1、毕业论文 开题报告 信息与计算科学 行列式的计算方法和应用 一、选题的背景、意义 （所选课题的历史背景、国内外研究现状和发展趋势） 1.选题的背景 行列式理论产生于十七世纪末，到十九世纪末，它的理论体系已基本形成了。 1693年，德国数学家莱布尼茨（ Leibnie， 1646 1716）解方程组时将系数分离出来用以表示未知量，得到行列式原始概念。当时，莱布尼兹并没有正式提出行列式这一术语。 1729年，英国数学家马克劳林 (Maclaurin， 1698 1746)以行列式为工具解含有 2、 3、 4个末知量的线性方程组。在 1748年发表的马克劳林遗作中，给出了比菜布尼兹更明确的行列式概念
2、。 1750年，瑞士数学家克拉默 (Gramer， 1704 1752)更完整地叙述了行列式的展开法则并将它用于解线性方程组。即产生了克拉默法则。 1772年。法国数学家范德蒙 (Vandermonde， 1735 1796)专门对行列式作了理论上的研究，建立了行列式展开法则，用子式和代数余子式表示一个行列式。1172年，法国数学家拉普拉斯 (Laplace。 1749梷 1827)推广了范德蒙展开行列式的方法。得到我们熟知的拉 普拉斯展开定理。 1813一 1815年 ， 法国数学家柯西 (Cauchy， 1789 1857，对行列式做了系统的代数处理，对行列式中的元素加上双下标排成有序的行
3、和列，使行列式的记法成为今天的形式。英国数学家凯菜 (Cayley，于 1841年对数字方阵两边加上两条竖线。柯西证明了行列式乘法定理。 1841年，德国数学家雅可比 (jacobi)发表的论行列式的形成与性质一文，总结了行列式的发展。同年，他还发表了关于函数行列式的研究文章，给出函数行列式求导公式及乘积定理。至 19世纪末，有关行列的研究成果仍在式不断公开 发表，但行列式的基本理论体系已经形成。 行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的。行列式的应用早已超出了代数的范围，成为解析几何、数学分析、微分方程、概率统计等数学分支的基本工具，因此对 许多人来说，掌握 行列式的 计算是重要的。
4、 2.选题的意义 行列式是线性代数的一个重要内容，是讨论线性方程组的一个有力工具，在很多数学分支中都有着广泛的应用，行列式的计算灵活多变，具有一定的规律和技巧，选择合适的方法计算行列式就变得至关重要。 1 二、研究的基本内容与拟解决的主要问题 我们知道 ,行列式的计算灵活多变，需要 有较强的技巧。当然，任何一个 n 阶行列式都可以由它的定义去计算其值。但由定义可知， n 阶行列式的展开式有 !n 项，计算量很大，一般情况下不用此法，但如果行列式中有许多零元素，可考虑此法。值的注意的是：在应用定义法求非零元素乘积项时，不一定从第 1 行开始，哪行非零元素最少就从哪 行开始。 对行列式进行计算不是
5、唯一目的， 我们还需要 利用行列式去解决一些 实际 问题，使复杂问题简单化。 在了解行列式的概念、性质的基础上，讨论行列式的求解方法，其中包括化三角法，利用范德蒙行列式求解以及利用拉普拉斯定理的解法。通过对行列式的求解方法的研究，探讨行列式在求解线性方程组中的应用。 1.行列式的相关概念及性质 n 级行列式 nnnnnnaaaaaaaaa.212222111211 等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积nnjjj aaa .21 21的代数和，这里 njjj .21 是1,2， .， n的一个排列， 每一项都按下列规则带有符号：当 njjj .21 是偶排列时， 带有正号；当 njjj .21
6、 是奇排列时， 带有 负 号 。这一定义可以写成 nnnnjjjjjjjjjrnnnnnnaaaaaaaaaaaa. . .1. . . . . . .2211212. . .1. . .212222111211 这里 njjj .21表示对所有 n 级排列的求和。 行列式的性质 178 性质 1. 行列互换，行列式的值不变，即 nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa. . . . . . . . . . . . .212221212111212222111211 性质 2. 行列式中某一行（列）元素有公因子 k ，则 k 可以提到行列式记号之外，即 2 nnnninii
