1、毕业论文 开题报告 信息与计算科学 几何背景分析在高等代数课程学习中的作用 一、选题的背景、意义 1 选题的背景 我们知道高等代数与解析几何之间的重复现象，在高等代数、解析几何与近世代数、微分方程之间又何尝没有。因此统筹考虑代数类与几何类的课程体系改革是必要的又是可能的。高代与近代之间是关系非常紧密、内容也有重叠。如多元多项式， Jordan 标准形等。这些内容在高代中论述相当之麻烦，而在近代中可简捷明了论述清楚 1。这样在高代中弃之不讲，而放在近世代数中可得到事半功倍之效。本世纪的微分几何代表 Cartan（卡 当）、陈省身所研究的问题经常是整体的、大范围的，故常称为整体微分几何。他们使用的
2、研究方法，如活动标架法，外微分形式等与代数理论关系可以说是形影不离，微分几何在一定意义上正在代数化。虽然大学微分几何课主要讲经典微分几何，以往的教法很少与代数联系。现在则尽量利用代数语言与方法，如用非代数方法讲解结构方程与基本定理；用对称变换讲解主方向，主曲率， Gauss 曲率与平面曲率等。这些讲法不仅和高等代数、解析几何、近世代数紧密联连，而且更贯穿了现代微分几何的思想与方法 2。当然这也要求高等代数与解析几何课更新有关内容与 之相适应。这样就强化了微分几何与高等代数、解析几何、近世代数的联系，同时，也使古典微分几何更现代化。 2 选题的意义 从数学发展史上看，代数与几何关系已密不可分，相
3、互依赖，早在欧式几何原本那里，包括几何数论和初等代数一些内容，几何与代数不加划分，几何学几乎代表了全部数学，事实上英文书名为 Elements。故应译为原本，而几何原本 “几何 ”二字由利玛窦与徐光启在 1607 年翻译为中文时所添加上去。十四世纪初，人们承认原理数后就有了用数表示线段的长度，二、三维图形的面积、体积等，阿拉伯人用代数方法解方程 ，然后用几何图形说明所做步骤的原理。这种做法展示了代数与几何之并行不悖，这种并行性的进一步，充分发扬并导致解析几何的产生 3。诚然，解析几何是以代数为工具来研究几何问题，因而我们可本着 “工欲善其事，必先利其器 ”的原则，我们可否先讨论高等代数，而后用
4、之解决解析几何问题？从本质上看，解析几何中的二次曲线，二次曲面的分类与线性代数中的二次型的分类可的说是一回事。至今解析几何课一直先于或同时与高等代数开设。教师教得费心，学生学得辛苦。例如，解析几何中的共线共面，二次曲面的导向，渐近方向，主方向，共轭方向等，有了线 性代数知识后，介绍起来异常简单。其实这些内容只不过是低维空间的线性代数而已。单在解析几何课中学这些概念很难深透。试想把解析几何中有关线性代数内容去掉后，还需要多常时间讲解析几何？ 【 4】 二、研究的基本内容与拟解决的主要问题 2.1 高等代数和解析几何 2.1.1 高等代数的组成 高等代数是大学数学科学学院（或数学系，应用数学系）最
5、主要的基础课程之一。高等代数课程的教学内容包括三个方面：线性代数，多项式理论，群、环、域的基础概念。线性代数占的比重最大，它研究线性空间及其线性映射（包括具有度量的线性空 间及与度量有关的线性变换）。多项式理论是研究一元和多元多项式环。群、环、域的基本概念是紧密结合多项式理论和线性变换（包括与度量有关的线性变换）理论，水到渠成地介绍一元（多元）多项式环、矩阵环、线性变换环、模 p 剩余类域、正交群、酉群和辛群 【 5】 。 2.1.2 解析几何的范围 代数几何是数学的一个分支，顾名思义，它把抽象代数的方法，特别是交换代数，与几何的语言和问题糅合在一起在与复分析，拓扑，数论等有多重联系的现代数学
6、的各个领域中，代数几何占据了中心位置。代数几何最初研 究多个变量的多项式方程组，它并不始于方程求解，而是至少掌握方程组的全部解，以得到某些解，这就把整个数学在概念和技术方面带入了更深远的领域，代数簇是它的最基本的研究对象。而分类问题又是代数几何中的主要研究课题，它起着引导代数几何发展和进步的作用。 【 5】 2.1.3 高等代数的几何意义 线性代数实际上产生于解析几何，线性代数的许多基本概念和方法都有很强的几何背景，从几何角度来学习线性比较容易理解，其效果比单纯从代数角度来学习更好。 几何为代数提供直观背景 ， 代数为几何提供研究方法。数理逻辑是科学研究擅长的思 维方式 ， 但人类对几何图形的
