1、1毕业论文开题报告数学与应用数学函数项级数收敛判别法的推广和应用一、选题的意义人类的文明进步和社会发展，无时无刻不受到数学的恩惠和影响，数学科学的应用和发展牢固地奠定了它作为整个科学技术乃至许多人文学科的基础的地位。数学分析的形成和发展是由于物理学、天文学、几何学等研究领域的进展和突破。级数是研究函数的一个重要工具，在理论上和实际应用中都处于重要地位，这是因为一方面能借助级数表示许多常用的非初等函数，微分方程的解就常用级数表示；另一方面又可将函数表为级数，从而借助级数去研究函数，例如用幂级数研究非初等函数，以及进行近似计算等。级数的收敛问题是级数理论的基本问题。将函数表为级数，从而借助级数去研
2、究函数，即函数项级数函数项级数的出现不仅大大丰富和发展了已有的微积分理论，同时大大扩展了微积分学的应用范围。首先，函数项级数为函数的构造开辟了一个新天地。其次，函数项级数理论提供了研究函数的一个基本方法。利用级数的理论出现了TAYLOR展开式和FOURIER展开式的有关理论，以后又出现了用多项式和三角函数来逼近函数的理论。实际上函数项级数的理论对近代各种函数逼近理论以及无穷维空间中元素按基底的展开理论都产生了重大的影响。研究函数项级数收敛具有重要意义，我们通过研究函数项级数收敛判别法，尤其是一致收敛的判别法，并且将它们推广和应用具有理论和现实作用。二、研究的主要内容，拟解决的主要问题（阐述的主
3、要观点）所谓函数项级数1NNUX在某区间I上收敛，是指它逐点收敛。即对I中每固定一点XI,作为数项级数，1NNUX总是收敛的。因此对收敛性，可用数项级数的各种判别法进行判断。如利用级数收敛的定义或者级数收敛的柯西准则。如果是正项级数的话还可以用比较原则、比式判别法、根式判别法等。由于无穷级数的收敛性和它的部分和数列的收敛性是相同的，因此，研究函数项级数的收敛性可以研究它的部分和数列的收敛性。本文我们主要讨论函数项级数一致收敛性的判别法并将其推广应用。2三、研究（工作）步骤、方法及措施（思路）步骤1确定论文的题目，研究方向，并撰写文献综述；（2011年1月10日3月2日）2上网查阅、收集相关的资
4、料及准备两篇外文翻译，并完成外文翻译；（2011年3月3日3月6日）3撰写开题报告及修改外文翻译和文献综述；（2011年3月7日3月20日）4修改开题报告并整理资料；（2011年3月21日3月25日）5初定论文初稿；（2011年3月26日4月17日）6论文的修改；（2011年4月18日4月24日）7论文的定稿；（2011年4月25日5月1日）方法1文献研究法通过网络、书籍等形式收集与函数项级数收敛判别法的推广和应用有关的信息资料，并对资料进行比较整理，筛选有用的信息。通过研究，对自己要研究的课题形成一般印象，并通过总结、归纳，为论文的书写打下基础。2举例说明法将函数项级数收敛判别法的推广和应用
5、运用到具体例子中，说明其应用效果措施查阅与论题有关的书籍；再则查找相关网页，积累资料。从中心论点出发决定材料的取舍。了解关键论点思想和国内外对有关该课题学术研究的最新动态以及研究中存在的还有待于研究的其他问题。最后综合运用各方面资料完成本论文。四、毕业论文（设计）提纲1引言2函数项级数收敛定义以及收敛域问题21函数项级数定义22函数项级数收敛的定义23求函数项级数收敛区间的一种新方法3判断函数项级数一致收敛的方法及其推广和应用331函数项级数一致收敛的定义和充要条件32一些常见的判别法33函数项级数一致收敛的CAUCHY准则及推论34一致收敛的积分判别法35逼敛性定理36函数项级数一致收敛的几
6、个新的判别法37一些特殊的方法在判断函数项级数一致收敛时的应用4交错函数项级数及其一致收敛判别法5总结五、主要参考文献1崔艳兰，张婷函数项级数中狄利克雷判别法的必要性J延安大学学报，2006，25（4）132肖宏志放大法在判别函数项级数（函数列）一致收敛时的应用J安顺师范高等专科学校学报，2005，7（3）80823李长春关于LEIBNIZ型函数项级数的一致收敛判别法J齐齐哈尔师范学院学报，1996，16（1）12134陈玲关于函数级数一致收敛性的两个判别法J绵阳师范高等专科学校学报，2002，（2）19215王振乾，彭建奎，王丽萍关于函数项级数一致收敛性判定的讨论J甘肃联合大学学报，2010
