1、 本科毕业论文（设计） （ 201 届） 行列式的计算方法 所在学院 专业班级 信息与计算科学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 I 摘 要 ： 在这篇论文中，我们讨论了行列式的计算方法；先给出行列式的基本知识，进而介绍了常用的行列式计算方法，然后给出了一些特殊的行 列式求法，如：数学归纳法 、 n 阶行列式的计算 、递推法 、公式法 、拆行 (列 ) 法、加边法 (或称升阶法 )、 析因子法、范德蒙行列式、列式用待定系数法计算行列式。 关键词 ： 行列式；化三角法；范得蒙行列式；拉普拉斯定理 II The Calculation method of Determinant A
2、bstract： In this paper, we discussed the calculation method of determinant; First, we gived the basic knowledge of determinant, Then I introduced some calculation method about determinant calculation. We gived a lot of examples of special determinants and these examples were solved by many methods,
3、such as: Mathematics inductive method， the calculation of n rank determinant, pass to push a method, formula method, dismantle a line(row) method, add a side method and so on , Vandermonde, the row type is used the undetermined coefficient method calculation determinant. Key words:The determinant; C
4、hange triangulation; Vandermonde; Laplace theorem III 目 录 1 绪论 . 1 1.1 行列式的发展历史 . 1 1.2 选题的意义 . 2 1.3 行列式的定义及其基本性质 . 2 1.3.1 行列式的概念 . 2 1.3.2 行列式的性质 . 3 2 行列式的计算方法 . 7 2.1 用行列式的定义求解行列式 . 7 2.2 用数学归纳法求解行列式 . 8 2.3 化三角形法 . 9 2.4 递推法 . 14 2.5 公式法 . 15 2.6 拆行 (列 ) 法 . 16 2.7 加边法 (或称升阶法 ) . 17 2.8 析因子法 .
5、 18 2.9 范德蒙行列 式的定义及其计算方法 . 20 2.10 分块矩阵的初等变换在行列式求解中的应用 . 23 2.11 用待定系数法计算行列式 . 24 2.12 利用拉普拉斯定理 . 26 3 总结和展望 . 27 致 谢 . 28 参考文献 . 29 1 1 绪论 1.1 行列式的发展历史 行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的，他在 1683年写了一部叫做解伏题之法的著作，标题的意思是“解行列式问题的方法”，书中对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。 1693年 4月，莱布尼茨在写给洛比达的一封信中使用并给出 了行列式，并给出方程组的系数行列式为零的条件。同
6、时代的日本数学家关孝和在其著作解伏题元法中也提出了行列式的概念与算法。 1750 年，瑞士数学家克莱姆 (G.Cramer， 1704 1752) 在其著作线性代数分析导引中，对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述，并给出了现在我们所称的解线性方程组的克莱姆法则。稍后，数学家贝祖 (E.Bezout,1730 1783) 将确定行列式每一项符号的方法进行了系统化，利用系数行列式概念指出了如何判断一个齐次线性方程组有非零解。在行列式的发展史上， 第一个对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述，即把行列式理论与线性方程组求解相分离的人，是法国数学家范德蒙 (A-T.Vandermonde， 1
