1、1 整 式 乘 除 及 因 式 分 解 知 识 点 梳 理 一、幂的运算： 1、同底数幂的乘法法则： （ 都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注nma, 意底数可以是多项式或单项式。 2、幂的乘方法则： （ 都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：mna)(, 10253)( 幂的乘方法则可以逆用：即 如：mna)(2326)4( 3、积的乘方法则： （ 是正整数） 。积的乘方，等于各因数乘方的积。nb)( 4、同底数幂的除法法则： （ 都是正整数，且 同底数幂相除，底数不变，nma,0)nm 指数相减。 5、零指数； ，即任何不等于零的数的零次方等于 1。10 二、单项式、多
2、项式的乘法运算： 6、单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连 同它的指数作为积的一个因式。如： 。xyz32 7、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加， 即 ( 都是单项式)。如： =。mcbacbm)( a, )(3)2(yxx 8、多项式与多项式相乘，用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。 9、平方差公式： 注意平方差公式展开只有两项2)( 公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。右边是 相同项的平方减去相反项的平方。 如： = )(zyx 10
3、、完全平方公式： 22)(bab 三项式的完全平方公式： bcacc2 11、单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里 含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 注意：首先确定结果的系数（即系数相除） ，然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，则连同 它的指数作为商的一个因式。 如： bam24297 12、多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所 2 的的商相加。即： cbamcbmacbma )( 三、因式分解的常用方法 1、提公因式法 （1）会找多项式中的公因式；公因式的构成一般情况下有
4、三部分：系数一各项系数的最大公约数； 字母各项含有的相同字母；指数相同字母的最低次数； （2）提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式需注意的是， 提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项 （3）注意点：提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底” ；如果多项式的第一项的 系数是负的，一般要提出“”号，使括号内的第一项的系数是正的 2、公式法 运用公式法分解因式的实质是：把整式中的乘法公式反过来使用；常用的公式： 平方差公式： a 2b 2 （ab） （ab） 完全平方公式：a 22abb 2（ab） 2 a22abb 2
5、（ab） 2 3、在数学学习过程中，学会利用整体思考问题的数学思想方法和实际运用意识。 如：对于任意自然数 n， 都能被动 24 整除。22)5()7(n 四、乘法公式的变式运用 1、位置变化，xyyx 2、符号变化，xyxy 3、指数变化，x 2y 2x 2y 2 4、系数变化，2ab2ab 5、换式变化，xyzmxyzm 6、增项变化，xyzxyz 7、连用公式变化，xyxyx 2y 2 8、逆用公式变化，xyz 2xyz 2 3 整式的乘法和因式分解 考点 1、考查整式的有关概念 1 （2016常德）若x3ya 与 xby 是同类项，则 a+b 的值为（ ） A2 B3 C4 D5 2
6、（2016上海）下列单项式中，与 a2b 是同类项的是（ ） A2a2b Ba2b2 Cab2 D3ab 3 （2015崇左）下列各组中，不是同类项的是（ ） A5 2与 25 Bab 与 ba C0.2a 2b 与 a2b Da 2b3与a 3b2 4 （2015柳州）在下列单项式中，与 2xy 是同类项的是（ ） A2x2y2 B3y Cxy D4x 5.（2014毕节）若 与 可以合并成一项，则 的值是（ ）bam42nm25m A2 B 0 C1 D1 6.（2012 梅州）若代数式4x 6y 与 x2ny 是同类项，则常数 n 的值为 7（2013 江苏）若 2a-b=5,则多项式
