次正交矩阵及其性质[开题报告].doc

1、毕业论文 开题报告 信息与计算科学 次正交矩阵及其性质 一、选题的背景、意义 1 选题的背景 矩阵不仅是各种数学学科，而且也是许多理工学科的重要数学工具。就其本身的研究而言，矩阵理论和线性代数也是极富创造性的领域。它们的创造性又极大的推动和丰富了其他众多学科的发展：许多新的理论、方法和技术的诞生于发展就是矩阵理论和线性代数的创造性应用于推广的结果。可以毫不夸张地说，矩阵理论和线性代数在物理、土木、电机、航空、和航天等众多学科中是最富创造性和灵活性，并起着不可代 替作用的数学工具。 作为数学的一个重要的分支，矩阵理论具有极其丰富的内容。作为一种基本的工具，矩阵理论在数学学科以及其他科学技术领域，

2、如数值分析、最优化理论、概率统计、运筹学、控制理论、力学、电学、信息科学与技术、管理科学与工程等学科都有十分重要的应用。因此，学习和掌握矩阵的理论和应用对于工程研究生来说是必不可少的。 由于矩阵论既是一门发展完善、理论严谨、方法独特的数学基础课，又广泛应用于工程科学的各个领域，故下面的基本内容在硕士研究生的培养过程中是不可缺少的组成部分，对培养学生的逻辑能力、 推理能力及解决实际问题的能力等方面具有极其重要的地位和作用。 2 选题的意义 分析并了解矩阵性质及应用的一个意图是，它要包括由于数学分析（例如，多元，多元微积分、复变量、微分方程、最优化和逼近理论等）的需要而产生的线性代数中的论题。矩阵

3、分析的另一个意图是，它是解决实的和复的线性代数问题的一种方法，这种方法果断地采用诸如极限、连续和幂级数这些来自分析的概念，这些概念有时比纯代数方法更为有效或更为自然。矩阵分析的这两个出发点影响下面的讨论和分析。我们认为采用术语矩阵分析比线性代数更能准确地反映该 领域的广泛内容和研究方法。 矩阵是数学中一个极其重要的、应用广泛的概念，是代数学的一个主要研究对象和重要工具。它广泛应用于数学、物理学、经济学等多个领域，因而也就使矩阵成为代数，特别是线性代数的一个主要研究对象。近年来，人们对次对角线方向的矩阵理论（如次对称性、次正交性）展开的研究正日益增多，有关次对角线方向的矩阵理论在信息论、线性系统

4、论、现代经济数学、矩阵方程论、物理学等众多学科中均有应用，因此研究次正交矩阵及其性质有重要的意义。 下面将给出次正交矩阵的概念及其性质，并在此基础上给出 J-次正交矩阵的概念及其性质和 K-次正交矩阵的概念及其性质。 二、研究的基本内容与拟解决的主要问题 2.1 矩阵简史 矩阵并非如同一种容易产生的猜想那样直接源自线性方程组系数的研究。系数阵列导致数学家们发展了行列式而不是矩阵。微积分创建者 Leibniz 在 1963 年使用了行列式，先于矩阵成为独立研究对象约 150 年。 Cramer 在 1750 年建立线性方程组的行列式基本公式，Guass 在 1820 年左右提出了消去法。这些事件

5、都出现在矩阵概念存在之前。 确定矩阵概念和产生“矩阵”一词的动机是试图为研究行列式提供适当的代数语言。 1848年 J.JSylvester 引进术语“矩阵”，作为数的阵列的名称。它用“ womb”是因为他视矩阵为行列式的生成体。 在围绕行列式研究而寻求好的记号期间， Sylvester 在 1851 年提提议把方形矩阵写成如下形式： nnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa2122212121112.2 矩阵的概念 定义 1： 由 nm 个数 ),2,1,2,1( njmiPa ij 排成的 行、 n 列的长方形表 mnmmnnaaaaaaaaa212222111211称为数域 P

6、上的一个 nm 矩阵（ maxtrix）。其中的 ija 称为这个矩阵的元。 矩阵通常用一个大写字母 A 表示，如果矩阵的行数 m 与列数 n 相等，则称它为 n 阶方阵。数域 P 上的所有 nm 矩阵的集合记为 )(, PMnm ，所有 n 阶方阵的集合记为 )(PMn ，元全为零的矩阵称为零矩阵，记为 0。矩阵 A 的位于第 i 行、第 J 列的元简称为 A 的 ),( ji 元，记为 ),(jiA 。如果矩阵 A 的 ),( ji 元是 ),2,1,2,1( njmiaij ，则可以写成)( ijaA 。 2.3 预备知识 定义 2：设 nm 矩阵 mnnmmmnmnmmmnnnnaaa