7、直观认识却是与生俱来的 ， “数形结合”恰恰是联系二者的桥梁。直观的模型 ， 形象的认识 ， 辅以逻辑推理 ， 将有利于数学结论的理解和掌握。我们把通过对几何图形进行观察 ， 根据直观认识的横向迁移来解决其它数学分支相关问题的方法称为几何直观方法 6。高等代数是研究线性空间及其上的线性变换的学科 ， 课程中大量的公式、定理、推论都是采用严格的演绎论证方法 ， 抽象程度高 ， 逻辑性强。学生在学习知识时很难深刻理解其中的抽象概念和复杂结论 ， 学习效率不高 4。利用几何直观方法 ， 把抽象的问题形象化 ， 结合直观的形象对 抽象内容加以理解 ， 可以帮助学生理解概念 ， 发现研究思路 ， 有效开
8、展推理、猜想 ，直至问题解决。因此 ， 在教学中运用几何直观与演绎论证相结合的方法 ， 不仅是学生学好高等代数的需要 ， 而且对培养学生分析问题的能力和养成科学的思维品质都具有十分重要的意义 7。 2 2 几何在高等代数中运用的实例 2.2.1 几何在线性方程中的运用 【 1】 我们用解析几何中直线的相交问题来解决代数中有关线性方程组解的定理以及向量的线性相关性问题可以使代数问题变的很简单，下面我们给出 1个例题及其的 3种解法。 例 1 设 1 1 11 2 2 2 3 23 3 3,a b ca b ca b c ，则三条直线1 1 1 2 2 2 3 2 30 , 0 , 0a x b
9、y c a x b y c a x b y c ，其中 22 0, 1, 2, 3iia b i ，交于一点的充要条件是（ ） （ A） 1 2 3, 线性相关 （ B） 1 2 3, 线性无关 （ C） 1 2 3 1 2, , , ) 秩 ( ) = 秩 ( （ D） 1 2 3, 线性相关， 12,线性无关 解法一 ：首先，由条件 22 0, 1, 2, 3iia b i 知， 120, 0; 三条直线交于一点 线性方程组 1 2 3 0xy 有唯一解 3 由 12, 唯一表示 1 2 3, 线性相关，且 12, 线性无关； 解法二 ：设矩阵1 2 3( , ) , ( ) , xA B
10、 X y ，则三条直线交于一 点 线性方程组AX B 有唯一解 1 2 3( ) ( | ) 2 , ,r a n k A r a n k A B 线性相关，且 12, 线性无关； 解法三 ：三条直线交于一点 线性方程组 1 2 3 0xy 有唯一解，其中由有解 1 2 3, 线性相关，由有唯一解 线性方程组 120xy的解空间为零空间，从而 12,2rank ，得出 12, 线性无关；反之，由 1 2 3, 线性相关，且 12,线性无关 3 由 12, 唯一表示，从而线性方程组 1 2 3 0xy 有唯一解； 以上题目给出了二维几何空间中的三条直线交于一点的一个充要条件，通过它 的求解 可以
11、帮助我们把很多东西总结归纳连起来，比如： 1.用到了线性方程组的三种形式： 常规形式1 1 1 1 2 2 1 12 1 1 2 2 2 2 21 1 2 2nnnnm m m n n ma x a x a x ba x a x a x ba x a x a x b 向量形式 1 1 2 2 nnx x x ，其中 , 1 1 1 2 1 12 1 2 2 2 21212, , , ,nnnm m m n ma a a ba a a ba a a b 矩阵形式 AX B ，其中 1 1 1 2 1 1 12 1 2 2 2 2 212,nnm m m n n ma a a x ba a a x