7、6a-3b 的值是 考点 2、去括号、化简绝对值 1 （2012 济宁）下列运算正确的是（ ） A. 2（3x1）=6x1 B. 2（3x1）=6x+1 C. 2（3x1）=6x2 D. 2（3x1）=6x+2 2 （ 2015济 宁 ） 化 简 16（ x 0.5） 的 结 果 是 （ ） A 16x 0.5 B 16x+0.5 C 16x 8 D 16x+8 3.（2016佛山）化简 ()mn的结果是( ) A B 2 C 2n D 2mn 4.（2013新疆）若 a，b 为实数，且|a+1|+ =0，则（ab） 2013的值是（ ） A.0 B.1 C.-1 D.1 5.若 xyz,则x
8、-y+y-z+z-x的值为( ) A.2x-2z B.0 C.2x-2y D.2z-2x 4 6.（2012广州）下面的计算正确的是（ ） A. 6a5a=1 B. a+2a 2=3a3 C.(ab)=a+b D.2(a+b)=2a+b 7.（2012浙江）化简： (1)_.a 考点 3、根据题意列代数式 1.（2014盐城） “x 的 2 倍与 5 的和”用代数式表示为 2.（2010嘉兴）用代数式表示“ a、 b 两数的平方和” ，结果为_。 3.（2012滨州）根据你学习的数学知识，写出 一个运算结果为 a6的算式 4 （2012浙江）某校艺术班同学，每人都会弹钢琴或古筝，其中会弹钢琴的
9、人数比会弹古筝的人数多 10 人，两种都会的有 7 人。设会弹古筝的有 人，则该班同学共有_人（用含有 的代数式表示）mm 5.（2013安徽）某企业今年 3 月份产值为 万元，4 月份比 3 月份减少了 10，5 月份比 4 月份增加了a 15，则 5 月份的产值是（ ） A.（ -10） （ +15）万元 B. （1-10） （1+15）万元 a C.（ -10+15）万元 D. （1-10+15）万元a 6.（2011浙江）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图）不重叠地放在一个底面为长方形 （长为 m cm，宽为 n cm）的盒子底部（如图） ，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示
10、则图中 两块阴影部分的周长和是（ ） A.4mcm B.4ncm C.2（m+n）cm D.4（mn）cm 考点 4、计算 1.如果 8a写成下列各式，正确的共有（ ） 4； 42)(； 216a； 24)(； 4)(a； 120a； 4；882 A.7 个 B.6 个 C.5 个 D.4 个 2.下列运算正确的是（ ） A. B. C. D.523xx 36()x510x36xx 3.下面的计算正确的是（ ） A6a5a=1 B.a+2a 2=3a3 C.（ab）=a+b D.2（a+b）=2a+b 4.下列运算正确的是（ ） A.a+a=a2 B.（a 3） 2=a5 C.3aa2=a3
11、D.（ a） 2=2a2 5.下列运算正确的是( ) 5 A.x+x=x2 B. x2x2=x2 C. xx2= x4 D.（2x 2）2=6x 6 6.下列计算正确的是 （ ） A.x3x2=2x6 B.x 4x2=x8 C.(-x 2)3=-x6 D.(x 3)2x 5 7.下列计算正确的是（ ） A.a2a 4a 6 B.2a3b5ab C.(a2)3a 6 D.a6a3a 2 8.下列运算正确的是 （ ） A. = B. C. D.321)(5322 9.下列计算正确的是 ( ) A.a3a2=a6 Ba 2a 4=2a2 C.(a 3)2=a6 D.(3a)2=a6 10.下列计算正
12、确的是（ ） A. B. C. D.532x632x 532)(x235x 11.下列计算正确的是（ ） A. B. C. D.2a235a 3a3()a 12.下列运算正确的是 ( ) A. B. C. D. =366333223()68 13.下列计算正确的是 ( ) Aa 3aa 2 B(2a) 24a 2 Cx 3x-2x -6 Dx 6x3x 2 14.下列计算正确的是（ ） A. B. C. D.b5a235()a32a639 15.下列计算正确的是( ) A.2a 2a 2 3a 4 B.a 6a 2 a 3 C.a 6a 2 a 12 D.( a 6)2 a 12 16.下列运
