1、 本科毕业论文（设计） （ 201 届） 换元法在数学解题中的应用 所在学院 专业班级 信息与计算科学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 I 摘要 ： 本文主要介绍了换元法在数学解题中的应用，根据换元法在数学解题中的应用将其分类为积分换元法；带根式、带无理式换元法； 定积分换元法；二重积分、多重积分换元法；因式分解换元法；三角换元法；其他换元法。对各种换元法的类型分别进行例题展示和总结，并强调了换元法使用时应注意的问题。 关键词： 换元法；等量代换；积分换元法II The Application of Method of Substitution in Mathematics
2、Problem-Solving Abstract: In this paper, we mainly introduce the application of substitution method in mathematics solving. According to its application in mathematics problem-solving, substitution method is classed as factoring decomposition method of substitution; trigonometric substitution; and o
3、ther method of substitution. Then we give many examples to show and summarize all sorts of the type method of substitution respectively, And we should pay much attention to some problem in substitution method. Keywords: method of substitution; Equivalent substitution, integration by substitution 目录
4、1 绪论 . 1 1.1 选题的背景 . 1 1.2 选题的意义 . 1 2 换元法的具体类型和分类 . 3 2.1 积分换元法 . 3 2.1.1 定积分换元法 . 3 2.1.2 不定积分 换元法 . 4 2.1.3 二重积分换元法及其推导方法 . 5 2.2 三角函数换元 . 7 2.3 带无理式换元 7 . 8 2.4 带根式换元法 8 . 9 2.5 因式分解换元法 9 . 10 2.6 不等式、等式的证明 10， 11 . 10 2.7 解方程中的换元法 12， 13 . 12 2.8 其他解题中换元法的应用 . 13 3 数学解题中换元法的应用总结和展望 . 15 致 谢 . 1
5、6 参考文献 . 17 本科生毕业论文 (设计 ) 1 1 绪论 1.1 选题的背景 从一种形态转化到另一种形态，这是数学发展的一个杠杆，也是解题常用的手段。数学史上这样的例子很多，无论是对一些具体问题的解决，还是在经典的数学方法中，都无不渗透着这一思 想。解题中常用到的换元法，其实也是这一思想的具体体现。所谓换元法是指引入一个或几个新变量代替原式中的某些变量，使得原式中仅含有这些新变量，然后对新变量求出结果，通过回带原式求出原变量的结果。许多数学问题的求解，由于条件与结论中的变量关系在形式上的隐蔽，它们之间实质性的逻辑联系不易从表面形式上发现，即使看出它们之间的联系，也由于表面形式的复杂而不
6、易直接求解。但当我们进行适当的变量代换，把问题的条件和结论作形式上的转换，这样就容易揭示出它们之间的内在联系，把问题化难为易，化繁为简。所以说如果我们较好的掌握了换元 思想，不但可以比较顺利地解决一些较难的题目，还可以用多种方法解答同一个个问题，提高我们的思维。 当然，为了使问题得到解决，这种转换应该是有效的。什么是有效的转化 ?总的来说，有利于问题解决的转化就是有效转化。在具体问题中，针对转化的有效性，人们做了很多的探讨。以换元法为例，就有很多文章探讨了换元法应用中的技巧，如：袁肇邦的关于定积分换元法定理，叶宗菊的三角换元法在数学解题中的应用例举以及叶忠国的用换元法解无理方程，王凤英的“换元
7、法”在因式分解中的运用等都讨论了换元法的一些技巧。这些问题又由于其 具体形式的不同，换元的形式也多种多样。分析各种换元形式的共同规律，可以大致归纳为以下几类：定积分换元法、不定积分换元法、三角换元、二重积分换元法、含无理递推式的换元法以及换元法在其他方面的应用等。 1.2 选题的意义 换元法在解决定积分、不定积分、三角函数、二重积分、含无理递推式等数学问题中有着广泛的应用，换元法是数学问题求解特别是复杂繁琐数学问题求解中常用的一种重要工具。 在数学问题求解的过程中时，我们可能遇到式子比较繁琐，或者次数较高等不易直接求解的问题，比如：当遇到代数式中式子较繁琐或解法比较复杂时 ，如果能从式子的特殊
8、性中挖掘并发挥换元的因素，这样往往能够产生更为简洁的解法，把繁难的计算和推理简化。从而达到化难为易、化深为浅、化繁为简的目的。这就是简化解题方案，寻求最佳解题法的有效方法。 当遇到题中含有几个变量或次数较高问题时，我们可以考虑用换元法，能否消去某些变量或降低变量次数，起到减元降次的作用。 本科生毕业论文 (设计 ) 2 解题过程中，当遇到已知条件多而分散或者已知条件和结论之间似乎缺少必然的联系，有时甚至好像隔着一条难以逾越的鸿沟，这时完成解题的关键在于发现它们之间的联系。此时就应该考虑引进中间元素，起到桥梁作用，把问题 解决。 一些没有现成模式可用的数学命题，换元往往就是寻找解题思路的过程，恰
9、当的换元，可为解题提供新的信息和依据，解题思路也就伴随而生。因而换元法是寻找解题突破口，叩开解题之门的钥匙。事实上，我们在解题时会遇到许多问题隐含在深处，不易被发现，若能恰当地换元，则可把隐含的问题显示出来，从而寻找到突破口。 我们在使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要是新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大、 本科生毕业论文 (设计 ) 3 2 换元法的具体类型和分类 2.1 积分换元法 2.1.1 定积分换元法 定理 11 若函数 )(xf 在 , ba 上连续，函数 )(tx 满足下列条件： (i) )(t 在 , 上连续
