1、毕业论文 开题报告 信息与计算科学 无穷限广义积分的数值计算 一、选题的背景、意义 1 1 数值求积的定义 定积分的数值近似称为数值求积 .1它起源于古代用铺贴小方块近似计算不规则图形或曲边形的面积在近似积分中，主要从定义积分的黎曼和出发，用被积函数在积分区间上有限个点上值的加权和来近似计算积分 1 2 无穷限广义积分的定义 2 设函数 f 定义在无穷区间 ,a 上，且在任何有限区间 ,au 上可积如果存在极限 lim uau f x dx J . 1.2.1 则称此极限 J 为函数 f 在 ,a 上的无穷限反常积分 (简称无穷积分 )，记作 aJ f x dx, 1.2.2 并称 a f x
2、 dx收敛如果极限 1.2.2 不存在，为了方便起见，亦称 a f x dx发散 1 3 无穷限广义积分的发展 在讨论积分时有两个最基本的限制：积分区间的有穷性和有穷性和被积函数的有界性但在很多实际问题中往往需要突破这些限制，考虑无穷区间上的“积分” 比如现在 人类要发射人 造地球卫星或发射完成星际航行的飞行器，就要摆脱地球强大的引力，那如何离开地球呢 ? 地球上的物体要脱离地球引力成为环绕太阳运动的人造行星，需要的最小速度是第二宇宙速度第二宇宙速度为 11 2公里 /秒，是第一宇宙速度的 2倍地面物体获得这样的速度即能沿一条抛物线轨道脱离地球 我们可以运用无穷限广义积分解决第二宇宙速度问题
3、二、研究的基本内容与拟解决的主要问题 2 1 数值积分的一般方法 许多定积分都无法用解析方法求出对于那些并不知道函数 fx的表达式只能通过实验得到 fx在一系列点上的值的积分问题也只能用数值方法 3 2 1 1 梯形法则 4 把以曲线 fx为曲边的曲边梯形分解成小曲边梯形以后，估计小曲边梯形面积的一个方法是用左矩形或右矩形面积代替小曲边梯形面积；但是这时误差会比较大事实上，这种方法相当于用一系列的水平线逼近曲线 fx我们可以把这些水平线看成是函数的零次插值多项式 一个更好的方法就是用一条折线逼近曲 线 fx；事实上，我们让小矩形的上边连续倾斜直到最好地拟合曲线得到相应的求积公式是 2ba ba
4、f x d x f a f b, 2.1.1 对所有 1f （即次数最多是 1 次的全体多项式）公式精确成立此外，它的误差项是 31 12 b a f , 其中 ,ab 通过多项式逼近中的误差 1 2xf x p x f x a x b 积分，再利用积分中值定理，可以确定梯形法则的误差项 2 1 2 复合梯形法则 如果划分区间 ,ab 为： 01 na x x x b . 那么在每个子区间上可应用梯形法则这时结点未必是等距的这样，我们得到复合梯形法则 1 111112iinnbxi i i iax iif x d x f x d x x x f x f x . 2.1.2 对等间距 h b a
5、 n 及结点 ix a ih ， 复合梯形法则具有形式 0 nba if x d x h f a ih， 2.1.3 其中求和符号上的两撇表示求和式中的第一项和最后一项都被减半 .复合梯形法则的误差项是 21 12 b a h f , 其中 ,ab 对于每个子区间上的误差项求和并利用以下事实：在 ,ab 内存在一点 使得 1 1 niif n f ，其中 1,i i ixx 以及 1 n b a h ，即平均值，这样便得到总误差项 2 1 3 辛普森法则 5 对任意区间 ,ab 的类似计算可得到熟悉的辛普森法则： 462ba b a a bf x d x f a f f b . 2.1.4 从
6、它的推导过程可知，对于所有次数 2 的多项式辛普森法则是精确成立的出乎意料的是， 对于所有次数 3 的多项式它也精确成立 与辛普森法则联系在一起的误差项是： 5 41 290 b a f ， 其中 ,ab 2 1 4 Gauss 公式 6 设有计算 baI f f x dx 2.1.5 的求积公式 0nn k kkI f A f x , 2.1.6 其中求积节点 0,1,kx k n ， 求积系数 0,1,kA k n . 如果其代数精度为 21n ，则称为求积公式为 Gauss-Legendre 公式（简称 Gauss 公式），称相应的求积节点为 Gauss 点 由代数精度的定义知，式 2.
