1、第八章: 函数,第一节：函数的定义与性质 第二节：函数的复合与反函数,第八章: 函数,主要内容函数的定义与性质函数定义函数性质函数运算函数的逆函数的合成双射函数与集合的基数,第八章: 函数,第一节：函数的定义与性质 第二节：函数的复合与反函数,8.1 函数的定义与性质,函数的历史：十七世纪伽俐略提出过非形式化的函数概念笛卡尔的解析几何中讨论一个变量对另一个变量的依赖关系莱布尼兹、牛顿在几何和微积分中都使用函数康托在集合论中用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义,8.1 函数的定义与性质,函数是具有特殊性质的二元关系也称为映射或变换本章定义一般函数类和各种特殊子类侧重讨论离散函数,8.1
2、函数的定义与性质,函数(映射)F：F为二元关系，满足xdom F都存在唯一的yran F使xFy成立F在x的值y：xFy记做yF(x)x称为F的自变量函数相等：设F，G是函数FG FGG F,8.1 函数的定义与性质,A到B的函数f：设A，B是集合，如果f为函数，且domf=A, ranfB记为f: AB存在性唯一性,8.1 函数的定义与性质,例：f: a,b,c,d 1,2,3 f(a)=1 x f(x) f(b)=2 或 a 1 f(c)=2 b 2 f(d)=1 c 2 d 1,8.1 函数的定义与性质,皮亚诺后继函数f: NN, f(n)=n+1投影函数X和Y是非空集合，f: XYX,
3、 f(x,y)=x,8.1 函数的定义与性质,A到B的函数集合BA (B上A) BA =f | f: A B例：设A=1, 2, 3, B=a,b，求BA解：BA=f0,f1,f7 f0=, f1=, f2=, f3=, f4=, f5=, f6=, f7=,8.1 函数的定义与性质,若A=，B是任意集合，那么BA =B=满足函数定义的条件若A而B=，不存在从A到B的函数讨论,8.1 函数的定义与性质,函数的像：设f是从A到B的函数，AA，B Bf(A)=f(x)| xA叫做函数f下A的像f(A)为函数f的像(f的值域) f1(B)=x|xAf(x)B,称f1 (B)为B在f下的完全原像性质：
4、A f1(f(A) （验证）A f1(f(A)例：f:1,2,30,1, f(1)=f(2)=0, f(3)=1 考虑A=1,8.1 函数的定义与性质,例 设f：a,b,c,d1,2,3 f(a)=1 f(a,b)=1,2 f()= f-1(1)=a,d,8.1 函数的定义与性质,满(单、双)射：设f是从A到B的函数满射：ranf=B单射：xx f(x)f(x)或者：f(x)=f(x) x=x双射：f是满射且是单射,8.1 函数的定义与性质,例：判断函数类型f: RR, f(x)=2x+5解：yR存在x=(y-5)/2使得f(x)=y, f是满射x1,x2R, x1x2, 有2 x1+52 x
5、1+5,即f(x1)f(x2),f是单射f是双射,8.1 函数的定义与性质,例：判断f: AB是否构成函数，如果是，是否为单射、满射和双射A=1,2,3,4,5, B =6,7,8,9,10, f= ,A, B同上, f=, , A=B=RR, f()=,8.1 函数的定义与性质,常函数：f: AB满足如果存在yB使对每一xA有f(x)=y 恒等函数IA: AA，对每一xA有f(x)=x恒等函数是双射函数,8.1 函数的定义与性质,(严格)单调递增：设，为偏序集，f: AB单调递增：如果对任意的x，yA，xy，就有f(x)f(y)严格单调递增：如果对任意的x，yA，xy,就有f(x)f(y),
6、8.1 函数的定义与性质,特征函数：设AA，函数A: A0,1定义为 A(x)= 1 如果xA 0 如果xA称它是集合A的特征函数例：设A=a,b,c,d, A=b,d A:A0,1则 A(a)=0, A(b)=1 A(c)=0, A(d)=1,8.1 函数的定义与性质,如果函数f:A B的前域A非空，那么集合族f-1(y)|yBf-1(y)形成A的一个划分，与此划分相关联的等价关系R可如下定义： x1Rx2 f(x1)=f(x2)可以证明R符合等价条件称R为f诱导的A上的等价关系定义: 设R是一集合A上的等价关系，函数 g:AA/R,g(x)=xR叫做从A到商集A/R的自然映射,8.1 函数