7、nnnnniniinaaaaaaaaakaaakakakaaaa212111211212111211这就是说，一行的公因子可以提出去，或者说以一数乘以行列式的一行就相当于用这个数乘以此行列式。 事实上， ininiiiinnnniniinAkaAkaAkaaaakakakaaaa . . .2211212111211 ininiiii AaAaAak . . .2211 nnnniniinaaaaaaaaak212111211令 0k ，如果行列式中任一行为零，那么行列式值为零。 性质 3. 如果行列式中某列（或行）中各元素均为两项之和，即 nicba ijijij ,.,2,1 ，则这个行列
8、式等于另两个行列式之和。 即 nnnjnnjjnnnjnnjjnnnjnjnnjjjjacaacaacaabaabaabaacbaacbaacba12221111111222111111122221111111这就是说，如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而 这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的对应的行一样。 性质 4. 如果行列式中有两行（列）相同，则行列式等于零 。所谓的两行相同就是说两行的对应元素都相等。 性质 5. 如果行列式中两行（列）成比例，则行列式等于零。 性质 6. 如果行列式中的某一行（列）的各元素同乘数 k 后加到另一行（列）的对应元素上去，则行
9、列式不变。 3 性质 7. 对换行列式中两行（列）的位置，行列式反号。 2.化三角法计算行列式的例子 李尚志 4指出 化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。这是计算行列式的基本方法重 要方法之一。因为利用行列式的定义容易求得上（下）三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。 原则上，每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式。但对于阶数高的行列式，在一般情况下，计算往往较繁。因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性质将其作为某种保值变形，再将其化为三角形行列式。 我们总结出将行列式化为三角形时常用的三种基本方法 : (1)将各行 (
10、列 )加到某一行 (列 ); (2)将每行 (列 )减去某一行 (列 ); (3)逐行 (列 )相加或相减 . 浙江大学 2004年攻读硕士研究生入学考试 试题第一大题第 2小题（重庆大学 2004年攻读硕士研究生入学考试试题第三大题第 1小题）的解答中需要计算如下行列式的值， 12212154314321321nnnnnnD n分析：显然若直接化为三角形行列式，计算很繁，所以我们要充分利用行列式的性质。注意到从第 1列开始，每一列与它一列中有 1n 个数是差 1的，根据行列式的性质，先从第 1n列开始乘以 1加到第 n 列，第 2n 列乘以 1加到第 1n 列，一直到第一列乘以 1加到第 2
11、列。然后把第 1行乘以 1加到各行去，再将其化为三角形行列式，计算就简单多了。 3.降阶法计算行列式的例子 李书超 2， 裴礼文 5在书中介 绍了降阶法的计算方法。 设 ijn aD 为 n 阶行列式，根据行列式的按行（列）展开定理有 niAaAaAaD ininiiiin , . . . ,2,1. . .2211 或 njAaAaAaD njnjjjjjn , . . . ,2,1. . .2211 其中 ijA 为 nD 中的元素 ija 的代数余子式。 4 按行（列）展开法可以将一个 n 阶行列式化为 n 个 1n 阶行列式计算。若 继续使用按行（列）展开法，可以将 n 阶行列式降阶直
