1、目录摘要IABSTRACTII第1章极限思想的形成与发展111极限思想的萌芽112极限思想的发展113极限思想的形成214极限思想的完善3第2章极限思想在数学分析中的应用321极限思想在概念里的渗透322极限思想在导数中的应用423极限思想在积分中的应用5第3章证明极限存在以及求极限的方法631极限的四则运算法则和简单求极限技巧632用迫敛性准则求极限733用泰勒公式求极限734用等价无穷小求极限835用洛必达法则求极限836用微分中值定理和积分中值定理求极限9第4章总结10参考文献11致谢121第1章极限思想的形成与发展极限思想作为一种重要的数学思想，在整个数学发展史上占有重要地位，是研究数
2、学、应用数学、推动数学发展必不可少的有力工具本文通过论述极限思想的发展过程以及它在诸多数学分支中的应用来说明极限在数学中的重要地位按照极限思想的萌芽、发展、形成与完善过程，可将它分为4个阶段11极限思想的萌芽古希腊时代欧多克斯提出的“穷竭法”和芝诺的“二分法”可以说是极限理论的雏形在我国，极限思想的萌芽最早可以追溯到战国末期，在哲学著作庄子天下篇中就引进了惠施的著名命题“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，它可以写成一个无穷等比递减数列借助实物，极限的概念便被形象的表达出来了然而在我国最早创立极限概念，并用它来解决实际问题的却是数学家刘徽他指出“割之弥细，失之弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合
3、体而无所失矣”并最终利用这极限思想求得了圆周率的近似值，独立的创造出了“割圆术”然而当时人们在直观上对极限概念有了清楚的理解，但由于没有无穷小的概念，因此也就不可能用数学语言准确的描述出极限概念，并且极限思想也没有作为单独的研究对象真正独立出来这在某种程度上是由于当时的经济状况和生产力水平对数学的要求只停留在对度量和计量有用的范围内决定的12极限思想的发展N21212121132，限为零，这样可取无限小数，它的极）时，无限增大（当NNN213,2,1217世纪以天文学、力学及航海为中心的一系列问题导致了微积分的产生微积分尽管在实践中非常成功，但它的思想基础无穷小量在逻辑上却有很多缺陷，被称为“
4、失去了量的鬼魂”，并由此直接导致了第二次数学危机为了消除危机，许多数学家便主张利用极限的方法为微积分提供论证和说明的工具于是，他们对极限思想进行了深入研究，其阶段性的主要成绩如下（1）达朗贝尔“理性的”极限概念达朗贝尔脱下了“微分学神秘的外衣”（马克思语），首次尝试将微分学建立在“理性的”极限观念基础上他认为“一个量永远不会重合，但它总是无限的接近它的极限，并且与极限的差要有多小有多小”，这样达朗贝尔给出了极限的描述性定义，但这个定义比较模糊，缺乏严密性（2）罗伊里埃用极限奠定的微积分基础数学家罗伊里埃用极限思想对古希腊的“穷竭法”做了修改，并用极限定念和符号表明极限思想作为微积分基础的正确思
5、想，然而他的缺点是只有单侧极限的概念（3）柯西的变量极限概念19世纪大数学家柯西抛弃了物理和几何直观，通过变量首次给出了建立在数和函数上的极限定义“当一个变量逐次所取的值无限趋向于某一数值，最终使变量的值与该定值之差要多小有多小，这个定值就叫做所有其他值得极限”柯西的变量极限概念的提出，标志着极限概念向“算术话”迈出了决定性的一步，是数学史上的重大创新之一此外，柯西还把无穷小定义为一个极限为零的变量，从而把极限原理和无穷小量有机的联系在一起在此基础上，柯西又给出了函数的连续性、导数和微分的概念，特别是他首先给出了定积分作为和式极限的定义然而，虽然柯西把纷乱的极限概念理出了头绪，为精确极限定义的
6、产生做出了开拓性的工作，但他的工作任然不够严格、精确例如，他在定义中提到的“无限趋近”和“要多小有多小”只是一种直观的定性语言，而不是一种精确的数学语言型等有神秘色彩的概穷小量和来定义微分，排除了无义导数，而进而由导数00313极限思想的形成在柯西关于变量极限的直观动态基础上，德国数学家维尔斯特拉斯从静态的观点出发，把变量解释成一个字母（该字母表示某区间的数），给出了严格定义的极限概念，即他本人在1856年首先提出的现今广泛采用的极限定义于，是一个确定的数，若对是一个数列，的数列极限定义设）（AA1NN,0的极限为数列则时，有当NNAAAANNN内有的某个空心领域在点数的函数极限定义设函）（,
7、2000XUXXF有定使得当）（，总存在某个正数于人任给的是一个确定的数，若对义，,A时极限存在，且趋向于当则称函数时都有00,0XXXFAXFXX以A为极限这样极限的定义便用静态的有限量刻画了动态的无限量，不仅排除了无穷小这个有争议的概念，而且排除了柯西在定义函数的连续性中用到的“变为并且保持小于任意给定的量”这种说法的含糊性，这标志着清晰而明确的极限概念的真正建立此外，维尔斯特拉斯还用这一方法定义了连续函数、函数的导数和积分的概念，使微积分的定义摆脱了几何直观所带来的含糊观念最终成了今天的形式14极限思想的完善尽管用语言定义的极限概念非常严密，并以占领微积分课堂100年之久，但他复杂的课堂