12、 bA X Ba a a x b 2.看到了线性方程组 1 1 1 1 2 2 1 32 1 1 2 2 2 2 33 1 1 3 2 2 3 3000a x a x aa x a x aa x a x a 有唯一解的几何背景； 3.通过类比、联想可以得出几何空间 3R 中很多几何相关结论的代数判别方法，比如 3R中四平面1 1 1 1 2 2 1 3 3 1 42 1 1 2 2 2 2 3 3 2 43 1 1 3 2 2 3 3 3 3 44 1 1 4 2 2 4 3 3 4 40000a x a x a x aa x a x a x aa x a x a x aa x a x a x
13、 a 交于一点131 1 1 2 1 4232 1 2 2 2 41 2 3 4333 1 3 2 3 4434 1 4 2 4 4, , ,aa a aaa a aaa a aaaa 线性相关，131 1 1 2232 1 2 21 2 3333 1 3 2434 1 4 2,aaaaaaaaaaa 线性无关 1 2 3 4 4( , , , ) 3r a n k r a n k ；又比如 3R 中 一条直线 11 12 13 1421 22 33 2400a x a y a z aa x a y a z a 与平面 3 1 3 2 3 3 3 4 0a x a y a z a 相交1 1
14、1 2 1 3 1 41 2 1 2 2 2 3 2 3 4 2 43 1 3 2 3 3 3 4, , ,a a a aa a a aa a a a 线性相关，且1 1 1 2 1 31 2 1 2 2 2 3 2 33 1 3 2 3 3,a a aa a aa a a 线性无关 1 2 3 4 4( , , , ) 3r a n k r a n k 。 4.通过求解，能熟悉串联代数中的相关命题，比如： 线性方程组 1 1 2 2 nnx x x a ，其中1 1 1 2 1 12 1 2 2 2 21212, , , ,nnnm m m n ma a a ba a a ba a a b
15、有唯一解 由 12, , , n 唯一表示 12, , , ,n 线性相关，且 12, , , n 线性无关 1 2 1 2( , , , , ) ( , , , )nnr a n k r a n k n 矩阵方程 AX B ，其中1 1 1 2 1 1 12 1 2 2 2 2 212,nnm m m n n ma a a x ba a a x bA X Ba a a x b 有唯一解。 【 1】 2.2.2 几何在矩阵乘幂计算中的运用 【 8】 矩阵是高等代数中的一个很重要的部 分也是高等代数的难点，很多同学都感觉很困难，下面举 1例几何法解矩阵乘幂的题目。 例二 ：计算 cos sins
16、in cosn，其中 n是正整数。 解一 ：按照矩阵正常的计算方法，先计算 2c o s s in c o s s in c o s s in c o s 2 s in 2s in c o s s in c o s s in c o s s in 2 c o s 2 3c o s s in c o s 2 s in 2 c o s s in c o s 3 s in 3s in c o s s in 2 c o s 2 s in c o s s in 3 c o s 3 由归纳法，得出 c o s s in c o s s ins in c o s s in c o sn nn 下面我们将之与
17、几何空间 2R 中平面的旋转线性变换结合起来进行计算。 解二 ： 设几何空间 2R 中， T 为平面按逆时针方向绕原点旋转 角的线性变换，则线性变换 T 的具体坐标表达形式为： 22:T R R ( , ) ( s i n , s i n c o s )x y x c o s y x y 又取 2R 中的自然基 , ji ，由( ) ( ( 1 , 0) ) ( c os , sin ) , ( ) ( ( 0 , 1 ) ) ( sin , c os )T T T Tji ，求得线性变换 T在该基下的矩阵为 cos sinsin cos。 则题目中所求的 cos sinsin cos可以看成