12、至化为许多个 2阶行列式计算，这是计算行列式的又一基本方法。但一般情况下，按行（列）展开并不能减少计算量，仅当行列式中某一行（列）含有较多零元素时，它才能发挥真正的作用。因此，应用按行（列）展开法时，应利用行列式的性质将某一行（列）化为有较多的零元素，再按该行（列）展开。 对于类似 20阶的行列式 12318192018171612319181721220191832120D由分析可知：这个行列式中没有一个零元素，若直接应用按行（列）展开法逐次降阶直至化许许多多个 2阶行列式计算，需进行 120)!20( 次加减法和乘法运算，这是人根本无法完成的，更何况是 n 阶。但若利用行列式的性质将其化为
13、有很多零元素，则很快就可算出结果。注意到此行列式的相邻两列（行）的对应元素仅差 1，因此，可按下述方法计算， 1111120111111911111311111211111119, . . . ,1123181920181716123191817212201918321120 iccD ii 1818120122121210000021200002022200422220311111120, . . . ,2 rrii 。 4.范德蒙行列式计算行列式的例子 范德蒙行列式 jinijnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxx 1113121122322213211111。 5 根据行列式的特点，
14、适当变形（利用行列式的性质）把所求行列式化成已知的或简单的形式。其中范德蒙行列式就是一种。这种变形法是计算行列式最常用的方法。 李尚志 4也在书中用以下例子说明了计算 范德蒙行列 式的方法。 对于下面这个 n 阶行列式 111112112112122221111aananaaananaaananaDnnnnnnnnn显然与范德蒙行列式很相似，但还是有所不同，所以先利用行列式的性质，把它化为范德蒙行列式的类型。先将的第 n 行依次与第 1n 行， 2n 行， .,2行， 1行对换 对换，再将得到的新的行列式的第 n 行与第 1n 行， 2n 行， .,2行对换 ，继续仿此作法，直到最后将第 n
15、行与第 1n 行对换，这样，共经过 2 112. . .21 nnnn 次对换后，得到 111122222112112112111111nnnnnnnnnnnaananaaananaaananaD上式右端的行列式已是范德蒙行列式，故利用范德蒙行列式的结果得 BAEABE mmnn ， 所以， jijnainaDnijnnnijnnn 121121 11 。 5.拉普拉斯定理计算行列式的例子 拉普拉斯展开定理 : 在 n 阶行列式 D 中任取 k 行（列）（ 11 nk ），则由这 k 行（列）组成的所有 k 阶子式分别与其它代数余子式的乘积之和等于行列式 D 。 梁保松 1， 李书超 2， 马
16、杰 3等人在书中指出了拉普拉斯的 4种特殊情形 1）mmnnmmnmnn BABCA 02）mmnnmmnmnn BABCA 06 3） mmnnmnmnmm nn BACB A 103） mmnnmnmm nnnm BAB AC 10对于下面形式的 n 阶行列式 abababaaaaD n由分析可知：根据行列式的性质可以把它化为拉普拉斯的 4种特殊形式中的一种再进行计算。 先将行列式化为 aaanabaaaan00000000000021的形式， 再由拉普拉斯定理可以得到 222200000021 nnaaanaban 212 nanabna 。 6.行列式求解线性方程组的例子 谢邦杰 10
17、，李排昌 12等人都曾在书中提出，线性方程的解与系数和常数有关。这本来就是一个纯代数问题，如果把这个纯代数问题与几何结合起来，在求解线性方程的过程中从整体上考虑系数与常数项的关系，就产生了求解线性方程组的行列式理论和矩阵理论。 已知标准形式的 n 元线性方程组 122111222212111212111. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .bxaxaxabxaxaxabxaxaxannnnnnnnn（ 1） 令 7 nnnnnnaaaaaaaaaD2122221112
18、11 ， nnnnnnaabaabaabD2222211211 ， .， nnnnbaabaabaaD212222111211 （ 2） 当 0D 时，用数学归纳法可以证明：线性方程组（ 1）式的唯一解求解公式为 DDx 11， DDx 22， .， DDx nn。 8.论文要解决的主要问题 本论文总结前人的研究理论的 基础上，拟解决以下问题： (1)通过计算行列式辨别有关行列式的一些概念和性质； (2)利用化三角法求解行列式的计算问题； (3)利用 范德蒙行列式求解 行列式的计算问题； (4)利用 拉普拉斯定理求解 行列式的计算问题； (5)利用行列式的计算方法求解线性方程组。 三、研究的方
