1、 本科毕业论文（设计） （ 201 届） 几何背景分析在高等代数课程学习中的 作 用 所在学院 专业班级 信息与计算科学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 - 1 - 摘要： 本文介绍了大学数学的两门基础课解析几何和高等代数，从数学史上分析了高等代数的几何背景，以及用几何思想解代 数问题的必要性和重要性。叙述了几何直观在高等代数学习中的重要作用，如从几何背景解释了线性方程组解空间、行列式的几何定义、格拉姆 -施密特正交化的几何解释使学生更深刻的理解代数概念。并根据所给的几何背景反过来帮助解答高等代数中的问题，使抽象的问题更加明了，更能为学生所接受。 关键词： 高等代数；解析几何
2、；线性方程；行列式；施密特正交化 - 2 - Geometric Background Analysis in Higher Algebra Course Learning in The Role Abstract： This article describes the two basic courses of Mathematics, Analytic Geometry and algebra, the mathematical analysis of the history of the geometric background of advanced algebra, and geome
3、try to solve algebra problems thinking of the necessity and importance. Describes the geometric intuition in higher algebra important role, such as the background from the geometric interpretation of the solution space of linear equations, geometric definition of the determinant, Gram - Schmidt orth
4、ogonalization of the geometric interpretation of a deeper understanding of the students Algebra concepts . And according to the geometric context in turn help to answer the question in advanced algebra, the abstract problem more clear, more acceptable to students. Key words： higher algebra; analytic
5、 geometry; linear equation; the determinant; schmidt is orthogonal 目 录 - 3 - 1 绪 论 . 1 1.1 问题的 背景 . 1 1.2 问 题的 意义 . 1 2 高等代数和解析几何的介绍 . 2 2.1 高等代数的组成 . 2 2.2 解析几何的范围 . 2 2.3 高等代数的几何意义 . 2 2.4 几何在高等代数中运用的必要性和重要性 . 3 3 线性方程组解的几何意义 . 4 3.1 平面与平面的关系 . 4 3.2 二条直线之间的关系 . 6 3.3 一条直线与一个平面的关系 . 8 3.4 几何背景解线性方
6、程组 . 9 4 行列式的几何背景 . 12 4.1 行列式的定义 . 12 4.2 行列式几何意义的说明 . 13 4.3 行列式的性质的几何解释 . 15 4.4 行列式几何意义的应用 . 18 5 格拉姆 -施密特正交化 . 21 5.1 格拉姆 -施密特正交化的基本思想 . 21 5.2 格拉姆 -施密特正交化方法的几何解释 . 22 5.3 欧氏空间中向量组正交化过 程 . 23 6 结论 . 26 致 谢 . 错误 !未定义书签。 参考文献 . 27 本科生毕业论文（设计） 1 1 绪 论 1.1 问题的 背景 我们知道高等代数与解析几何之间的重复现象，在高等代数、解析几何与近世代