7、aaaaaaaaaaaaaA1,21,11,12,11,121,2221211,11211则称如下的 nm 矩阵 11211,1112222,121,11,21,11,12,1aaaaaaaaaaaaaaaammmmnnnmnmnnnmmn为矩阵 A 的次转置，记为 STA 或 1A 。如果记 )( ijST bA ，则 ),2,1;,2,1(1,1 mjniab injmij 。 定义 3：一个 n 阶方阵 )( ijaA 叫做次对称矩阵：假若 ),2,1,(1,1 njiab injnij ；一个 n 阶方阵 )( ijaA 叫做反次对称矩阵，假若 ),2,1,(1,1 njiab inj

8、nij 。 显然，一个 n 阶反次对称矩阵 )( ijaA 中，有 ),2,1(01,1 nia in 。 例如： 32/1457/42/1753A是一个三阶次对称矩阵。 430503054B 是一个三阶反次 对称矩阵。 显然，设 E 是 n 阶单位矩阵，则 EEST 。 推论： （ 1） AA STST )( ； （ 2） STSTST BABA )( （ A 与 B 是同级矩阵 ）； （ 3） STST AA )( （ 是常数）； （ 4） STSTST ABAB )( （ A 是 sm 矩阵， B 是 ns 矩阵）。 2.4 次正交矩阵的定义与性质 定义 4：如果在数域 P 上的 n 阶

9、方阵满足 EAAST 。则称 A 为次正交矩阵。 显然，定义 3 中的条件 EAAST 也可以用 EAAST 代替；且单位矩阵 E 是次正交矩阵。 例如，矩阵 1221342/124A 是实域 P 上的一个三阶次正交矩阵。 证： 已知 A ，可求得 4422322/111STA 则可求得 EAAST 。 证毕 性质 1：若 A 是 n 阶次正交矩阵，则 STA 也是次正交矩阵。 证： 因为 A 是次正交矩阵；所以 EAAST 。两边取次转置得 EAAAA STSTSTST )( 证毕 性质 2：若 A 是 n 阶次正交矩阵，则 1A 或 1A 。 证： 因为 A 是次正交矩阵，所以 EAAST

10、 。两边取行列式得 12 AAAAA STST 所以 1A 或 1A 。 证毕 性质 3：若 A 是 n 阶次正交矩阵，则 A 可逆，且 1A 也是次正交矩阵。 证： 因为 A 是次正交矩阵，所以 EAAST 。由性质 2 知 0A ，所以 A 可逆。同理 STA 可逆，且 STST AA )()( 11 。 因 EEAAAAAA STSTST 111111 )()()()( ， 所以 1A 也是次正交矩阵。 证毕 性质 4：若 A 、 B 均是 n 阶次正交矩阵，则 AB 也是次正交矩阵。 证： 因为 EBBEAA STST , ，可得 EAAABBAABABABAB STSTSTSTSTS

11、T )()()( 从而 AB 也是次正交矩阵。 证毕 定理 1：数域 P 上的 n 阶方阵 A 是次正交矩阵的充分必要条件是 STAA 1 。 证： 必要性 因为 A 是次正交矩阵，所以 EAAST ，由性质 3 可知 A 与 STA 均可逆，且 STAA 1 。 充分性 因为 ,1 STAA 将等式 STAA 1 两边左乘 A 可得 STAAAA 1 ，即EAAST ，所以 A 是次正交矩阵。 证毕 命题 1：对 n 阶方阵 A ，若下列三个条件中任意两个条件成立，则另一个条件也成立。 （ 1） AAST ，（ 2） EAAST ，（ 3） EA2 。 证：（ 1）当 EAAAA STST

12、, 时， EAAAAA ST 2 。 （ 2）当 EAAAST 2, 时， EAAAAAST 2。 （ 3）当 EAEAAST 2, 时， AEAAAAAAEAA STSTSTST )(2 证毕 命题 2：若 A 是 n 阶次对称阵， Q 是 n 阶次正交矩阵，则 AQQ1 是次对称矩阵。 证： 因为 A 是次对称矩阵， Q 是次正交矩阵 ，所以 STSTST QQEQQAA 1, AQQQAQAQQAQQ STSTSTSTST 11 )()( 所以 AQQ1 是次对称矩阵。 证毕 命题 3：若 是次正交矩阵 A 的特征值，则 /1 也是 STA 的特征值。 证： 设 是 A 的属于 的特征向