7、，24（4）1111136陈伟关于莱布尼兹型函数项级数的一致收敛性判别法J淮北煤师院学报，2001，22（1）60617孙德荣函数项级数一致收敛的积分判别法J昌吉学院学报，2009，696988刘庆生，翟永恒，刘桂仙函数项级数一致收敛的判别法JSCIENCER1时，10R）的收敛半径，则（1）当S为奇数时，两级数有相同的收敛区间11,RR14（2）当S为偶数时，0KNBSNNAX的收敛区间10,R例求函数项级数1113NNNNXN的收敛区间解因为1113NNNNXN1211,23NNNNXSN为偶数令2NM，可得22123MMMBAM，则2112111LIMLIM239213MMMMMMBMB
8、M所以0MMMBX的收敛半径1119R因2S为偶数，1113NNNNXN的收敛区间为0,93函数项级数一致收敛判别法及其推广和应用31函数项级数一致收敛的定义和充要条件311一致收敛的定义设NSX是函数项级数NUX的部分和函数列若NSX在数集D上一致收敛于函数SX，则称函数项级数NUX在D上一致收敛于函数SX，或称NUX在D上一致收敛312函数项级数一致收敛的等价定义设NSX是函数项级数NUX的部分和函数列，函数列NSX和函数SX都是定义在同一数集D上，若对于任给的正数，总存在某一正整数N，使得当NN时，对一切XD都有|NSXSX，则称函数项级数NUX在D上一致收敛于函数SX,或称NUX在D上
9、一致收敛313一致收敛的充要条件充要条件1函数项级数NUX在数集D上一致收敛于SX的充要条件是LIMSUP|LIMSUP|0NNNNXDXDRXSXSX15充要条件2若NUX在区间D上收敛,则NUX在D上一致收敛的充要条件是NXD，有LIM0NNNRX（其中1NKKNRXUX为级数余和）证明必要性因已知NUX在区间D上一致收敛,所以0,N使得当NN时，对一切XD都有|NSXSX，对于NXD则有|NSXSX，即|NNRX，得LIM0NNRX充分性假设NUX在D上不一致收敛,则00,NXD使得0|NNNSXSX如此得到NXD，但LIM0NNNRX这与已知条件矛盾除了上述定义和定理，有些级数还可以根
10、据级数各项的特性来判别32一些常见的判别法阿贝尔判别法设（1）NUX在区间I上一致收敛；（2）对于每一个XI，NVX是单调的；（3）NVX在I上一致有界，即对一切XI和正整数N，存在正数M，使得|NVXM，则级数1122NNNNUXVXUXVXUXVXUXVX在I上一致收敛狄利克雷判别法设（1）NUX的部分和函数列1NNKKUXUX（N1,2,）在I上一致有界；（2）对于每一个XI，NVX是单调的；（3）在I上0NVXN，则级数1122NNNNUXVXUXVXUXVXUXVX在I上一致收敛16魏尔斯特拉斯判别法（M判别法或者优级数判别法）设函数项级数NUX定义在数集D上，NM为收敛的正项级数，
11、若对于一切XD，有|,1,2,NNUXMN则函数项级数NUX在D上一致收敛M判别法的三个推论定理设有函数级数1NNUX，存在一收敛的正项级数1NNA使得对于XI，有|LIM0,NNNUXKKA则函数项级数1NNUX在区间I一致收敛推论设有函数级数1NNUX，若存在极限LIM|,PNNNUXK且0,1,KP则函数项级数1NNUX在区间I一致收敛定理函数列NUX定义于区间I上，且1UX在I有界，若,NNNNXI有1|1NNUXQUX则函数项级数1NNUX在区间I一致收敛推论函数列NUX定义于区间I上，且1UX在I有界，若,XI有1|LIM1NNNUXLUX则函数项级数1NNUX在区间I一致收敛定理
12、有函数项级数1NNUX，若对XI有|1NNUXQ，则函数项级数1NNUX在I一致收敛推论有函数项级数1NNUX，若对,XI有LIM|,NNNUXL且1L，则函数项级数1NNUX在I一致收敛DINI定理若1每个NUX均在A,B上连续且非负；2NUX在A,B上收敛17于连续函数SX则NUX在A,B上一致收敛于SX例试证2211NNNNX在,内内闭一致收敛证明（用DINI定理和狄利克雷判别法）显然1|1|1NKK在,上一致有界任取,ABR，对,XAB，易证当N充分大时22NNX单调减且22LIM0NNFXNX，每个22NNX及0FX均在,AB上连续故有DINI定理知22NNX在,AB上一致收敛于0于