8、逻辑结构却成为微积分入门难以理解和掌握的难点之一近年来众多的专家学者在该研究领域取得了突破性的进展特别是广州大学张景中院士提出了和语言同样严格但易于被初学者所掌握的D语言极限1，总有使得对一切恒正递增无界数列函数极限定义若存在NDDN,1LIMAADAANNNN则42AXFXUXXFDXXLIM0000有定义，的空心领域在函数极限定义设函数使得当数）内的恒正递增无界函，（是指存在零的某右领域,10HD使得当1000XXDAXFXX时，总有从极限概念的“语言”到“D语言”的过程其实就是不断简化语言的逻辑结构，化逻辑为运算的过程，他的基本思想是用简单的单调过程刻画一般的，复杂的极限过程，并且在刻画
9、极限的过程中语言与D语言还具有实质的等价性D语言的提出，为数学分析课程的教学改革指出了一个新的方向，也为极限思想的进一步完善开辟了道路第2章极限思想在数学分析中的应用21极限思想在概念里的渗透极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终，可以说数学分析中的几乎所有的概念都离不开极限，在几乎所有的数学分析著作中都是先介绍函数理论和极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、极数的敛散性，重积分和曲线积分与曲面积分的概念（1）如以函数YFX在点0X连续的定义记0XXX称为自变量X（在点0X）的增量或改变量，设00YFX，相应的函数Y（在点0X）的增量记为0000YFXFXFXXFXYY，因此，函数YFX在
10、点0X连续等价于0LIM0XY，是当自变量X得增量X时，函数值得增量Y趋于零时的极限（2）函数YFX在点0X导数的定义设函数YFX在点0X的某邻域内5有定义，若极限000LIMXXFXFXXX存在，则称函数F在点0X处可导，令0XXX，00YFXXFX，则可写为0000LIMLIMXXXFXXFXYXX0FX，所以，导数是函数增量Y与自变量增量X之比YX的极限（3）函数YFX在区间,AB上的定积分的定义。设F是定义在,AB上的一个函数，J是一个确定的实数，若对认给的正数，总存在某一正数，使对,AB的任何分割T，以及在其上任意选取的点集I，只要T，就有1NIIIFXJ，则称函数F为在,AB上的定
11、积分，记BAJFXDX是当分割细度趋于零时，积分和式1NIIIFX的极限（4）数项级数NU的敛散性是用部分和数列NS，NSU的极限来定义的等等22极限思想在导数中的应用导数的思想最初是由法国数学家费马（FERMAT）为研究极值问题而引入的，但与导数概念直接相联系的是以下两个问题已知运动规律求速度和已知曲线求它的切线（1）瞬时速度设一质点做直线运动，其运动规律为SST，若0T为某一确定的时刻，T为邻近于0T的时刻，则00STSTVTT是质点在时间段0,TT上的平均速度若T0T时平均速度V的极限存在，则称极限000LIMTTSTSTVTT为质点时刻0T的瞬时速度（2）切线的斜率曲线XFY在其上一点
12、00,PXY处的切线PT是割线PQ当动点Q沿此曲线无限接近于点P时的极限位置6由于割线PQ斜率为00FXFXKXX因此当X0X时如果K的极限存在，则极限000LIMXXFXFXKXX即为切线PT的斜率给出导数的定义设函数XFY在点0X的某邻城内有定义，若极限000LIMXXFXFXXX存在，则称函数F在点0X处可导，并称该极限为函数F在点0X处的导数，记作0FX令0XXX,00YFXXFX,则上式可改写为00000LIMLIMXXFXXFXYFXXX23极限思想在积分中的应用积分是数学分析中的重要概念，其中的不定积分是求导数的逆运算而定积分则是某种特殊和式的极限，下面给出在定积分中极限思想的重
13、要应用定积分提出的背景曲边梯形是由非负连续曲线XFY直线BYAX,以及X轴所围成，求此曲边梯形的面积（1）将曲边梯形分成N个小曲边梯形（2）当N很大，且当所有的1,2,IXIN都很少小时，每个小时曲边梯形都可看成小矩形第K个小曲边梯形面积1,2,KKKSFSXKN其中KKKXSX1，此时11NNKKKKKSSFSX1,2,KN（）（3）当N无限增大时，即当NXXTMAX个无限趋近于0时，1,2,KKFSXKN就无限趋近于曲边梯形的面积S，故0LIMKKTSFSX定积分在闭区间,AB内有1N个点，依次为011NNAXXXXB它7们把,AB分成N个小区间1,IIIXX，1,2,IN，这些分点或这些