18、是线性变换 T 的 n 次幂即 nT 在 2R 中自然基 , ji 下的矩阵；而 nT 在几何上看就是平面按逆时针方向绕原点旋转 n 个 角即 n 角的线性变换，故 nT 在自然基 , ji 下的矩阵就是 c os( ) si n( )si n( ) c os( )nn。 因此，有 c o s s in c o s ( ) s in ( )s in c o s s in ( ) c o s ( )n nn 。 【 9】 2.2.3 欧几里得空间中的向量线性运算 为了把几何空间中的向量长度与向量间夹角的概念推广到高维线性空间，需要限制于实数域，再定义一个称为向量内积的实函数。这样就得到了欧几里得
19、空间。欧几里得空间总是有限维的，并且由于有了度量的概念。用欧几空间的一些性质可以可以简化向量的运算，下面我们来看 1例题。 【 11】 例三 ：设 V 是 n 维欧氏空 间， 1, n 是 V 的一个基，由此基得到 V 的一个正交基 1, n 的过程是： 2 1 1 11 1 2 2 1 1 11 1 1 1 1 1, , , , , , ,n n nn n nnn 。 这一过程在二维几何空间 2R 中的体现是：由两个不共线（线性无关）的向量 12, 得到 两个相互垂直（正交）的向量 12, ，我们可以通过直观图示来展示正交化过程（见图1）。 这里212 1 2 1111 1 2 1 121
20、1 1 11, P r ,OQ ， 2 1 2 12 2 2 1 2 11 1 1 1,OQ 若在 3R 中体现上述正交化过程就是：由三个不共面（线性无关）的向量组 1 2 3, 得到三个两两垂直的向量组（正交组） 1 2 3, ， 具体图示（见图 2）。 【 12】 图中，1 2 3, , ,O A O B O P 211 1 2 2 112,O A CB O B O C OQ 是 3 在 12( , )WL 上的正交投影， 1 1 2 2331 1 2 2, , ,OQ 1 1 2 23 3 3 3 31 1 2 2,OQ 。 2.2.4 高等代数里的几何直观法 数学教学的目的是 培养学生
21、发现问题、分析问题、解决问题的能力。直观是抽象思维问题的信息源 ， 又是途径信息源 ， 它不仅为抽象思维提供信息 ， 而且由于直观形象在认知结构中有较强鲜明性 ， 可以多思路、反复地给抽象思维以技巧。几何直观图形的使用 ， 可以帮助学生发现并理解数学问题 ,掌握数学发现的方法 ， 有利于培养学甥的观察能力和分析能力。 【 4】 例 4 数域上线性空间是高等代数中充分体现现代数学的集合论思想和公理化方法的概念 ,抽象程度高 ， 一般的讲解方法是 ： 定义 VV 到 V 的一个代数运算 ,称为加法 ， 满足封闭性和交换律、结合律 ， 在 V 中存在加法零元和加法负元 ； 又定义 PV 到 V 的映
22、射 ， 称为数乘 ， 满足封闭性和四个算律 ， 我们把这样的集合 V 称为数域 P 上的一个线性空间。对此 ,许多初学者难以听懂、理解和掌握。在 教学中 ， 我们辅助以几何直观图式法就可使讲解变得简洁、直观和明了。 运算封闭性直观图式 ： 加法算律直观图式 ： 数乘算律直观图示 ： 这些几何直观图式 ， 既直观又形象 ， 再配合精辟的语言讲解 ， 学生们脑海里就可以迅速形成关于线性空间结构的图式 ， 信息存贮就容易多了。类似的 ， 在研究线性空间的同构、线性变换的核与值域、不变子空间时 ， 我们都可以采用几何直观图式法 ， 边画图边讲解 ,最终完成知识的迅速存贮与理解。 【 12】 2 3 解空间结构与几何空间中线面关系的判定 2.3.1 平面与平面的关系 设几何空间 3R 中平面 : 0 , 1 , , ,i i i i iA x B y C z D i m 每个平面 i 都可看成一个 3R 中的 2维线性流形 ， 它们的方向子空间 : 0 , 1 , ,i i i iW A x B y C z i m 都是3R 中的 2维线性子空间 ,则 i 之间的关系转化为线性方程组 1 1 1 1 00m m m mA x B y C z DA x B y C z D 1 的解的情况讨论 。 具体地说 ,就是转 化为解集