7、735 1796) 。范德蒙自幼在父亲的知道下学习音乐，但对数学有浓厚的兴趣，后来终于成为法兰西科学院院士。特别地，他给出了用二阶子式和它们的余子式来展开行列式的法则。就对行列式本身这一点来说，他是这门理论的奠基人。 1772 年，拉普拉斯在一篇论文中证明了范德蒙提出的一些规则，推广了他的展开行列式的方法。 继范德蒙之后，在行列式的理论方面，又一位做出突出贡献的就是另一位 法国大数学家柯西。1815 年，柯西在一篇论文中给出了行列式的第一个系统的、几乎是近代的处理。其中主要结果之一是行列式的乘法定理。另外，他第一个把行列式的元素排成方阵，采用双足标记法；引进了行列式特征方程的术语；给出了相似行
8、列式概念；改进了拉普拉斯的行列式展开定理并给出了一个证明等。 继柯西之后，在行列式理论方面最多产的人就是德国数学家雅可比 (J.Jacobi， 1804 1851)，他引进了函数行列式，即“雅可比行列式”，指出函数行列式在多重积分的变量替换中的作用，给出了函数行列式的导数公式。雅可比的著 名论文论行列式的形成和性质标志着行列式系统理论的建成。由于行列式在数学分析、几何学、线性方程组理论、二次型理论等多方面的应用，促使行列式理论自身在 19 世纪也得到了很大发展。整个 19 世纪都有行列式的新结果。除了一般行列式的大量定理之外，还有许多有关特殊行列式的其他定理都相继得到。 2 1.2 选题的意义
9、 行列式的应用在消元法 、 矩阵论 、 坐标变换，多重积分中的变量替换，解行星运动的微分方程组 、 将二次型及二次型束化简为标准型等诸多的问题中都有广泛的应用，然而这些应用最终都离不开行列式的计算，它是行列式理论 中的一个重要问题 。行列式的计算已经 超出了代数的范围 ， 成为解析几何 、 数学分析 、 微分方程 、 概率统计等数学分支的基本工具 。 行列式是代数学中的重要内容，是研究高等代数的一个重要工具。行列式的理论和方法，是研究现代科学技术的重要方法，在众多的科学技术领域中应用都十分广泛。在这篇论文中我们主要讨论行列式的各种计算方法，并对行列式在高等数学中的应用作一些总结 ,初步揭示高等
10、院校两门重要的基础课程 线性代数与高等数学之间密切的联系。 利用行列式去解决一些问题，使复杂问题简单化，在解决问题方面起到抛砖引玉的效果。 1.3 行 列式的定义及其基本性质 1.3.1 行列式的概念 1 行列式 在 数学 中，是一个 函数 ，其 定义域 nn 的 矩阵 A，取值为一个标量，写作 det(A)或 | A | 。行列式可以看做是有向 面积 或 体积 的概念在一般的 欧几里得空间 中的推广。或者说，在 n 维 欧 式 空间中，行列式描述的是一个 线性变换 对 “ 体积 ” 所造 成的影响。 定义 1.1 由 2n 个数组成 n阶行列式等于所有取自不同行和不同列的元素的乘积的代数和记
11、作：()或ijdet a D ，数 ija 称为行列式 D的元素。简记作 其中 12npp p 是一个 n 阶排列， 12()np p p 为这个排列的逆序数。 定义 1.2 由 sn 个数排成的 s 行 (横的 )n 列 (纵的 )的表 snssnnaaaaaaaaa212222111211称为一个 ns 矩阵。 数 njsia ij ,2,1,2,1, ,称为矩阵的元素， i 称为元素 ija 的行指标， j 称为列指标 .当一个矩阵的元素全是某一数域 P 中的数时，它就称为这一数域 P 上的矩阵。 12121 1 1 2 12 1 2 2 21212( 1 )nnnnn n np p p
12、p p npnaaa a aa a aDa a aa 3 nn 矩阵也称为 n 级方阵。一个 n 级方阵 nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211定义一个 n 级行列式 nnnnnnaaaaaaaaa212222111211称为矩阵 A 的行列式，记作 |A . 定义 1.3 所谓数域 P 上矩阵的初等行变换是指下列三种变换： 1）以 P 中一个非零的数乘矩阵的某一行； 2）把矩阵的某一行的 c 倍加到另一行，这里 c 是 P 中任意一个数； 3) 互换矩阵中两行的位置 . 一般说来，一个矩阵经过初等行变换后，就变成了另一个矩阵 .当矩阵 A 经过初等行变换变成矩阵 B 时，我