7、1.6 为 Gauss 公式的充 分必要条件是求积节点 0nk kx 和求积系数 0nk kA 满足下列方程组： 002202 1 2 101nbkaknbkkaknbkkaknbnnkkakA dxx A xdxx A x dxx A x dx . 2.1.7 Gauss 积分不但具有高精度，而且是稳定的，其原因是由于它的求积系数具有非负性 Gauss 公式 0nbkka kf x dx A f x 的求积系数 0,1,kA k n 全是正的 高斯求积公式， 7它不但具有最高的代数精度，而且收敛性和稳定性都有保证因此是高精度的求积公式，高斯公式的主要缺点是节点和系数无规律，所以不便编程实现，
8、在实际应用中，可以把低阶高斯公式进行复化 2 2 无穷积分的敛散性判别 无穷积分的基本问题就是敛散性的判别问题，是求解无穷积分近似值的一个先决条件由定义知道，无穷积分 a f x dx收敛与否，取决于函数 uaF u f x dx在 u 时是否存在极限因此可由函数极限的柯西准则导出无穷积分的柯西准则 无穷积分 a f x dx收敛的充要条件是：任给 0 ，存在 Ga ，只要 1u 、 2u G ，便有 2 1 21u u ua a uf x d x f x d x f x d x 2.2.4 我们知道， 8无穷限反常积分和数项级数两者之间有很多结论是相似的在数项级数里面，当数项级数收敛时，其通
9、项是收敛于零的那么在无穷限反常积分里是不是也有相似的结论呢 首先我们看看无穷限反常积分在收敛时的几何意义： a f x dx 收敛时的几何意义：若 fx 是 ,a 上的非负连续函数，则 a f x dx 是介于曲线 y f x ，直线 xa 以及 x 轴之间那一块向右无限延伸的阴影区域的面积 J 从而可知： a f x dx实际上是表示曲线 y f x 与坐标轴所围成的面 积的代数和而当 a f x dx收敛时，是否 fx在无穷远处的极限一定为零时，图形的面积才可以计算呢 ?如果回答否定，那么在哪些情况下，被积函数在无穷远处的极限才等于零呢 ?经过对若干例子的研究，我们得出结论：上述第一个问题
10、的回答是否定的，并且有这样的事实： a f x dx收敛时 fx在无穷远处的极限并不一定为零 被积函数在无穷远处极限为零的充分条 件： 当 a f x dx收敛时，在无穷远处的极限为零以下就是经过对 fx作某些限制而得出的几个结论，而这些结论就是对引言中的问题的回答 定理 2.2.1 若 a f x dx收敛且 limx fx存在，则有 lim 0x fx ； 定理 2.2.2 若 a f x dx收敛且 fx单调，则 lim 0x fx ； 定理 2.2.3 若 a f x dx收敛且 fx一致连续，则有 lim 0x fx ； 定理 2.2.4 若 a f x dx收敛且导函数 fx有界，
11、 lim 0x fx 2 3 无穷区间上的积分的计算方法 考虑无穷区间上的积分 aI f f x dx, 2.3.1 其中 a 为有限值或 常用的无穷区间上的积分的求解方法： 9 2 3 1 变量替换 对于式 2.3.1 ，作变量替换 xte ，可将区间 0, 变为区间 0,1 因此有 110 0 01 ln gtf x d x f t d t d ttt 2.3.2 这样就把无穷区间上的一个积分化成为了有限区间上的积分若 gtt 在 0t 的邻域内有界，那么式 2.3.2 的右边是一个正常积分，反之，积分是一个反常积分，上述变换只是把一种困难装换成另一个困难 变量替换还有很多不同类型 例 计
12、算积分 221 11sin dxxx 解 令 1y x ， 那么有 1 2221011s in s ind x y d yxx ， 对 2siny 泰勒级数展开，有 1 222101 1 1 1 1 1s i n s i n 3 4 2 1 3 2 0 7 5 6 0 0d x y d yxx 0.310268 2 3 2 无穷区间的截断 将被积函数的“尾巴”略去，可使无穷区间化为一个有限区间，此方法要求事先用某种简单的解析方法估算出尾部的量值选取 Ra ，使 0 f x dx , 2.3.3 其中 为允许误差，那么无穷区间上的积分 2.3.3 可以用 Ra f xdx来近似 例 计算 20
13、xe dx 解 当 xR 时有 2x Rx ， 所以有估计式 221x R x RRRe d x e d x eR 对于 4R ， 则 2 81 10ReR 因此对于允许误差为 710 来说，只 要计算 240 xe dx就可以了 2 3 3 无穷区间上的高斯求积公式 无穷区间上的积分高斯 -拉盖尔求积公式和高斯 -艾尔米特求积公式是最广泛实用的下面作些补充 将插值型求积公式 00,nbkkaknb ik a ikiikx f x d x A f xxxA x d xxx 2.3.4 中的 ,ab 换为半无穷区间 0, ， 权函数 xxe ，并取 节点 0,1, ,kx k n 为1n 次拉盖