7、的定义与性质,例 设A=a,b,c,d,B=0,1,2,3,4f(a)=1,f(b)=0,f(c)=1,f(d)=3f诱导的等价关系R的等价类a,c,b,d从A到A/R的自然映射gg:a,b,c,da,c,b,dg(a)=a,cg(b)=bg(c)=a,cg(d)=d,第八章: 函数,第一节：函数的定义与性质 第二节：函数的复合与反函数,8.2 函数的复合与反函数,函数的复合：关系的右复合性质1：FG还是一个函数证明：对任一xdom( FG)，假设 FG 且 FGt1(FG) t2(FG)t1t2(t1=t2GG)y1=y2,8.2 函数的复合与反函数,性质2：domFG=x|xdomFF(x
8、) dom(G)证明：对任一xdom(FG) ty(FG)ty(xdomFt=F(x)tdomG)t(xdomFF(x)domG)xx|xdomFF(x)dom(G),8.2 函数的复合与反函数,性质3：xdomFG有FG(x)=G(F(x)证明： xdomFF(x)dom(G)FGFGxdomFGFG(x)=G(F(x)推论1：给定函数F, G, H, 则F(GH)和(FG)H都是函数，且 F(GH)=(FG)H,8.2 函数的复合与反函数,例：集合A=1,2,3, A上的两个函数f=,g=,fg=,gf=,ff=,fff=, =IA,8.2 函数的复合与反函数,例：A上的三个函数 f(a)
9、=3-a, g(a)=2a+1, h(a)=a/3我们有：(fg)(a)=g(f(a)=g(3-a) =2(3-a)+1=7-2a(gf)(a)=f(g(a)=f(2a+1)=2-2ah(g(f(a)=h(7-2a)=(7-2a)/3,8.2 函数的复合与反函数,推论2：设f:AB, g:BC, 则fg：AC,且 xA都有fg(x)=g(f(x)证明：由性质1，fg是函数，由性质2易证 dom(fg)=A, ran(fg)C 由性质3，fg(x)=g(f(x),8.2 函数的复合与反函数,定理：设函数f:AB, g:BC 则:若f和g都是满射,则fg 也是满射若f和g都是单射,则fg也是单射若
10、f和g都是双射,则fg也是双射,8.2 函数的复合与反函数,定理：设函数f:AB, g:BC 则:若f和g都是满射,则fg也是满射证明：任取cC g是满射存在bB, g(b)=c f是满射存在aA, f(a)=b 由性质3 fg(a)=g(f(a)=g(b)=c 从而证明fg是满射,8.2 函数的复合与反函数,fg是满射, f不是满射,fg是单射, g不是单射,8.2 函数的复合与反函数,定理：给定函数f:AB,有ffIBIAf证明：首先易证fIB和IAf都是函数 ffyB fIB fIB 同理可以证明 fIB IBf,8.2 函数的复合与反函数,给定函数F，F-1不一定是函数例：A=a,b,
11、c,B=1,2,3f=, f非单射非满射f-1=, f-1不是函数讨论：任给单射函数f:ABf-1是函数f-1:ranfA的双射函数f-1不一定是B到A的双射函数,8.2 函数的复合与反函数,定理：函数f:AB是双射函数f-1:BA是双射函数证明：由关系逆的性质 domf-1=ranf=B ranf-1=domf=AxB，假设有y1,y2A，使得 f-1f-1则 fff是单射，故y1=y2，所以f是函数同样可以证明f是单射和满射,8.2 函数的复合与反函数,定理：函数f:AB是双射函数 f-1f=IB，ff-1=IA证明：首先易证f-1f是B到B的函数。 , f-1f t(f-1f) t(ff
12、) x=yx,yB IB 同理可以证明IBf-1f,第八章: 函数,第三节：双射函数与集合的基数,8.3 集合的基数,等势：集合A和B等势如果存在从A到B的双射函数记作AB例：ZNf: ZN，使得f(x)=2x，x0f(x)=-2x-1, x)=(m+n+1)(m+n)/2 + m,8.3 集合的基数,例：(0,1)Rf: (0,1)R，使得f(x)=tan(2x-1/2)例：0.1(0.1)f: 0.1 (0.1)，使得f(x)=1/2, x=0f(x)=1/4, x=1f(x)=1/2n+2, x=1/2nf(x)=x, 其他x,8.3 集合的基数,例：0,1a,b，对任何ab, a, b
13、Rf: 0,1a,b，使得f(x)=(b-a)x+a例：P(A)0,1Af: P(A)0,1A，使得f(A)=A, AP(A),8.3 集合的基数,定理：对任意集合A, B, CAA若AB，则BA若AB，BC，则AC证明？总结NZQNNR0,1(0,1)NR ?,8.3 集合的基数,康托定理：NR对任意集合A都有，AP(A),8.3 集合的基数,康托定理：NR对任意集合A都有，AP(A)证明：只需证明N0,1任一0,1间实数必可写成无限的十进制小数 x=0.x1x2, 0 xi 9设f:N0,1是从N到0,1的任何一个函数，则可列出f 的所有函数值如下,8.3 集合的基数,康托定理：NR对任意