13、算正确的是（ ） A. 412x B.4381x C. 430x D. 437x 17.下列运算正确的是（ ） A.a2a3=a6 B.a3a2=a C.(a3)2=a9 D.a2+a3=a5 18.下列计算正确的是（ ） A. B.3（a-2b）=3a-2b C.a 4+a4=a8 D.a5a3=a2734)(a 19.下列各式计算正确的是（ ） 6 A.（a+1） 2=a2+1 B.a2+ a3= a5 C.a8 a2= a6 D.3a22a 2= 1 20.下列计算正确的是 ( ) A.3a-a = 2 B. 22 C. 236 D. 22()ab 21.下列计算正确的是（ ） A. B
14、. C. = D.13a2464a 2a22)( 22.下列计算正确的是（ ） A.2a+3b=5ab B. C. D.2()4x326()b0(1) 23.下列运算正确的是（ ） A3a+2a=5a 2 B （2a） 3=6a3 C.（x+1） 2=x2+1 Dx 24=（x+2） （x2） 24.下列运算正确的是（ ） A B. C. D.623a 623)(ba2)(ba235a 25.下列运算中 ，正确的是( ) A.a3a4=a12 B.(a3)4=a12 C.a+a4=a5 D.(a+b)(ab)=a2+b2 26.下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 426a 1)(a
15、2532)(a257x 27.（2014 台湾）计算多项式 10x37x 215x5 除以 5x2后，得余式为何？( ) A B.2x215x5 C.3x1 D.15x5 15x 55x2 28.（2014扬州）若3xy=3x 2y，则内应填的单项式是（ ） A.xy B.3xy C.x D.3x 29.若 n2163，则 n 等于（ ） A.10 B.5 C.3 D.6 30.已知 23944babnm，则（ ） A.m=4,n=3 B.m=4,n=1 C.m=1,n=3 D.m=2,n=3 31.若 39m27m=311，则 m 的值为（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 32.若 ，则
16、 =_125x x209)( 33.已知 2x+13 x-1=144，则 x=_ 7 34.如果 2423)(ax，则 _x 35.如果(a nbabm) 3a 9b15，那么 mn 的值是 36.已知 am=2，a n=3，则 am+2n= ； 37.若 ，则4x2_x 36.若 ，则 = . 32nn6 38已知 10m=3，10 n=2，则 102m-n= 39.若 , ，则 的值为（ ）43x79yyx3 A. B. C. D.74 7372 40.已知 a - b =1，则代数式 2a -2b -3 的值是（ ） A.-1 B.1 C.-5 D.5 41. .205204. 42.(
17、 )2002(1.5)2003(1) 2004_。 23 43.已知 ，求 ；1,xy2yx2)(yx 44.计算： （1） （2） （3）232471yxz232yx2641ba （4） （5） （6） 323nnxy391024 332311xyyx 8 （7） （8） （9） 32328abab 3235810abcab3 529 （10） )4(7124( 2233aba （11） 4 a2x2（ 5a4x3y3）（ 21a5xy2） 考点 5：因式分解求解 【基础应用】 1.解答题：将下列各式分解因式 提公因式法： x4x 3y 12ab6b 3x（mn）2（mn） 232axyb
18、3（x3） 26（3x） y2（2x1）y（2x1） 2 a2b（a b） 3ab（ a b） y（ x y） 2 （ y x） 3 2a（x y）- 3b （y x） 2x 2n4x n 9 平方差公式 a2 9 a24b 2 m2 n2 x225 a2-144b2 16x2-249x 25y2 4a29b 2 （ab） 264 (a+m)2-(a+n)2 m481n 4 （2a3b） 2（ba） 2 完全平方公式 （1） 2502x 解：原式= 2 （ ） （ ）（ ） =（ ）22 （2） 816a 解：原式= 2 （ ） （ ）（ ） =（ ）22 （3） 4 解：原式= 2 （ ）
19、（ ）（ ） =（ ）a22 （4） 2136 解：原式=（ ） 2 （ ） （ ）（ ） =（ ）22 （5） 492x 原式= 2 （ ） （ ）（ ） =（ ）22 (6) 81y 原式= 2 （ ） （ ）（ ） =（ ）22 (7) 4x 解：原式=（ ） 2 （ ） （ ）（ ） =（ ）221982a）（ 解：原式=（ ） 2 （ ） （ ）（ ） =（ ）22 （9） 250yx 解： =（ ） 2 （ ） （ ）（ ） =（ ） 2122 （10） 24mn 10 解：原式= 2 （ ） （ ）（ ） =（ ）m22 （11） 2164xa 解：原式= 2 （ ） （ ）（