13、是，由狄利克雷判别法知原级数在,AB上一致收敛所以由,AB的任意性知原级数在,内内闭一致收敛33函数项级数一致收敛的CAUCHY准则及推论331一致收敛的CAUCHY准则函数项级数NUX在数集D上一致收敛的充要条件为对任给的正数，总存在某正整数N，使得当NN时，对一切XD和一切正整数P，都有|NPNSXSX或12|NNNPUXUXUX332CAUCHY收敛准则的推广定理设函数项级数NUX，（N1,2,）在,AB上可微（其中A,B为有限数）且满足如下条件（1）函数项级数1NPKKNUX在,AB上收敛；（2）存在常数M，使得对任意的自然数1M，任意的实数,XAB，恒有1|MNNUXM，则函数项级数
14、1NNUX在,AB上一致收敛18证明对任意0，因为A,B为有限数,所以存在自然数K,使1AKBAK,我们在闭区间A,B上插入分点0,1,2,1,IKXAXAIIKXB，于是，闭区间被分成K个小区间1,1,2,IIXXIK从而有11,KIIIABUXX又因为函数项级数1NNUX在A,B上是收敛的，故对任意的1,2,1IXIK，存在自然数,INX，使得N,INX时，对任意的P，有1|NPJIJNUX，于是，对任意的1,IIXX，存在自然数,INX，使得N,INX时，对任意的P，有1111|NPNPNPNPJJJIJIJNJNJNJNUXUXUXUX111|NPNPNPJJIJIJNJNJNUXUX
15、UX11|NPJIJNUXX111|NPNJJIJNJNUUXX111|NPNJJIJNJNUUXX（利用已知条件）21M即函数项级数1NNUX在A,B上一致收敛定理设函数NUX在闭区间A,B上连续,可微,且（A）存在一点0,XAB，使得1NNUX在点0X收敛；B）1NNUX在A,B上一致收敛19则函数项级数1NNUX在A,B上一致收敛证明对任意00,XXBXXAB，又已知条件NUX在0,XX上可积，于是有00XNNNXUXUXUTDT（1）因为01NNUX收敛，故对任意0，存在1N，使得当N1N时，对任意的自然数P，有01|NPJJNUX2（2），又因为01NNUXA,B上一致收敛，显然在0
16、,XB上也一致收敛,于是存在2N，使得当N2N时，有1|NPJJNUX02BX（3）对（1）进行求和运算得00111NPNPNPXNNNXJNJNJNUXUTDTUX，于是，取12MAX,NNN，当NN时，有00111|NPNPNPXNNNXJNJNJNUXUTDTUX0011|NPNPXNNXJNJNUTDTUX（利用（2）和（3）0022BXBX即函数项级数1NNUX在0,XB上一致收敛类似地,我们可以证明函数级数1NNUX在0,AX上一致收敛从而函数1NNUX在,AB上一致收敛34一致收敛的积分判别法一致收敛的积分判别法设,FXY为区域,|,1RXYAXBY上的非20负函数,如果,FXY
17、在区间1,上关于Y为单调减函数,那么函数项级数1,NFXN与含参变量反常积分1,FXYDY在区间,AB上具有相同的一致收敛性用函数项级数一致收敛的柯西准则和含参变量反常积分一致收敛的柯西准则来证明证明由假设,FXY为区域,|,1RXYAXBY上的非负函数,并且,FXY关于Y为1,上的减函数，对区间,AB上任意固定的X以及任意2N的自然数,我们有1,1NNFXNFXYDYFXN（1）1）若含参变量反常积分1,FXYDY在,AB上一致收敛，则由含参变量反常积分一致收敛的柯西准则可得，,对任意给定的正数，总存在某一实数M1，使得当N1M时，对一切,XAB和一切正整数P，都有1|,|NPNFXYDY由
18、（1）式，对一切,XAB有1|,1,|,NPNFXNFXNFXNPFXYDY由函数项级数一致收敛的柯西准则可知函数项级数1,NFXN在区间,AB上一致收敛2）若函数项级数1,NFXN在区间,AB上一致收敛，由函数项级数一致收敛的柯西准则可得对任意给定的正数，总存在某一正数N,使得当NN时,对一切XD和一切正整数P,都有|,1,|FXNFXNFXNP而对任意的12,AAN,令01021,1NANPA这样的正整数0N和P总是存在的，由（1）式，对一切XD,有2010|,|,|ANPANFXYDYFXYDY000|,1,|FXNFXNFXNP由含参变量反常积分一致收敛的柯西准则可知含参变量反常积分1