14、尔多项式 1 11 1nx n xn ndL x e x edx 的零点，称这样的高斯求积公式为高斯 -拉盖尔求积公式，其表示形式为 0 0 ,nxkkke f x d x A f x 2.3.5 系数 kA 为 1221!nkkknAx L x 0,1, 2, ,kn ， 2.3.6 截断误差为 2 221!2 2 ! nnR f fn 0, 2.3.7 高斯 -艾尔米特求积公式是全无穷区间上的高斯型求积公式 20nxkkke f x d x A f x ， 2.3.8 其中节点 0,1, ,kx k n 为 , 上带权 xxe 正交的 1n 次艾尔米特多项式 22111 11 nn xxn
15、 ndH x e edx 的零点，系数 kA 为 2212 1 !nknknAHx， 2.3.9 截断误差为 2211!2 2 2 ! nnnR f fn ， , 2.3.10 2 3 4 极限过程 00limrf x d x f x d x， 提供了极限过程令 010 rr 是趋向于 的数列记 0 1 20100r r rrrf x d x f x d x f x d x f x d x ， 右端每个积分都是正常积分，当 1nnrr f x dx 时，计算终止 2 4 无穷限广义积分的新方法 最近提出了一种基于进化策略算法的广义积分计算新方法 ,10该方法根据被积函数的变量区间任意选取分割点
16、，作为进化策略的初始的群体，通过进化策略算法来优化这些分割点，最终可得到一些最优的分割点，然后再求和，再根据和函数定义适应度函数，在给定的终止条件下，可获的精度较高的积分值最后，以广义积分 (无穷积分 )为例，仿真结果表明，该算法相比传统的一些方法，具有计算精度高，自适应性强等特点 2 5 无穷限广义积分的数 值计算在 Matlab 环境中的编程实现 Matlab 是数学、自然科学和工程学的标准指导语言 MATLAB 是一个包含大量计算算法的集合 对于本文的目的而言，我们只需要使用一般的 Matlab 功能集 本文将使用 Matlab 通过实例实现无穷限广义积分的数值计算 2 6 拟解决的主要
17、问题 1无穷限广义积分的数值计算的收敛性的判别； 2 归纳总结数值求解无穷限广义积分的若干方法； 3将无穷限广义积分的数值计算在 Matlab 环境中编程实现 三、研究的方法与技术路线、研究难点，预期达到的目标 1研究方法及技 术路线 本论文主要以查找资料为主，以现有的知识水平，在前人的研究论述基础上，再进行整理采取了从阅读已有的数据资料，然后对这些内容进行总结，最后运用相关知识来研究无穷限广义积分的数值计算技术路线 2研究难点 （ 1) 无穷限广义积分的数值计算的资料较多，从大量阅读材料中整理需要的相关资料是一个难点 （ 2）无穷限广义积分的的敛散性是一个难点 （ 3）在前人的基础上，对论题
18、的创新和延伸是一个难点 3预期达到的目标 本次毕业论文通过无穷限广义积分的数值计算的研究，熟悉无穷限广义积分的数值计算的基本思想，能 了无穷限广义积分的数值计算的主要方法，掌握各种方法的原理，熟悉无穷限广义积分的数值计算的计算公式及其性质，会分析无穷限广义积分的数值计算的敛散性同时了解如何借用 Matlab 对无穷限广义积分的数值计算进行编程实现也掌握参考文献资料查找方法和论文写作的基本要求和方法，培养自己利用所学知识分析和解决问题的能力，从而达到对所学知识融会贯通的能力 不同的理论和方法的难易程度不同，我们应该注意观察总结，举一反三、巧妙地应用这些方法同时也应该积极探索更新更有效的理论和方法
19、去解决这些问题 四、论文详细工作进度和安排 第 7学期 11周（ 2010年 11月 15号）至第 7学期 12周（ 2010年 11月 28号） 查阅文献，收集信息、材料并进行加工整理，形成系统材料 第 7学期 13周（ 2010年 11月 29号）至第 7学期 15周（ 2010年 12月 19号） 研读文献，完成文献综述、开题报告和外文翻译的初稿 第 7学期 16周（ 2010年 12月 20号）至第 7学期 17周（ 2010年 12月 31号） 完成文献综述、开题报告和外文翻译，交指导老师 第 7学期 18周（ 2011年 1月 4号）至第 8学期 3周（ 2011年 3月 11号） 完成论文初稿， 并通过审核 第 8学期 4周（ 2011年 3月 14号）至第 8学期 10周（ 2011年 4月 29号） 1、进入实习单位进行毕业实习，对论文进行修改； 2、 5月 3日前必须返校，完成毕业实习返校，并递交毕业实习报告 第 8学期 11周（ 2011年 5月 3号）至第 8学期 12周（ 2011年 5月 12号） 进一步完善直至完成毕业论文，交指导教师 第 8学期 12周（ 2011年 5月 13号）至第 8学期 13周（ 2011年 5月 19号）