20、） =（ ）22 （12） 9b 解：原式=（ ） 2 （ ） （ ）（ ） =（ ）22 a216a64 a26 a9 x 24y 24xy 24xy 168（ ）（ ） 2962xab4)(2xyxy 综合应用 39a 2x2-88 a22 ab34ab a 3ab 2 8 22 ax93 a416a 2 12a63a 2b2 34x22m 4 23mxyn a3baba 3a 2 x2+4x+2 x2y 2xy2+y3 5x2y 10xy2 15xy x3y+2x2y xy 32xy 3269x 11 4x34x 2x 224984ab22504xymx482 3（xy） 227a 2（
21、xy）+16（yx） m2（xy）n 2（yx） （3m 2n 2） 2（m 23n 2） 2 （ab） 22（ab） （ab）（ab） 2 2.下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是（ ） A.x2+1 B.x2+2x1 C.x 2+x+1 D.x2+4x+4 3（2014安徽）下列四个多项式中，能因式分解的是（ ） A.a2+1 B.a26a+9 C.x2+5y D.x25y 4.下列式子变形是因式分解的是（ ） A.x -5x+6=x（x-5）+6 B.x -5x+6=（x-2） （x-3）2 2 C.（x-2） （x-3）=x -5x+6 D.x -5x+6=（x+2） （x+3）2
22、 5.把 24a多项式分解因式，结果正确的是（ ） A.a(a-4) B.(a+2)(a-2) C.a(a+2)(a-2) D.(a-2)2-4 12 6.下面的多项式中，能因式分解的是（ ） A. nm2 B. C. D.12mnm2 12m 7.下列各因式分解正确的是（ ） A.x2+(2)2=(x2)(x+2) B.x2+2x1=(x1)2 C.4x24x+1=(2x1)2 D.x24x=2(x+2)(x2) 8. 分解因式的正确结果是（ ）ba3496 A. B. C. D.)(2ba )3(2a2)3(ab22)3(ab 9下列分解因式正确的是 （ ） A. + 3= （1+ a2）
23、 B.2 4 +2=2（ 2 ）b C.a24=（ 2） 2 D.a22 +1=（ a1） 2 10.下列因式分解正确的是（ ） A.x3xx(x 21) B.x 23x2x(x3)2 C.x 2y 2(xy) 2 D.x22x1(x1) 2 11.下列分解因式正确的是 （ ） A. + 3= （ 1+ 2） B.2 4 +2=2（ 2 ） C. 2 4=（ 2） 2 D. 22 +1=（ 1） 2aababaaa 12.下列因式分解正确的是（ ） A.x3xx(x 21) B.x 23x2x(x3)2 C.x 2y 2(xy) 2 D.x22x1(x1) 2 【能力提高】 1.（2014毕节
24、）下列因式分解正确的是（ ） A.2x22=2 （ x+1） （ x 1） B. x2+2x1=（x1） 2 C.x2+1=（x+1） 2 D.x2x+2=x（x1）+2 2.（2010 四川）把代数式 分解因式，下列结果中正确的是269m A. B. C. D.2(3)mx(3)x 2(4)mx2(3)mx 3.（2014湖南）下列因式分解中，正确的个数为（ ） x 3+2xy+x=x（x 2+2y） ；x 2+4x+4=（x+2） 2；x 2+y2=（x+y） （xy） A.3 个 B.2 个 C.1 个 D.0 个 4.若 x2 y220，且 x y5，则 x y 的值是（ ） A.5
25、B.4 C.4 D.以上都不对 5.若 a b=8,a2 b2=82,则 3ab 的值为（ ） A.9 B.9 C.27 D.27 6.已知（mn） 2=8， （m+n） 2=2，则 m2+n2=（ ） A.10 B.6 C.5 D.3 13 7.已知 x+y=5，xy=6，则 x2+y2= 若 ， ，则 _。3yx12yx 8.若 ，且 ，则 分解因式： a41= 62nm3nnm 9.已知 ，则 。4,xy2_y 10.（2010 宁波） 、若 ， ，则 _。x12yx 11.若 则 _ _。6,2yx 12.已知 ， =_。15x 13.如果 成立，那么 k=_。 22k 14.下列各式