7、数、微分方程之间又何尝没有。因此统筹考虑代数类与几何类的课程体系改革是必要的又是可能的。高代与近代之间是关系非常紧密、内容也有重叠。如多元多项式， Jordan 标准形等。这些内容在高代中论述相当之麻烦，而在近代中可简捷明了论述清楚 1。这样在高代中弃之不讲，而放在近世代数中可得到事半功倍之效。本世纪的微分几何代表 Cartan（卡当）、陈省身所研究的问题经常是整体的、大范围的，故常称为整体微分几何。他们使用的研究方法，如活 动标架法，外微分形式等与代数理论关系可以说是形影不离，微分几何在一定意义上正在代数化。虽然大学微分几何课主要讲经典微分几何，以往的教法很少与代数联系。现在则尽量利用代数语
8、言与方法，如用非代数方法讲解结构方程与基本定理；用对称变换讲解主方向，主曲率， Gauss曲率与平面曲率等。这些讲法不仅和高等代数、解析几何、近世代数紧密联连，而且更贯穿了现代微分几何的思想与方法 2。当然这也要求高等代数与解析几何课更新有关内容与之相适应。这样就强化了微分几何与高等代数、解析几何、近世代数的联系，同时，也使古典微分几何更现 代化。 1.2 问题的 意义 从数学发展史上看，代数与几何关系已密不可分，相互依赖，早在欧式几何原本那里，包括几何数论和初等代数一些内容，几何与代数不加划分，几何学几乎代表了全部数学，事实上英文书名为 Elements。故应译为原本，而几何原本 “ 几何
9、” 二字由利玛窦与徐光启在 1607 年翻译为中文时所添加上去。十四世纪初，人们承认原理数后就有了用数表示线段的长度，二、三维图形的面积、体积等，阿拉伯人用代数方法解方程，然后用几何图形说明所做步骤的原理。这种做法展示了代数与几何之并行不悖，这种并行性的进一 步，充分发扬并导致解析几何的产生 3。诚然，解析几何是以代数为工具来研究几何问题，因而我们可本着 “ 工欲善其事，必先利其器 ” 的原则，我们可否先讨论高等代数，而后用之解决解析几何问题 ?从本质上看，解析几何中的二次曲线，二次曲面的分类与线性代数中的二次型的分类可的说是一回事。至今解析几何课一直先于或同时与高等代数开设。教师教得费心，学
10、生学得辛苦。例如，解析几何中的共线共面，二次曲面的导向，渐近方向，主方向，共轭方向等，有了线性代数知识后，介绍起来异常简单。其实这些内容只不过是低维空间的线性代数而已。单在解析几何 课中学这些概念很难深透 ， 试想把解析几何中有关线性代数内容去掉后，还需要多常时间讲解析几何 ？因此把几何和代数的知识联系起来学习是很有效率的 本科生毕业论文（设计） 2 2 高等代数和解析几何的 介绍 2.1 高等代数的组成 高等代数是大学数学科学学院（或数学系，应用数学系）最主要的基础课程之一。高等代数课程的教学内容包括三个方面：线性代数，多项式理论，群、环、域的基础概念。线性代数占的比重最大，它研究线性空间及
11、其线性映射（包括具有度量的线性空间及与度量有关的线性变换）。多项式理论是研究一元和多元多项式环。群、环、域的基本概念是紧密结 合多项式理论和线性变换（包括与度量有关的线性变换）理论，水到渠成地介绍一元（多元）多项式环、矩阵环、线性变换环、模 p 剩余类域、正交群、酉群和辛群 【 5】 。 2.2 解析几何的范围 代数几何是数学的一个分支，顾名思义，它把抽象代数的方法，特别是交换代数，与几何的语言和问题糅合在一起在与复分析，拓扑，数论等有多重联系的现代数学的各个领域中，代数几何占据了中心位置。代数几何最初研究多个变量的多项式方程组，它并不始于方程求解，而是至少掌握方程组的全部解，以得到某些解，这
12、就把整 个数学在概念和技术方面带入了更深远的领域，代数簇是它的最基本的研究对象。而分类问题又是代数几何中的主要研究课题，它起着引导代数几何发展和进步的作用。 【 5】 2.3 高等代数的几何意义 线性代数实际上产生于解析几何，线性代数的许多基本概念和方法都有很强的几何背景，从几何角度来学习线性比较容易理解，其效果比单纯从代数角度来学习更好。几何为代数提供直观背景，代数为几何提供研究方法。数理逻辑是科学研究擅长的思维方式，但人类对几何图形的直观认识却是与生俱来的，“数形结合”恰恰是联系二者的桥梁。直观的模型 ， 形象的认识 ，辅以逻辑推理 ，将有利于数学结论的理解和掌握。我们把通过对几何图形进行