19、,FXYDY在,AB上一致收敛例设2231,LN1FXYXYY，证明含参变量积分1,FXYDY在0,1上一致收敛证明令2231LN1,1,2,NUXNXNN，易见，对每个N，NUX为0,1上的增21函数，故有2311LN1,1,2,NNUXUNNN又当1T时，有不等式2LN1TT，所以23211LN1,1,2,NUXNNNN以收敛级数21N为NUX的优级数，推得NUX在0,1上一致收敛另外，对任意的,|01,1XYRXYXY，有2231,LN10FXYXYY，并且对任意固定的0,1,0YXFXY，即,FXY是区间1,上的减函数，因此由定理知，含参变量积分1,FXYDY在0,1上一致收敛35逼敛
20、性定理设对任意的自然数N,XI都有NNNUXVXWX成立,且1NNUX和1NNWX在I都一致收敛于SX,则1NNVX在I也一致收敛于SX证明设111,NNNNKNKNKKKKUXUXVXVXWXWX因为,NNXI都有NNNUXVXWX，所以，,NNXI有NNNUXVXWX，又级数1NNUX，1NNWX在I上一致收敛于SX，即0,NNNNXI有NSXUXSX及NSXWXSX所以0,NNNNXI有NNNSXUXVXWXSX，由函数项级数一致收敛定义知，1NNVX在I也一致收敛于SX2236函数项级数一致收敛的几个新的判别法定理设NUX是定义在数集D上的正项函数项级数，NUX在D上有界（N1,2,）
21、,若1,NNUXRXNXDUX设SUPXDRRX，则1）R1时，NUX在D上不一致收敛注若SUP1XDRX时，无法判断在NUXD上是否一致收敛例22XN，0,1X因为2121NNUXNUXN，由221,0,11NNXN，0,1SUP11,X因为2221XNN，而一致收敛所以22XN在0,1上一致收敛但是XN在0,1上不一致收敛定理设NUX是定义在数集D上的正项函数项级数,若NNUXRX，设SUPXDRRX，则1）R1时,NUX在D上不一致收敛例证明NNX在1XR上一致收敛证明由1NNNNNXXX知11LIMSUPLIM10NNNNXRNNXXR，即1,NNNXRXX且11SUP1XRXR，由定
22、理得NNX在1XR上一致收敛所以NNX在1XR上一致收敛37放大法在判断函数项级数一致收敛时的应用一般要实现对函数项级数一致收敛的判别，均要对一定的表达式进行有效的放大，实现放大有许多不同的技巧23定理设NSX是函数项级数NUX的部分和函数列，函数列NSX和函数SX都是定义在同一数集D上,对于任意的N，存在数列NANA0，使其对于任意的XD有|NNSXSXA，且LIM0NNA，则称函数列NSX一致收敛于SX，即函数项级数NUX在D上一致收敛于函数SX证明由假设LIM0NNA，对任给0存在正整数N,使得当NN时,有|NA，因为对于一切XD总有|NNSXSXA，故对任给0，存在正整数N,使得当NN
23、时,对一切XD都有|NNSXSXA，由定义312可得函数列NSX一致收敛于SX即函数项级数NUX在D上一致收敛于函数SX1、利用不等式进行放大（1）利用柯西不等式例利用柯西不等式222BBBAAAFXGXDXFXDXGXDX进行判断若NFX在,AB上可积，N1,2,，且FX与GX在,AB上都可积2LIM|0BNANFXFXDX，设,XXNNAAHXFTGTDTHXFTGTDT，则在,AB上NHX一致收敛于HX证明因为GX在,AB上可积，故M0，对,AB，有|GXM，|XXXNNNAAAHXHXFTGTDTFTGTDTFTFTGTDT|XNAFTFTGTDT（利用柯西不等式）112222|XXN
24、AAFTFTDTGTDT112222|BBNAAFTFTDTGTDT2411222|0BNAMBAFTFTDT（当N时）所以当N时，NHX在,AB一致收敛于HX（2）利用三角不等式例判断函数项级数22212COSNYNNNXYE在0,2X，1Y的敛散性证明先令2222NYGYNYE，22222212NYGYNENY0，故判断出原函数在1,上单调递减，所以22MAX12NGYGNE，而1,LIMSUP|0NNYFYFY从而NFY在1,上一致收敛于零又因111|COS|22SIN2KKXX，知级数COSNX的部分和函数列在0,2,1XY上一致收敛2、通过求最大值进行放大例给定函数列LNANXXNF
