 1=0.1 x2=
30、2.1（舍去） ， 答：水稻每公顷产量的年平均增长率为 10% 【点评】此题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是利用增长率表示出 2012 年的 产量是 7200（1+x） 2，然后得出方程 22一场篮球赛中，球员甲跳起投篮，已知球在 A 处出手时离地面 m，与篮筐中心 C 的 水平距离为 7m，当球运行的水平距离是 4m 时，达到最大高度 4m（B 处） ，篮筐距地面 3m，篮球运行的路线为抛物线（如图所示） （1）建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的解析式； （2）判断此球能否投中？ 【考点】二次函数的应用 【分析】 （1）建立适当的平面直角坐标系，根据已知条件即可得到结论； （
31、2）根据（1）中的篮球运动抛物线的解析式，把坐标（7，3）代入判断是否满足，则即 可确定篮球是否能准确投中 【解答】解：（1）过 A 作水平线的垂线，垂直为 O，以 O 为坐标原点，直线 OA 为 y 轴， 建立平面直角坐标系，由题意得 A（0， ） ，顶点 B（4，4） ， 设抛物线的解析式为 y=a（x4） 2+4， =a（x4） 2+4 解得：a= 抛物线的解析式为：y= （x4） 2+4； （2）当 x=7 时，y= （7 4） 2+4=3， 点（ 7，3）在抛物线上， 球能准确投中 【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，待定系数法求函数的解析式，正确的 求得函数的解析式是解题
32、的关键 23如图，四边形 ABCD 是平行四边形，点 A，B ，C 在O 上，AD 与 O 相切于点 A， 射线 AO 交 BC 于点 E，交O 于点 F，点 G 在射线 AF 上，且GCB=2BAF （1）求证：直线 GC 是 O 的切线； （2）若 AB=2 ，AD=4，求线段 GC 的长 【考点】切线的判定；相似三角形的判定与性质 【分析】 （1）首先连接 OC，由 AD 与O 相切，可得 FAAD，四边形 ABCD 是平行四边 形，可得 ADBC，然后由垂径定理可证得 F 是 的中点，BE=CE， OEC=90，又由 GCB=2BAF，即可求得GCB+OCE=90 ，继而证得直线 GC
33、 是O 的切线； （2）首先由勾股定理可求得 AE 的长，然后设O 的半径为 r，则 OC=OA=r，OE=3r，则 可求得半径长，易得OCECGE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得线段 GC 的 长 【解答】 （1）证明：连结 OC AD 与 O 相切于点 AAF 为O 直径， AFAD， 又 四边形 ABCD 平行四边形， ADBC， AFBC， OEC=90，BE=CE， = ， COE=2BAF， GCB=2BAF， COE=GCB， COE+OCE=90， GCB+OCE=90，即 OCG=90， OCCG， 又 OC 为半径， GC 为O 的切线； （2）AD=4 ， BC=4
34、， BE=2， 在 RTABE 中，AE= =4， 设 O 的半径为 r，则在 RTOCE 中，OC 2=OE2+CE2， r2=（4r ） 2+22，解得 r= ， OE=4 = ， 又COE=GCB，OEC= GEC=90 OCECGE， = ，即 = CG= 【点评】此题考查了切线的判定、平行四边形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与 性质此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应 用 五、解答题（本大题共有 3 小题，共 35 分） 24如图 1，在ABC 中，ACB=90，AC=3cm ，BC=4cm，点 D 为 AB 中点，连结 CD， 动点 P、Q
35、从点 C 同时出发，点 P 沿 BC 边 CBC 以 2a cm/s 的速度运动；点 Q 沿 CA 边 CA 以 a cm/s 的速度运动，当点 Q 到达点 A 时，两点停止运动，以 CQ，CP 为边作 矩形 CQMP，当矩形 CQMP 与 CDB 重叠部分的图形是四边形使，设重叠部分图形的面积 为 y（cm 2） P、Q 两点运动时间为 t（s） ，在点 P 由 CB 过程中，y 与 t 的图象如图 2 所 示 （1）求 a、m 的值； （2）求 y 与 t 的函数关系式，并写出 t 的取值范围 【考点】相似形综合题；动点问题的函数图象 【专题】综合题；图形的相似 【分析】 （1）根据图象可
36、知，当 t= 时，点 M 落在 AB 边上，根据BPM BCA，得到比 例式，计算求出 a，根据点 D 为 AB 中点，DQBC，求出 m； （2）分 0t 、 t2、2t 3 三种情况，根据相似三角形的性质解答即可 【解答】解（1）由图象得：当 t= 时，点 M 落在 AB 边上，如图 3 所示， CP= 2a= a，CQ= a， BPMBCA， = ，即 = ， 解得：a=1， 根据题意得，当 QM 过点 D 时，t=m，如图 4 所示， 点 D 为 AB 中点，DQ BC， 点 Q 为 AC 中点 t= ， m= ； （2）当 0t 时，如图 5， CD 与 QM 的交点是点 G， CQ
37、GACB， = ，即 = ， 整理得：QG= t， SCQG= t t= t2， y=2t2 t2= t2， 当 t2 时，如图 5，PM 与 BD 交点是 H， BHPBAC， = ，即 = ， HP= BP， y=SBCDSBHP=3 BP BP=3 BP2=3 （42t） 2= t2+6t3； 当 2t3 时，同理得到 y=3 （2t 4） 2= t2+6t3 【点评】本题考查的是动点问题的函数图象、相似三角形的判定和性质，正确读懂函数图 象、正确运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键 25已知：过ABC 的顶点作直线 MNAC，D 为 BC 边上一点，连结 AD，作 ADE=B