13、量，所以 A 。 由性质 3 知 A 可逆，且 1A 也是次正交矩阵，将等式 A 两边左乘 1A 得 )()( 11 AA 即 )/1(1 A 所以 1A 的特征值为 /1 。 证毕 由定理 1 可知 STAA 1 ，从而 /1 也是 STA 的特征值。 命题 4：如果 A 是 n 阶方阵，且满足 n 是奇数， 1, AEAA ST ，则 0AE 。 命题 5：如果 A 是 n 阶方阵，且满足 ,1, AEAA ST 则 0AE 。 命题 6：设 BA, 是两个 n 阶次正交矩阵，且 1AB ，则 1 STSTSTST BAABBA 命题 7：设 A 是 n 阶实次对称矩阵， B 为 n 阶实

14、反次对称矩阵，且 BABAAB , 可逆，则 1)( BABA 是次正交矩阵。 2.5 J-次正交矩阵的定义及其性质 在下面，用 E 表示单位矩阵，用 J 表示次单位矩阵，即次对角线上的元素都是 1，其余位置上的数字都是 0 的方阵；用 AAAA STT det, 和 trA 分别表示方阵 A 的转置矩阵、次转置矩阵、伴随矩阵、行列式和迹。 显然，次单位矩阵 J 也是次正交矩阵。 定义 5：设 nmRDCBA , ，若 B 为 A 的全转置矩阵，则记为 0AB ；若 C 为 A 的右转置矩阵，则记为 RAC ，若 D 为 A 的左转置矩阵，则记为 LAD 。 定义 6：设 ,)( nmij R

15、aA 称其次对角线元素之和为 A 的次迹，记为 StrA ，即 ni iniaStrA 1 1, 。 定义 7：设 ,)( nmij RaA 如果 JAAAA STST ，则称 A 为 n 阶 J-次正交矩阵。 容易得出，若 A 为 n 阶 J-次正交矩阵，则 A 必定为当 4/n 或 4/n-1 时的 n 阶实矩阵，以下所提到的 n 阶 J-次正交矩阵，均指此类型矩阵。 性质 1：设 ,)( nmij RaA 若 A 为 J-次正交矩阵，则 A 一定可逆，且 STJAA 1 。 推论 1：设 nmRA ，若 A 为 J-次正交矩阵，则 1A 与 STA 可互换。 证： 由性质 1 可知 ,1

16、 JAJAA STST 可得 ,11 AAJAAAJAAA STSTSTSTSTST即 ,11 AAAA STST 所以 1A 与 STA 可互换。 性质 2 ：设 nmRA ，若 A 为 J-次正交矩阵，则 （ 1） 1A 也是 J-次正交矩阵； （ 2） LR AAA ,0 都是 J-次正交矩阵； （ 3） 1det A 。 性质 3：若 nmRA 是 J-次正交矩阵，则当 nmRB 为 J-次正交矩阵时， BBAT 及ABB1 均为 J-次正交矩阵。 性质 4：设 nmRBA , 为 J-次正交矩阵，则有 （ 1） )d e t ()d e t ()d e t ( ABBABA STST

17、ST ； （ 2）若 1)det( AB ，则 0)det( BA ； （ 3）若 0detdet BA ，则 0)det( BA ； （ 4）若 ,1)d et()1( ABn 则 0)d e t (,0d e td e t BABA ； （ 5）若 n 为奇数，则 0)(d et( BABA 。 性质 5：设 nmRBA , 为可逆矩阵，则 JBBAA STST 的充分必要条件是：存在 J-次正交矩阵 P 使得 PBA 。 性质 6：设 nmRA 为 J-次正交矩阵，则对任意 nmRB 有 （ 1） )()( STST A B AS trBAAS tr ； （ 2） )()( 11 A B

18、 AS trBAAS tr ； （ 3） )()( TT AB AS trBAAS tr 。 性质 7：设 是 n 阶 J-次正交矩阵 A 的特征值，则 （ 1） 0 ； （ 2） 1 是 STJA （且是 LA 和 RA ）的特征值； （ 3） r , 21 是 A 的特征值 ，则 121 r 。 J-次正交矩阵的性质不仅仅是这些，还有很多性质，有待进一步讨论。 2.6 K-次正交矩阵的定义及其性质 前面给出了次正交矩阵和 J-次正交矩阵的性质，这里，在此基础上进一步分析了次正交性，给出了 K-次正交矩阵的基本性质。 记 00nnE EK ，则 1K 。（ nE 为 n 阶单位矩阵） 定义

19、8：设 nmRA 22 ，若 KAAAA STST ，则称 A 为 K-次正交矩阵。记为 KUA 性质 1：若矩阵 KUA ，则 （ 1） A 是非奇异矩阵，且 1A 或 1A ； （ 2） KTKST UAAAUA , 1； （ 3） K 与 TST AAAAA , 1 均可以交换。 性质 2：设 mmRA 22 ，则 KUA 的充分必要条件是 KAKAA STST 1 。 性 质 3：设 mmRA 22 ，则 KUA 当且仅当 KUA 0 。 性质 4：设 KUBA , ，则 KUBABABB 00 , 。 性质 5：设 DC BAQ，其中 mmRDCBA , ，则 KUQ 的充分必要条件