25、XN，（N2,3,4）试问当A为何值时，在0,上一致收敛解1LN1LNANXNFXXNN，可见X1LNN时，NFX单调递减函数NFX在X1LNN处取得最大值又注意到函数列的极限函数LIM0NNFXFX故0,0,1SUP|MAX|LNNNNNXXAFXFXFXFN111LNLN1LNAANNNEN，这里11LNLNLNNNNNEE当1A时，LIM0NNA当A1时，LIM0NNA所以NFX当且仅当A1时，在0,内一致收敛253、利用级数的余和进行估计用级数余和估计不等式对满足交错级数条件的级数，级数余和11KNNKKNRXSSA有估计式1|NNRA例试证2211NNNNX在,内一致收敛证明设函数2
26、2TFTTX，则22222XTFTTX，可见,X，当N充分大时，级数通项的绝对值22NNX单调下降趋于0（当N）故该级数为LEIBNIZ级数当N时，2211011NNRXNNX，所以级数2211NNNNX在,内一致收敛4、用递推的方法进行放大当函数序列使用递推的形式给出时，这时可以考虑用递推的方式进行放大例设1FX在,AB上正常可积，1,1,2,XNNAFXFTDTN，证明函数序列1NFX在,AB上一致收敛于零证明先用数学归纳法证明一切N有11NNMXAFXN（其中M为常数）因为1FX在,AB上正常可积，故在,AB上有界，即10,MSTFXMXAB，从而21,XAFXFTDTMXA2322XX
27、AAMXAFXFTDTMTADT设对N有11NNMXAFXN，则有111NXXNNNAAMXAMFXFTDTTADTNN所以101NNMXAFXNN故当N时，NFX在,AB上一致收敛于零5、利用TAYLOR公式等进行变形后放大26例设一元函数F在0X的邻域里有二阶连续导数，00F，0FX1函数NFX是F的N次复合证明级数1NNFX在0X的邻域里一致收敛证明因为F在X0的邻域里有二阶连续导数，存在0，在,上FX连续，从而存在M0，使得|,FXMX利用TAYLOR公式有“2“21002102FXFFXFXXFXFX从而102FXXFMQX（1）记102QFM由于01FX，可取1210MIN,FM，
28、用1代替，则111012QFM，则（1）式可以改写成111,FXQX重复使用得2211111FXQFXQQXQ，11111,NNNFXQFXQX由级数111NNQ的收敛性可知级数1NNFX在X0的邻域内一致收敛6、利用ABEL变换进行放大利用CAUCHY收敛准则证明函数项级数1NNUX一致收敛，一个重要的问题是将“1NPKKNUX进行变形”这种变形的一个重要方法是利用ABEL变换例设函数序列0FX，1FX，在区间I上有定义，且满足（1）0|0|,FM（2）10|,0,1,2,MNNNFXFXMM其中M是常数，试证如果级数1NNBX收敛，则级数0NNNBFX必在区间I上一致收敛27证明因1NNB
29、收敛，故对0,0,N当NN时，有1,NPKKNBPN1记11NPKKNSB，于是11,2,SI2利用ABEL变换有1121211NPKKNNPPNPKNBFXSFSSFSSF11211NNPNPNPPNPSFFSFFSF11211|NNPNPNPPNPSFFSFFSF11NPKKNPKNFFF（由（2）式）因为11110NPNPKKKKKNKFFFFM（条件II）0011110011|2NPNPNPNPNPNPFFFFFFFFFFFFFM（条件I）所以13NPKKKNBFXMPN，故级数0NNNBFX在区间I上一致收敛4、交错函数项级数及其一致收敛判别法定义设有函数项级数111NNNUX，其中