19、法与技术路线、研究难点，预期达到的目标 1.研究方法及技术路线 本论文主要以查找资料 ,以现有的知识水平 ,在前人的研究论述基础上 ,应用行列式计算的相关理论。 采取了从大量阅读已有的数据资料 然后对这些内容进行总结 最后运用相关的知识来通过行列 式的各种计算方法及应用来寻求解题的思路和对相关问题的求解 。 2.研究难点 （ 1）从大量的阅读材料中整理与论文相关的资料是一个难点。 （ 2）整理行列式的各种计算方法是一个难点。 （ 3）灵活应用行列式的各种计算方法解题时一个难点。 （ 4）不要简单地重复已有的方法和结果，要有自己独立的分析结果是一个难点。 3.预期达到的目标 通过这次论文的撰写，
20、能更深的理解线性代数等相关课程的知识，通过对行列式的计算和应用的研究使我重新审视了行列式的理论，对行列式的相关知识有了更深刻的理解 ，8 对计算行列式的基本方法和基本技能有 较好的理解和掌握。 同时在本文的撰写过程中掌握参考文献资料查找方法和论文写作的基本要求和方法，培养自己利用所学知识分析和解决问题的能力，学会从不同角度看待问题，从而达到对所学知识融会贯通。 四、论文详细工作进度和安排 第一阶段：第 7 学期 9 周至第 7 学期 17 周 完成毕业论文文献检索、开题报告、文献综述及外文文献翻译初稿。 第二阶段：第 7 学期 17 周至第 7 学期 21 周 完成毕业论文开题报告、文献综述及
21、外文文献翻译，交指导老师。 第三阶段：第 7 学期 21 周至第 8 学期 3 周 完成毕业论文的数据收集、论文初稿； 第四阶段：第 8 学 期 3 周至第 8 学期 12 周 第 3 周至第 11 周：进入实习单位进行毕业实习，同时撰写毕业论文。 1. 第 11 周前：返校递交实习报告，继续完善毕业论文。 2. 第 11 周至第 12 周： 将毕业论文交给导师审阅，导师对毕业论文进行评阅。 3. 第 14 周至第 16 周：对论文进一步修改，定稿和打印，做好答辩准备工作。 五、主要参考文献： 1 梁保松，苏本堂线性代数及其应用北京：中国农业出版社， 2004. 2 李书超等一类矩阵秩的恒等式
22、及其推广武汉科技大学学报， 2004， 3（ 1）： 96-98. 3 马杰 ,邹本腾 ,漆毅 ,等 .线性代 数辅导 .北京 :机械工业出版社 ,2003:321. 4 李尚志 .线性代数 M.北京 :高等教育出版社 ,2006:504. 5 裴礼文 .数学分析中的典型问题与方法（第二版）北京 :高等教育出版社 2006.69-97. 6 王萼芳 .线性代数 M.北京 :清华大学 出版社 ,2000:90-94. 7 林升旭 .线性代数 教程 M.武汉 :华中科技大学 出版社 ,2004:1-6. 8 居余马 .线性代数 M.北京 :清华大学 出版社 ,2002:1-5. 9 王纪林 .线性
23、代数 M.北京 :科技 出版社 ,2003:6-7. 10 谢邦杰 .线性代数 M.北京 :人民教育 出版社 ,1978. 11 同济大学数学研究室 .线性代数 M.北京 :高等教育 出版社 ,1999. 12 李排昌，左萍 .线性代数 M.北京 :中国人民公安大学 出版社 ,2005. 13 段向阳 .浅谈行列式的几种计算方法 J.湖南冶金职业技术学院学报 ,2008（ 12）： 103-104. 14 同济大学数学研究室 .工程数学 线性代数 M.第四版， 北京 :高等教育 出版社 ,2003. 15 杨闻起 .计算行列式的三种技巧 J.通化师范学院学报 ,2003（ 3）： 12-16. 16 A.GALANTAI. A note on the generalized rank reductionJ. Acta Math Hungar,2007,166(3):2399 246. 17Zhong-Peng Yang, Chong-Guang Gao and Xian Zhang. A Matrix Inequality on Schur ComplementsJ. J-Applmath & Computing, 2005,18(1): 321 328.