14、集合A都有，AP(A)证明：则可列出f 的所有函数值如下 f(0)= 0.a(1)1 a(1)2 f(1)= 0.a(2)1 a(2)2 f(2)= 0.a(3)1 a(3)2 . f(n-1)= 0.a(n)1 a(n)2a(n)n . 设y=0.b1b2, bia(i)i, i=1,2, y不在ranf中！,8.3 集合的基数,康托定理：NR对任意集合A都有，AP(A)证明：设g:AP(A)是函数。可以构造 B=x|xAxg(x)则BP(A)，对任意xA有 xBxg(x)故Bg(x)，所以x不在rang中,8.3 集合的基数,优势于：B优于A(AB): 存在从A到B的单射函数B真优于A(A
15、B): AB且BA例：NN, NR, AP(A)NR, AP(A)定理：给定任意集合A, B, CAA若AB且BA，则AB若AB且BC，则AC,8.3 集合的基数,对于有限集：集合中不同元素的个数。对于无限集呢？是否所有无限集的基数都一样？为了比较两个集合的“大小”，确定有限集和无限集的概念，引进自然数集合给定集合A，A+=AA，称A+是A的后继集合利用后继集合的概念来定义自然数集合0，1，2，,8.3 集合的基数,设A=，则A的后继集合可写成A+=(A+)+=，(A+)+)+=， =，.定义自然数集合0，1，2，=0+=0+=1，(+)+=1+=2上述求0的后继集合而得到N=0，1，2，,8
16、.3 集合的基数,Peano公理0N (这里规定0=)nNn+N (这里n+是n的后继数)若SN，且()0S, ()nSn+S，则可得S=N,8.3 集合的基数,有穷集：一个集合是有穷的它与某个自然数等势否则为无穷例：有穷集：a,b,c 无穷集：N, R三类不同基数有穷集合A: cardA=nAn自然数集N：cardN=0实数集R: cardR=,8.3 集合的基数,基数相等和大小：给定集合A和BcardA=cardBABcardAcardBABcardAcardBcardAcardBcardAcardB例：cardN=cardQ=cardNN=0cardP(N)=card2N=carda,b
17、=card(a,b)=0 ,8.3 集合的基数,可数集：A为可数集如果cardA0例：可数集：a,b,c, N, Z, Q不可数集：R, (0,1)命题：可数集的任何子集是可数集两个可数集的并是可数集两个可数集的笛卡尔积是可数集无穷集的幂集不是可数集,8.3 集合的基数,例：给定集合A, B, C，满足cardA=0, cardB=n (n0)，求cardAB证明：令A=a0,a1, B=b0,b1,bn-1函数f:ABN f()=in+jf为双射，故 cardAB=0,第八章 习题课,主要内容函数，从A到B的函数 f:AB，BA，函数的像与完全原像函数的性质：单射、满射、双射函数重要函数：恒
18、等函数、常函数、单调函数、集合的特征函 数、自然映射集合等势的定义与性质集合优势的定义与性质重要的集合等势以及优势的结果可数集与不可数集集合基数的定义,基本要求,给定 f, A, B, 判别 f 是否为从A到B的函数判别函数 f:AB的性质（单射、满射、双射）熟练计算函数的值、像、复合以及反函数证明函数 f:AB的性质（单射、满射、双射）给定集合A, B，构造双射函数 f:AB 能够证明两个集合等势能够证明一个集合优势于另一个集合知道什么是可数集与不可数集会求一个简单集合的基数,练习1,1给定A, B 和 f, 判断是否构成函数 f:AB. 如果是, 说明该 函数是否为单射、满射、双射的. 并
19、根据要求进行计算.(1) A=1,2,3,4,5, B=6,7,8,9,10, f=,.(2) A,B同(1), f=,.(3) A,B同(1), f=,.(4) A=B=R, f(x)=x3(5) A=B=R+, f(x)=x/(x2+1).(6) A=B=RR, f()=, 令 L=|x,yRy=x+1, 计算 f(L).(7) A=NN, B=N, f()=|x2y2|. 计算f(N0), f 1(0),解,解答,(1) 能构成 f:AB, f:AB既不是单射也不是满射, 因为 f(3)=f(5)=9, 且7ranf.(2) 不构成 f:AB, 因为 f 不是函数. f 且f, 与函 数