26、能用完全平方公式进行分解因式的是（ ） A.x2+1 B.x2+2x1 C.x2+x+1 D.x2+4x+4 15.若 是一个完全平方式，那么 m 的值是_。916xmy 16.要使 16x2+1 成为一个完全平方式，可以加上一个单项式。 17.若 25x2+30xy+k 是一个完全平方式，则 k 是（ ） A.36y2 B.9y2 C.6y2 D.y2 18.二次三项式 是一个完全平方式，则 的值是29 19.若 9x2 kxy4 y2是一个完全平方式，则 k 的值是_ 20.当 m=_时，多项式 是一个完全平方式。2249xmy 21.若多项式 能写成一个多项式的平方的形式，则 a 的值为
27、_。216a 22.要使等式 成立，代数式 应是（ ）2()(）MyxM A.2xy B.4xy C.4xy D.2xy 23.(2010安徽)因式分解：9x 2y 24y4_ 24.（2011 山东）因式分解： 31a=_ 25.（2010 浙江）因式分解：2mx 24mx2m_ 26.应用简便方法计算： （1）201 2201 （2）297 2 （3）10.3 2 （4）1999 2- 20001998 14 （5）4.3199.87.6199.81.9199.8 （6） 20786 27.（2014威海）将下列多项式分解因式，结果中不含因式 x1 的是（ ） A.x21 B.x（x2）+
28、（2x） C.x22x+1 D.x2+2x+1 28 （2015 临沂）多项式 mx2-m 与多项式 x2-2x+1 的公因式是（ ） A.x-1 B.x+1 C.x2-1 D.(x-1)2 29.(2010遵义) 已知 ，则 .012a093a 30.（2014孝感）若 ab=1，则代数式 a2b 22b 的值为 考点 6：计算求值 1 （2010益阳）已知 ，求代数式 的值31x 4)1()(2x 2.（2010 福建）计算： )3()2(xx. 3.（2014 济南）计算： )4()3(aa 15 4.对于任意正整数 n， 一定是 10 的倍数。32nn 5.求证：25 7-512能被
29、120 整除 6.证明： 能被 45 整除。8127913 7.已知 能被 整除，其商式为 ，求 m、n 的值。32170xx2mx5x 8.当 a、b 的值为多少时，多项式 有最小值，并求出这个最小值。23625ab 16 9.若一个三角形的三边长 a，b，c，满足 ，试判断三角形的形状。220abcabc 考点 7：化简求值 1.（2013衡阳）先化简，再求值：（1+a） （1a）+a（a2） ，其中 2.（2013娄底）先化简，再求值：（x+y） （xy）（4x 3y8xy 3）2xy，其中 x=1， 3.（2013常德）先化简再求值：（ + ） ，其中 a=5，b=2 17 4.（20
30、13巴中）先化简 ，然后 a 在1、1、2 三个数中任选一个合适的数代入 求值 5.先化简， 再求值：（x+3） （x3）x（x2） ，其中 x=4 6.先化简，再求值 （2x+3） （2x3）4x（x1）+（x2） 2，其中 x= 7.先化简，再求值：( 1) ( 1) (1 )，其中 2012aaa 8.先化简，后求值 xyxy2)()(2，其中 5.1,3y 18 C 3H8C2H6CH4 H HH H H H HHHH H H H H CCCCCH H H H C 9.先化简，再求值：( 3) 2( 1)( 2)，其中 1xxx 考点 8、观察规律求解 1 （ 2015临 沂 ） 观
31、察 下 列 关 于 x 的 单 项 式 ， 探 究 其 规 律 ： x， 3x2， 5x3， 7x4， 9x5， 11x6， 按 照 上 述 规 律 ， 第 2015 个 单 项 式 是 （ ） A 2015x2015 B 4029x2014 C 4029x2015 D 4031x2015 2.（ 2016丽水）下列是三种化合物的结构式及分子式，请按其规律，写出后一种化合物的分子式 3.（2010青岛中考）如图，是用棋子摆成的图案，摆第 1 个图案需要 7 枚棋子，摆第 2 个图案需要 19 枚棋子，摆第 3 个图案需要 37 枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第 6 个图案需要 枚棋子， 摆第 n 个图案需要 枚棋子 4.（2013张家界）阅读材料：求 1+2+22+23+24+22013 的值 解：设 S=1+2+22+23+24+22012+22013，将等式两边同时乘以 2 得： 2S=2+22+23+24+25+22013+22014 将下式减去上式得 2SS=2 20141 19 即 S=220141 即 1+2+22+23+24+22013=220141 请你仿照此法计算： （1）1+2+2 2+23+24+210 （2）1+3+3 2+33+34+3n（其中 n 为正整数）