13、观察 ， 根据直观认识的横向迁移来解决其它数学分支相关问题的方法称为几何直观方法 6。高等代数是研究线性空间及其上的线性变换的学科，课程中大量的公式、定理、推论都是采用严格的演绎论证方法 ， 抽象程度高，逻辑性强。学生在学习知识时很难深刻理解其中的抽象概念和复杂结论 ， 学习效率不高 4。利用几何直观方法 ，把抽象的问题形象化 ， 结合直观的形象对抽象内容加以理解 ， 可以帮助学生理解概念 ， 发现研究思路 ， 有效开展推理、猜想，直至问题解决。因此 ， 在教学中运用 几何直观与演绎论证相结合的方法，不仅是学生学好高等代数的需要 ， 而且对培养学生分析问题的能力和养成科学的思维品质都具有十分重
14、要的意义 7。 几何课程与其它数学课程联系密切。一方面 , 借助于几何直观、几何解释 , 可以帮助理解、接本科生毕业论文（设计） 3 受抽象的内容和方法。只有做到了直观上懂 , 才算真懂。抽象观念的直观背景与几何形象 , 实为学生创造了一个自己主动思考的机会 , 以达到真懂的境界。另一方面 , 借助于现实空间的几何 , 通过类比、联想 , 可以使思维较容易转向更抽象的空间形式 , 进而提高学生的抽象概括能力和创新精神 , 激发学生的 学习兴趣 , 形成良好的思维品质。数学中许多重要定理的证明大多源于几何思想或可用几何图像作出概括。当我们认真钻研 , 反复琢磨 , 掌握了证明的真谛时 , 往往会
15、感到这种证明如此简明、清晰 , 全部反映在一种具体的理想图形之中。数学中两大研究对象“ 数”与“ 形”的矛盾统一是数学发展的内在因素。在这个意义下 ,几何和代数是不可分割的。数形结合是数学的重要思想方法 , 在此 , 几何充分发挥了它作为双刃工具的作用。在学习代数时同时考虑到它的几何背景和解释 , 对代数的抽象内容的理解是十分有益的。 2.4 几何在高等代数中运用 的必要性和重要性 高等代数和解析几何具有更为紧密的联系 , 解析几何的研究对象是二维和三维空间中几何问题 , 处理的工具是代数方法 。 高等代数主要介绍多项式理论和线性代数理论 , 具有较强的抽象性和逻辑性 ， 但高等代数中许多基本
16、概念和方法都有很强的几何背景 . 如果将两门课进行一体化教学 , 有利于学员理解高等代数中抽象的概念 , 同时也可以从更高的角度来研究几何问题 , 使学员更好地掌握代数方法和几何方法去处理科学技术中遇到的各类问题 . 本文探讨几何背景下高等代数课中运用的必要性。 高等代数和解析几何一直按照原来应用数学专 业的教学内容和教学方法进行教学，没有考虑到数理打通后各专业的自身特点。另外，解析几何的教学中需要用到较多高等代数的理论与方法，由于两门课程在教学实施过程中的衔接性较差，讲授解析几何时，必须花不少的时间来讲授高等代数的部分内容，影响了解析几何的正常教学。最后，目前国内大多数高等代数教材在处理向量
17、、矩阵和线性方程组等内容时，层次不清，内容交替，使得实施教学没有系统性和科学性。高等代数与解析几何关系非常密切，这两门课程的内容有许多重复部分。如果将这两门课程进行一体化教学，不仅可以省出许多时间，而且也不会过多地削减 教学内容 . 从某种意义上说，反而会使这两门课程都得到加强。早在 1958 年到 1965 年间，华罗庚先生在中国科学技术大学数学系倡导改革，实行数学分析、高等代数、解析几何等基础课的合并， 采用“一条龙”教学法，这种作法也为陈省身等数学家所提倡。下面我们从线性方程组解的情况、行列式、格拉姆 -施密特正交化三个方面具体的来看几何和高等代数是怎样互相作用的。 本科生毕业论文（设计
18、） 4 3 线性方程组解的几何意义 线性方程组理论是线性代数的重要组成部分 ,自然科学和工程技术中许多计算最终可以化成线性方程组的求解问题 , 因此 , 学好线 性方程组的求解是十分重要的。一般情况下 , 线性方程组的求解离不开有解判定定理 , 但是 , 对于该定理 , 学生普遍反映比较困难 , 难于理解。究其原因 , 关键在于没有弄清楚定理所蕴藏的几何意义 , 如果利用几何直观组织教学 , 为抽象的定理提供形象的模型 , 则能给学生留下深刻的印象 , 从而很好理解并掌握有解判定定理的丰富内涵。下面我们从平面与平面，直线与直线，平面与直线三个方面来讨论线性方程组解的情况。 【】 3.1 平面与