20、定义矛盾(3) 不构成 f:AB, 因为dom f = 1,2,3,4 A(4) 能构成 f:AB, 且 f:AB是双射的(5) 能构成 f:AB, f:AB既不是单射的也不是满射的. 因为该 函数在 x=1取极大值 f(1)=1/2. 函数不是单调的,且ranfR+.(6) 能构成 f:AB, 且 f:AB是双射的. f(L) = |xR=R1(7) 能构成 f:AB, f:AB既不是单射的也不是满射的. 因为 f()=f()=0, 2ranf. f(N0) = n202|nN = n2|nN f1(0) = |nN,练习2,2. 设 f1, f2, f3, f4RR，且,令Ei 是由 fi
21、 导出的等价关系，i=1,2,3,4，即 xEiy fi(x)=fi(y) (1) 画出偏序集的哈斯图，其中T 是加细关系： T x(xR/Eiy(yR/Ej xy) (2) gi:RR/Ei 是自然映射，求gi(0), i=1,2,3,4.(3) 对每个i, 说明 gi 的性质（单射、满射、双射）.,(1) 哈斯图如下(2) g1(0) = x | xRx0, g2(0)=0, g3(0)=Z, g4(0)=R(3) g1, g3, g4是满射的；g2是双射的.,解,图1,解答,练习3,3对于以下集合A和B，构造从A到B的双射函数 f:AB(1) A=1,2,3，B=a, b, c(2) A
22、=(0,1)，B=(0,2)(3) A=x| xZx0，B=N (4) A=R，B=R+,解 (1) f=, , (2) f:AB, f(x)=2x(3) f:AB, f(x)= x1(4) f:AB, f(x)=ex,4.设 证明 f 既是满射的，也是单射的.,证 任取RR，存在,使得,练习4,因此 f 是满射的对于任意的 , RR, 有,因此 f 是单射的.,证明方法,1. 证明 f:AB是满射的方法: 任取 yB, 找到 x (即给出x的表示)或者证明存在xA，使得f(x)=y. 2. 证明 f:AB是单射的方法 方法一 x1,x2A, f(x1)=f(x2) x1=x2 推理前提 推理
23、过程 推理结论 方法二 x1,x2A, x1x2 f(x1)f(x2) 推理前提 推理过程 推理结论 3. 证明 f:AB不是满射的方法： 找到 yB, yranf 4. 证明 f:AB不是单射的方法：找到 x1,x2A, x1x2, 且 f(x1)=f(x2),5. 设A, B为二集合, 证明：如果AB, 则P(A)P(B),练习5,证 因为AB，存在双射函数 f:AB，反函数 f 1: BA构造函数 g:P(A) P(B), g(T) = f(T)，TA （f(T)是T在函数 f 的像） 证明 g 的满射性. 对于任何S B, 存在 f 1(S) A, 且 g(f 1(S) = f f 1
24、(S) = S 证明g的单射性. g(T1) = g(T2) f(T1) = f(T2) f 1(f(T1) = f 1(f(T2) IA(T1) = IA(T2) T1=T2综合上述得到P(A)P(B).,证明集合A与B等势的方法,方法一：直接构造从A到B的双射, 即定义一个从A到B的函数 f:AB，证明 f 的满射性，证明 f 的单射性方法二：利用定理8.8，构造两个单射 f:AB 和 g:BA. 即 定义函数 f 和 g ，证明 f 和 g 的单射性方法三：利用等势的传递性方法四：直接计算A与B的基数，得到card A=card B. 注意：以上方法中最重要的是方法一.证明集合A与自然数
25、集合N等势的通常方法是：找到一个“数遍”A中元素的顺序.,练习6,6已知A=n7|nN, B=n109|nN, 求下列各题：(1) Card A(2) Card B(3) card (AB)(4) card (AB),解 (1) 构造双射函数 f:NA, f(n)=n7 , 因此 card A=0(2) 构造双射函数 g:NA, g(n)=n109, 因此card B=0(3) 可数集的并仍旧是可数集，因此card(AB) 0, 但是 card(AB) card A=0, 从而得到 card(AB)= 0. (4) 因为7与109互素，card(AB)=n7109 | nN，与(1) 类似得到 card(AB)= 0,7. 已知cardA=0, 且cardBcardA, 求card(AB),练习7,解 由ABA 得到 card(AB) cardA, 即 card(AB) 0 由 cardBcardA 可知 B 为有穷集，即存在自然数n使得 cardB=n. 假设card(AB) 0，那么存在自然数m，使得 card(AB)=m 从而得到 cardA = card(AB)B) n+m，与cardA=0矛盾. 因此， card(AB)= 0.,