13、们写成 BA 若一个矩阵的任一行从第一个元素起至该行的第一个非零元素所在的下方全为零，则称这样的矩阵为阶梯形矩阵 . 可以证明，任意一个矩阵经过一系列初等行变换总能变成阶梯形矩阵。 1.3.2 行列式的性质 2,3,4,5 性性 质质 1 行列式与它的转置行列式相等 . 性性 质质 2 互换行列式的两行（列） , 行列式变号 . 推推 论论 1 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零 . 性性 质质 3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式 . 推推 论论 2 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面 推推 论论 3 行列式中如果有一行
14、（列）元素等于零，则此行列式的值为零 性性 质质 4 若行列式中有两行（列）元素成比例，则此行列式的值等于零 . 性性 质质 5 行列式具有分列（行 ）相加性 . 4 注 :如果行列式的某一行 (列 )所有元素都是两个项的和 ,则此行列式等于两个行列式的和 ,具体如下 : 即 1 1 1 2 1 1 12 1 2 2 2 2 212()()()i i ni i nn n n i n i n na a a a aa a a a aDa a a a a则行列式等于下列两个行列式之和： 1 1 1 1 1 1 1 12 1 2 2 2 1 2 211i n i ni n i nn n i n n n
15、 n i n na a a a a aa a a a a aDa a a a a a性性 质质 6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列 (行 )对应的元素上去，行列式不变 1 1 1 1 12 1 2 2 21i j ni j nn n i n j n na a a aa a a aa a a a1 1 1 1 1 12 1 2 2 2 21()()()i j j ni j j nijn n i n j n j n na a k a a aa a k a a ac k ca a k a a a例 1.1 计算行列式 2 26 14 42 2 5 21 4 17 71 4 3
16、 2D解：由于行列式的（ 1,1）元等于 2，在消去时会产生分数，而第 1 列的（ 4,1）元等于1，因此先作行初等变化，交换第 1 行与第 4 行。以后再用行初等变换逐步消去第 1 至第 4列的对角线一下的元，化成上三角形。 1 4 3 2 1 4 3 22 2 5 2 0 6 1 23 0 17 7 0 12 8 132 26 14 4 0 18 8 0D 5 321 4 3 2 1 4 3 20 6 1 2 0 6 1 20 0 10 9 0 0 10 90 0 5 6 0 0 0 31 ( 6 ) 1 0 9 0 .2 例 1.2 计算 n 阶行列式1 1 1 11 1 1 11 1
17、1 11 1 1 11 1 1 1aaaDaa解：这个行列式的特点是 每一行有一个元 a，其余 n-1 个元都是 1.因此每行的元之和都是 a+(n-1).于是可以可以应用性质把第 2 列，第 3 列， ，第 n 列都加到第 1 列上去，行列式的值不变。而第 1 列的元都相等。提出第 1 列的公因子后可以使计算简化。 ( 1 ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1( 1 ) 1 1 1 1 1 1 1( 1 ) 1 1 1 1 1 1 1( 1 )( 1 ) 1 1 1 1 1 1 1( 1 ) 1 1 1 1 1 1 1ana n a aa n a aD a na n a aa n a a
18、11 1 1 1 10 1 0 0 00 0 1 0 0( 1 )0 0 0 1 00 0 0 0 1( 1 ) ( 1 ) naaanaaa n a 这里的第 3 个等式是把第 2 行到第 n 行的各行分别减去第 1 行（即加上第 1 行的 -1 倍）而得。结果化成一个上三角形行列式，再利用上三角行列式的性质得其值。 6 例 1.3 n 阶方阵 1 2 1 3 11 2 2 3 21 3 2 3 31 2 30000nnnn n na a aa a aA a a aa a a 被称为反对称矩阵，因为它满足性质 TAA . 证明当 n 为奇数时 0A ，即奇数阶的反称矩阵的行列式必为 0. 证明： 1 2 1 3 11 2 2 3 21 3 2 3 31 2 3000 ( 1 ) .0nnTnnn n na a aa a aA A a a a Aa a a 这是因为利用性质，每一行提出一个公因子（ -1）后上面的行列式就等于 A ，而总共有 n个因子被提出来。另一方面得 ( 1 )TnA A A 。 当 n 为奇数时移项后得到 2 0A ，所以 0A 。