19、平面的关系 设几何空间 3R 中平面 : 0 , 1 , , ,i i i i iA x B y C z D i m 每个平面 i 都可看成一个 3R 中的 2 维线性流形，它们的方向子空间 : 0 , 1 , ,i i i iW A x B y C z i m 都是 3R 中的 2 维线性子空间 ,则 i 之间的关系转化为线性方程组 1 1 1 1 00m m m mA x B y C z DA x B y C z D 1 的解的情况讨论 。 具体地说 ,就是转化为解集 1 1 1 1120, , |0mm m m mA x B y C z Dx y zA x B y C z D 与解集 1
20、 1 1120, , |0mm m mA x B y C zW W W x y zA x B y C z 的结构讨论 ,其中 12 mW W W 就是线性方程组 1 的解空间。当 12 m 时 , 12 m 是以 12 mW W W 为方向子空间的线性流形 。 设线性方程组 1 的系数矩阵为 A , 增广矩阵为 A ,则自然有 13rank A, rank A 0rank A 或 121 , 0 d im 2mW W W 。现在根据 12 m 与 12WW mW 来讨论 , 1, ,i im 之间的各种关系。 本科生毕业论文（设计） 5 (i) 当 12 m ， 12d im ( ) 2mW
21、W W 时 （ 此 时 ( ) 1rank A ，( ) 2rank A ）， 12 mW W W 是一个 2维线性子空间（平面），即 i 的方向子空间 iW ,i 1, ,m 相交成一个平面，故 i 之间关系是：其中至少有两个平行，其余的与这两个或重合或 平行（包括 1 / 2 / m ） （ ii）当 12 m ， 12d im ( ) 1mW W W 时 (此时 ( 2rank A ，( ) 3rank A )， 12 mW W W 是一个 1 维线性子空间（过原点的直线），即 i 的方向子空间, 1, ,iW i m 相交成过原点的一条直线，故 i 之间关系是：任两个平面的交线（若有的
22、话）互相平行且至少有两条交线。以 3m 为例 1 2 3, 的关系如图 1。 图 1三个平面的关系 (iii)当 1 2 1 2, d im 0mmW W W 时 (这里首先要求 4m ,此时( ) 2 , ( ) 3r a n k A r a n k A) , 12 mW W W 是一个 0 维线性子空间 (即为原点 ) ,即, 1, ,i im 的方向子空间 , 1, ,iW i m 相交于原点 ,故 i 之间关系是 :至少有三个平面相交于一 点且该点至少不属于其余平面中的一个 。 以 4m 为例 , 1 2 3 4, , , 的关系如图 2。 本科生毕业论文（设计） 6 图 2 四个平面
23、的关系 (iv) 当 1 2 1 2, d im 2mmW W W 时（此时 ( ) 1rank A ，( ) 1rank A ） , 12 mW W W 是一个 2 维线性子空间 (过原点的平面 ) ,故 12 m 是 2 维的线性流形 (平面 ) , 12 , 1 , , ,mi im 即 i ， 1, ,im 重 合 。 (v) 当 1 2 1 2, d im 1mmW W W 时 (此时 ( ) 2rank A ,rank ( ) 2A ) 12 mW W W 是一个 1 维线性 子空间 (过原点的直线 ) ,故 12 m 是 1 维的线性流形 (直线 ) , 即 , 1, ,i im 相交成一条直线 。 (vi) 当 1 2 1 2, d im 0mmW W W 时 (此时 ( ) 3rank A ， rank ( ) 3A ), 12 mW W W 是一个 0 维线性子空间 (原点 ) ,故 12 m 是 0 维的线性流形 (单点集 ) ,此时 , 1, ,i im 相交成一点 。 以 3m 为例 ,如图 3所示。 图 3 三个平面交于 P点 3.2 二条直线之间的关系