38、AC 交直线 MN 于点 E，DE 交 AB 于点 F（如图 1） （1）找出图中与BED 相等的角，并证明； （2）若 AB=AC（如图 2） ，其它条件不变，求证：AD=DE ； （3）若 AB=kAC（如图 3） ，其它条件不变，探究线段 AD，DE 之间的数量关系，并证 明 （用含 k 的式子表示） 【考点】相似形综合题 【专题】综合题；图形的相似 【分析】 （1）BAD=BED，理由为：由 MN 与 AC 平行，得到一对内错角相等，再由已 知角相等，等量代换得到EBA= ADE，再由对顶角相等，得到EBF ADF，利用相似 三角形的对应角相等即可得证； （2）以 D 为圆心，DB 为
39、半径画弧交 AB 于 Q，则 DB=DQ，如图 2 所示，利用等边对等 角得到一对角相等，再由 AB=AC，得到 ABC=C，进而得到BDQ= BAC，根据已知角 相等，利用等式的性质得到BDE= QDA，再由 DB=DQ，利用 AAS 得到BED QAD，利用全等三角形的对应边相等即可得证； （3）作BDQ=ADE ，交 AB 于点 Q，如图 3 所示，利用两对角相等的三角形相似得到 BEDQAD，以及BDQBAC ，由相似得比例，根据 AB=kAC，即可确定出 AD，DE 之间的数量关系 【解答】解：（1）BAD=BED，理由为： 证明：MN AC， EBA=BAC， BAC=ADE， E
40、BA=ADE， 又AFD= EFB， EBFADF， BED=BAD； （2）以 D 为圆心，DB 为半径画弧交 AB 于 Q，则 DB=DQ， DBQ=DQB， AB=AC， ABC=C， BDQ=BAC， ADE=BAC， BDQ=ADE， BDQEDQ=ADEEDQ，即BDE=QDA， 在BED 和QAD 中， ， BEDQAD（AAS） ， AD=DE； （3）作BDQ=ADE ，交 AB 于点 Q，如图 3 所示， BDQEDQ=ADEEDQ，即BDE=ADQ， BED=BAD， BEDQAD， = ， ABC=QBD， BDQ=ADE=BAC， BDQBAC， = =k， =k，即
41、 DE=kAD 【点评】此题属于相似形综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，相似三角形 的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是 解本题的关键 26如图，抛物线 y=x2+bx+c 交 x 轴于 A（1，0） ，B（5，0）两点，顶点为 D，直线 y= x+3 交 x 轴、 y 轴于点 E、F，交抛物线于 M、N 两点 （1）抛物线的解析式为 y=x2+6x5；点 D 的坐标为（3， 4） ； （2）点 P 为直线 MN 上方的抛物线上的点，当 PMN 的面积最大时，求点 P 的坐标； （3）在抛物线上是否存在点 Q，使点 Q 关于直线 EF 的对
42、称点在 x 轴上？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 【考点】二次函数综合题 【分析】 （1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得顶点式解析式，可得 顶点坐标； （2）根据自变量与函数值的对应关系，可得 P，G 点坐标，根据平行于 y 轴的直线上两点 间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得 PG 的长，根据解方程组，可得 M、N 的 横坐标，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得 P 点的横坐标，再 根据自变量与函数值的对应关系，可得 P 点坐标； （3）根据相似三角形的判定与性质，可得ADG= FEO，根据余角的性质，可得 IDH+DIH=90，
43、根据直角三角形的判定，可得DHE=90，根据线段垂直平分线的定义， 可得 EF 为 AD 中垂线，根据线段垂直平分线的性质，可得直线 ED 上的点关于直线 EF 的 对称点都在 x 轴上，根据解方程组，可得 Q 点坐标 【解答】解：（1）将 A、B 点坐标代入函数解析式，得 ， 解得 ， 抛物线的解析式为 y=x2+6x5， y=x2+6x5=（x 3） 2+4， 点 D 的坐标为（3，4） ； 故答案为：y=x 2+6x5， （3，4） ； （2）如图 1 ， 过 P 作 PGx 轴交 EF 于 G 点，设 P（m ，m 2+6m5） ，G（m ， m+3） ， PG=m2+6m5（ m+3
44、）= m2+ m8 联立抛物线与直线 EF，得 ， 化简，得 2x213x+16=0， 解得 x1= ，x 2= ， SPMN=SPGN+SPGM= PG（x N3）+ PG（3x M） = PG（x NxM） = （m 2+ m8） （ ） = （m ） 2+ ， 当 m= 时，S 最大 = ， 当 m= 时，m 2+6m5=（ ） 2+6 5= ， 即 P（ ， ） ， 当PMN 的面积最大时，点 P 的坐标（ ， ） ； （3）如图 2 ， 连接 AD 交 MN 于点 H，过 D 作 DGx 轴于 G，连接 DE， AG=2，DG=4， = ， 又 F（0，3） ，E（6，0） ， =
45、= ， OFEGAD， ADG=FEO， DHE=DGE=90 EFAD， 又 AD 中点为（2，2） ，将（2，2）代入 EF 解析式 2= 2+3， H 为 AD 中点， EF 为 AD 中垂线，连结 ED， 则直线 ED 上的点关于直线 EF 的对称点都在 x 轴上 D（ 3， 4） ，E（6，0） ， yDE= x+8， 连接 DE 与抛物线，得 消元，得 x+8=x2+6x5 解得 x1=3， x+8=4，Q（3，4） ； x2= ， x+8= ，Q（ ， ） ； 在抛物线上存在点 Q，使点 Q 关于直线 EF 的对称点在 x 轴上，点 Q 的坐标为 Q1（3，4） ， Q2（ ， ） 【点评】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，利用配方法得出顶 点坐标；利用图形割补法是求面积的关键；利用了相似三角形的判定与性质，线段垂直平 分线的定义与性质