14、闭子区间构成对,AB的一个分割，记T01,NXXX或12,N。小区间I长度为1IIIXXX并记1MAXIINTX设F是定义在,AB上的一个函数，J是一个确定的实数，若对任给正数，总有在某一正数，使得对,AB的分割T，以及在其上任意选取的点集I，只要T就有1NIIIFXJ，则称函数在区间,AB上可积，数J称为,AB上的定积分，记作BAJFXDX第3章证明极限存在及求极限的方法求函数和数列的极限是数学分析的基本运算，求极限的主要方法有用定义、四则运算、两边夹法则、实数连续性定理等，除这些常规的方法外还有许多技巧，这些技巧隐含在函数论的相关理论中，以下主要以例题的形式介绍相关方法与技巧31用极限的四
15、则运算法则和简单技巧求极限利用极限的四则运算法求函数极限时需对所给的函数进行逐一验证，若满足条件才可利用此法则进行计算，并不是不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限，可将函数进行恒等变形使其符合条件后再求，而对函数进行恒等变形时往往运用一些简单技巧，如拆项、分子分母有理化、变量替换等例1求2011LIMXXX解此式为00型，且分母极限为0，因此先分子有理化，所以，原式22201111LIM11XXXXX20LIM11XXX02032用迫敛性准则求极限8例2求135LIM246N（2N1）（2N）解1212144222NNNNN因为121212NNN121121212125333311264
16、2125310NNNNNNN）（）（所以0121LIMNN因，再有迫敛性知，原极限等于033用泰勒公式求极限常用的泰勒公式212NXNXXEXXN24221COS11242MMMXXXM352112SIN113521MMMXXXXXM231LN1123NMNXXXXXXN2111NNXXXXX2111112NNNXXXXXN例3求2240COSLIMXXXEX解由泰勒公式知COSX2441224XXX2212XXEXX22442128XXXEX所以，原式24244401122428LIMXXXXXXX94401112LIM12XXX34用等价无穷小求极限常用的等价无穷小当0X时，SINXX，T
17、ANXX，11XX，TANARCXX，21COS2XX，LN1XX，1XEX例4430TANLIM1COSXXX解因为TANXX，21COS2XX0X所以，原式4032LIM212XXXXX0X35用洛比达法则求极限洛比达法则只直接适用于00型和型不定式极限，,0,1,0等类型，经过简单变换，可化为00型或型极限例5求0LIMLNXXX解由是0型不定式极限，有恒等变形XXXX1LNLN转化为型不定式极限。所以，应用洛必达法则原式00021LNLIMLIMLIM011XXXXXXXX36利用微分中值定理和积分中值定理求极限（1）第一积分中值定理若F在,AB上连续，则至少有在一点,AB10使得BA
18、FXDXFBA（2）第二积分中值定理设函数F在,AB上可积。若G在,AB上减增且GX0，则存在,BA使BAAFXGXDXGAFXDX或BBAFXGXDXGBFXDX例6求SIN3022LIMXXXX解有微分中值定理SINSIN332222SIN2LN2SINXXXXXXXXXX介于X与SINX之间原式2001COSLN2LIM2LN2LIM36XXX例7求230LIM1NNXDXX解令NFXX,GXX11,在20,3上可积，故不变号连续，由积分第一中值定理，223300210,311NNNXDXXDXX，由11为有界量，230NXDX为无穷小量故230LIM01NNXDXX第四章总结极限理论是
19、数学分析的基础，数学分析主要研究微分和积分，而极限又是微积分学大厦的基石，可以说没有充分的极限理论就不可能有今天数学蓬勃发展的局面，所以，我们应学好极限理论及极限思想11参考文献1明清河数学分析的思想与方法M山东大学出版社20042李克典,马云苓数学分析选讲M厦门大学出版社20053华东师范大学数学系数学分析M高等教育出版社199994M克莱因古今数学思想（第四册）M上海科技出版社19831012致谢在本次论文设计过程中，感谢我的学校，给了我学习的机会。在学习中，老师从选题指导、论文框架到细节修改，都给予了细致的指导，提出了很多宝贵的意见与建议。老师以其严谨求实的治学态度、高度的敬业精神、兢兢业业、孜孜以求的工作作风和大胆创新的进取精神对我产生重要影响。他渊博的知识、开阔的视野和敏锐的思维给了我深深的启迪。这篇论文是在老师的精心指导和大力支持下才完成的。感谢所有授我以业的老师，没有这些年知识的积淀，我没有这么大的动力和信心完成这篇论文。感恩之余，诚恳地请各位老师对我的论文多加批评指正，使我及时完善论文的不足之处。谨以此致谢最后，我要向百忙之中抽时间对本文进行审阅的各位老师表示衷心的感谢。魏玉琼2014年5月于兰州城市学院