30、1,2,3NUXN是区间,AB上的连续函数，当N时，NUX在区间,AB上单调递减趋于0，则称这一级数为莱布尼兹型函数级数莱布尼兹判别法若111NNNUX为莱布尼兹型函数项级数，则此级数在,AB上一致收敛定理设NUX在区间,AB上的连续函数列，且对,XAB，都有（1）10,NNUXUXNN（2）LIM0NNUX28则交错函数项级数11NNNUX在,AB上一致收敛例证明1211NNNX在区间,AB一致收敛分析此例若用阿贝尔判别法将无法判别，而用狄利克雷判别法必须证明21NX一致收敛于0，如果应用以上定理就方便多了证明21NX是任意闭区间,AB的连续函数列1,0NNXABUXUX，LIM0,NNUX
31、由上述定理知，函数项级数1211NNNX一致收敛致收敛定理若交错函数级数111NNNUX满足以下条件XI，NN有1NNUXUX；XI，有LIM0NNUX，则有（1）交错函数级数111NNNUX在I收敛于SX；（2）|NNNRXSXSXUX，其中NSX为交错函数级数前N项部分和,NRX交错函数级数前N项部分和的余和证明（1）0XI，KN，有0102021021022021,KKKKSXUXUXUXUXUX20102021020,KKKSXUXUXUXUX210202102200,KKKKSXSXUXUX即偶子列20KSX单调增加又有20102030210201020304050220210201
32、0KKKKKKSXUXUXUXUXUXUXUXUXUXUXUXUXUXUX即偶子列20KSX有上界根据收敛原理，偶子列20KSX收敛设200LIMKKSXSX，则21020210LIMLIMKKKKKSXSXUX，29即奇子列210KSX也收敛于0SX于是，00LIMKKSXSX，即交错函数级数111NNNUX在I收敛（2）由于,XINN有10,NNUXUX且0,NUX故123412345123451NNNNNNNNNNNNNNNNNNRXSXSXUXUXUXUXUXUXUXUXUXUXUXUXUXUXUXUX例证明级数212111NNNXX在,上一致收敛证明记221NNXUXX，则NUX在,
33、上连续1,2,3,N,又对2211,11NNNNXXXUXUX1,2,3,N,22LIMLIM01NNNNXUXX，即对,NXUX单调减少收敛于0，所以级数212111NNNXX，,X为莱布尼兹型级数，从而在,上一致收敛例考察11SIN1,0NNNXXN的一致收敛性证明因为SINNXN是0X上的连续函数而且对于每一个0,X，当N时SINNXN单调递减趋于0，所以原级数为LEIBNIZ型级数，所以由LEIBNIZ法得证级数11SIN1,0NNNXXN是一致收敛的5、总结本文是数学与应用数学之分析学为研究方向的，具体内容为函数项级数收敛判别法的推广和应用主要从函数项级数收敛尤其是一致收敛的角度来探
34、讨研30究，并且分别举出它们的应用和推广函数项级数的思想不仅在中学教育而且在高等数学中都起着十分重要的作用，无穷的思想在初等数学和高等数学中起着承上启下的作用对函数项级数收敛判别的推广，我将从原来的基础做出更一步的研究，对判别函数项级数收敛或者一致收敛的应用方面将从多角度进行举例主要参考文献1裴礼文数学分析中的典型问题与方法（2版）M高等教育出版社，20064815142华东师范大学数学系数学分析（3版下册）M高等教育出版社，200126433钱吉林数学分析题解精粹M崇文书局，20033643934崔艳兰，张婷函数项级数中狄利克雷判别法的必要性J延安大学学报，2006，25（4）135肖宏志放
35、大法在判别函数项级数（函数列）一致收敛时的应用J安顺师范高等专科学校学报，2005，7（3）80826李长春关于LEIBNIZ型函数项级数的一致收敛判别法J齐齐哈尔师范学院学报，1996，16（1）12137陈玲关于函数级数一致收敛性的两个判别法J绵阳师范高等专科学校学报，2002，21（2）19218王振乾，彭建奎，王丽萍关于函数项级数一致收敛性判定的讨论J甘肃联合大学学报，2010，24（4）1111139陈伟关于莱布尼兹型函数项级数的一致收敛性判别法J淮北煤师院学报，2001，22（1）606110孙德荣函数项级数一致收敛的积分判别法J昌吉学院学报，2009，6969811刘庆生，翟永恒，刘桂仙函数项级数一致收敛的判别法JSCIENCECONVERGENCEUNIFORMCONVERGENCECRITERIONPROMOTIONANDAPPLICATION