20、是 ,;0,0;,;0,0ICAACIDBBDADBCCBDAIDCCDIBAABDACBBCADSTSTSTSTSTSTSTSTSTSTSTSTSTSTSTST同时成立。 K-次正交矩阵的性质不仅仅是这些，还有很多性质，有待进一步讨论。 三、 研究的方法与技术路线、研究难点，预期达到的目标 1.研究内容 （ 1） 关于线性代数中的 矩阵、次正交矩阵的相关理论背景及内容的介绍； （ 2） 关于次正交矩阵及其性质研究的国内外现状，能够系统地叙述该问题的研究发展进程； （ 3） 在全面总结的基础上，对次正交矩阵及其性质问题研究方面提出自己的见解，尽量有所创新。 2研究方法及技术路线 阅读有关矩阵理

21、论以及代数学方面的论著及文献，总结次正交矩阵问题讨论的发展过程。通过广泛与深入的阅读，对次正交矩阵问题理论有一个系统的了解，并在此基础上作更进一步深入的研究。要求学生具备一定阅读中文特别是外文文献的能力，具备较强的代数方面的知 识和能力。 3.研究难点 （ 1）对矩阵的基本概念不是很了解； （ 2）由于论题有限制，很难有独创或新颖之处； （ 3）次正交矩阵的性质涉及次转置，矩阵的可逆等大量知识。理解程度较深。 4.预期达到的目标 通过这次论文的撰写了解矩阵的来由以及矩阵的基本概念，对矩阵进行初步的了解。接下来定义出次对称矩阵、次正交矩阵，通过它们的联系得出一系列性质，以此来了解次正交矩阵。在此

22、基础上，对次正交矩阵进行拓展，得出 J-次正交矩阵和 K-次正交矩阵的性质。让我们全面的了解次正交矩阵的作用与意义。 四、论 文详细工作进度和安排 第七学期 1周（ 20年 11 月 1号）至第七学期 1周（ 20年月号） 完成毕业论文文献检索、文献综述、文献翻译及开题报告。 第七学期 1周 20年 1 月 7 号）至第八学期 3 周（ 201年 3 月 1号） 完成毕业论文的论文初稿。 第八学期 4 周（ 201年 3 月号）至第八学期 1周（ 201年 5 月号） 1、进入实习单位进行毕业实习，对论文进行修改； 2、第 11 周（ 201年 5 月日）前必须返校，完成毕业实习返校，并递交毕

23、业实习报告，进一步完善毕业论文； 第八学期 1周（ 201年 5 月 2号）至第八学期 1周（ 201年 6 月 3 号）完成第一轮毕业论文答辩； 第八学期 1周（ 201年 6 月日）至第八学期 1周（ 201年 6 月 10 日） 第一轮毕业论文答辩未通过的学生完成第二轮毕业论文答辩，并随机抽取部分完成较好地毕业论文进行校级答辩。 五、主要参考文献： 1 陈景良，陈向晖 .特殊矩阵 .北京：清华大学出版社， 2000:51-55 2 刘丁酉 .矩阵分析 .武汉：武汉大学出版社， 2003.8:61-67 3 秦兆华 .矩阵的次转置及实次对称矩阵的次正定性 .渝州大学学报：自然科学版，199

24、4.11： 14-18 4 袁晖坪 .次正交矩阵与次对称矩阵 .西南师范大学学报：自然科学版， 1998， 23:11-15 5 王文慧 .关于次正交矩阵 .渝州大学学报：自然科学版， 1998,15:11-15 6 许永平，石小平 .正交矩阵的充分必要条件与 O-正交矩阵的性质 .南京林业大学学报：自然科学报， 2005,29:54-56 7 张贤达 .矩阵分析与应用 .北京：清华大学出版社， 2004.9:01-05 8 秦兆华 .关于次对称矩阵与反次对称矩阵 .西南师范学院学报：自然科学版，1985,100-110 9 北京大学数力系代数教研室编 .高等代数 .北京：人民教育出版社， 1978.3:210-212 10 郭伟 .广义次对称矩阵及广义次正交矩阵 .西南师范大学学报：自然科学版， 2000,18-22 11 郭伟 .实次规范阵与次正交阵的进一步拓广 .重庆工商大学学报：自然科学版 ,2006,30-36 12 戴华 .矩阵论 .北京：科学出版社， 2001.8:33-35 13 许以超 .线性代数与矩阵论 .北京：高等教育出版社， 1992:10-15