10、且 )(,)( tbta ; (ii) ba )(,)( ； (iii) )(t 在 ),( 上连续。 则 dtttfdxxfba )()()(. 例 2.1 用代换 2tx ,求积分 dxx41 1. 解 2tx 函数xxf 1)( 在定义域 ),0( I 连续，故有 2122211 21 241 ttd ttdxx定理 22 若 )(xf 在闭区间 , ba 上，可积，则 baba dxxbafdxxf )()(. 推论 1 若 )(xf 在 , ba 上可积，则 bb dxxbfdxxf00 )()(. 推论 2 bbbaba dxxbfxfdxxfdxxbafxfdxxf 00 )()
11、(21)(,)()(21)( .例 2.2 计算 40 2sin1 2sin1 dxxxI. 解 利用推论 1， 4b ，可得到 4024040 t a n2c o s12c o s1)4(2s i n1)4(2s i n1 x d xdxxxdxxxI 4140 4t a n)1( s e c40 2 xdxx . 定理 32 设 )(xf 在 , ba 上可积，则对任意的 a 和 b 有 2 )()()( baaba dxxbafxfdxxf . 推论 3 )(xf 在 , aa 上可积，则 aaa dxxfxfdxxf 0 )()()(. 本科生毕业论文 (设计 ) 4 例 2.3 计算
12、 16516399c o ss in51 c o ss in dxxxxI. 解 利用定理 3，知 2,165,163 baba 00)2c o s ()2s i n (51)2(c o s)2(s i nc o ss i n51c o ss i n 416341639999 dxdxxxxxxxxxI .例 2.4 计算 0 2cos1 sin dxxxx. 解 由公式 00 )( s in2)( s in dxxfdxxxf，得40)( c o s2c o sc o s1 12c o s1 s i n2c o s1 s i n20 20 20 2 xa r c t gxdxdxxxdxxx
13、x . 例 2.5 计算 4421sin dxe xx. 解 利用公式 aaa dxxfxfxf 0 )()()(，得 40 2240 224 4 2 )1s i n1 s i n()1s i n1s i n(1s i n dxe xe xedxe xe xdxe x xxxxxx 40 240 2 8 22c o s1s in dxxx d x . 2.1.2 不定积分换元法 不定积分中的许多问题都可以利用换元法解决，通过换元，可使非标准型问题标准化，复杂问题简单化。 例 2.6 求 )0(22 adxxa . 解 令 22,s in ttax ，则 有 td tadxtaxa c o s,
14、c o s22 ，故可得Ctatadttat d ttaadxxa 2s i n422 2c o s1c o sc o s 22222 Cxaxaxa 222 21a r c s in2 . 本科生毕业论文 (设计 ) 5 定理 33 (第一换元法 )设 )(ug 的原函数为 )(uF , )(xu 可导，则有换元公式： CxFCuFduugdxxxg )()()()()( . 例 2.7 1 0 1 012 1 2 1 2 12( x ) d x ( x ) ( x ) d x 101 2 1 2 12 ( x ) d ( x ) CxCuduuxux 1112111012)12(22111
15、2121. 定理 44 （第二类换元积分法）设 )(tx 是单调可导函数，且 0)( t ，又设 )()( ttf 具有原函数 )(tF ，则 CxFCtFdtttfdxxf )()()()()( ，其中 )(x 是)(tx 的反函数。 例 2.8 求 dxxx )2( 17解 令 tx 1 ，则 dttdx21于 dttttdxxx )1(2)1()2(1277CxtCtdttt ln2121ln14121ln14121 7776 . 2.1.3 二重积分换元法及其推导方法 以定积分的换元法为基础 , 推导二重积分的换元积分公式 , 它的一般步骤是 : 1) 在直角坐标系中化二重积分为二次积
16、分 ; 2) 将二次积分的内层积分 利用定积分换元法把旧的积分变量换成一个新的积分变量 ; 3) 改变二次积分的顺序 , 使另一个旧变量的积分居于内层 , 再将此内层积分利用定积分换元法把旧的积分变量换成另一个新的变量 ; 4) 把关于两个新变量的二次积分变回到二重积分。 本科生毕业论文 (设计 ) 6 定理 55 若函数 ),( yxf 在有界闭区间 D 连续，函数组 (1)： ),( ),( vuyy vuxx，将 uov 平面的区域D 一对一地变换为 xoy 平面上的区域 D ，且函数组 (1)在 D 上对 u 与 v 存在连续偏导数，Dvu ),( 有 0),( ),(),( vu y
17、xvuJ ，则 DD dudvvuJvuyvuxfd x d yyxf ),(),(),(),(. 例 2.9 求曲线 )0,0()( 2 babyaxbyax 与 0y 所围成的区域 D 的面积。 解 作代换：byaxv byaxu即：)(2)(2vubyvuax ，则 D 由抛物线 vu2 和直线 vu 围成。所以2),(;10: 2 abvuJuvuuD , 1212),( 1010 abdvduabdudvvuJd x d yS DD . 例 2.10 计算二重积分 D d y dyrI 2c o s1s in22 ，其中区域 D 是： 40,s e c0|),( rD解 作极坐标代换
18、： s in,c o s ryrx ，则该变换把 D 变化为 D ，而 D 由直线 1,0 xx及直线 xy 围成。所以 xyxD 0;10: ，故 DD d r drrrd r drrI 2222222 s i nc o s1s i n2c o s1s i n 16331)1(1211 0 22221022 xDyxdyxdxd x d yyxy 例 2.11 计算 D dyx 122，其中 10;10|),( yxysD 解 因为2122 2222 ),( ),(111 Dyx Dyxyx yxyx ，所以 21 )1()1(1 222222 DDD d x d yyxd x d yyxdyx 令 s in,c o s ryrx ，则 10,20 r 8)1()1(10220221 r d rrdd x d yyxD再求出 ,831)1(2 22 D d zx d yyx
