1、 第十周专题：磁场 -2 第一天 例 1： 如题 9 图所示，在无限长的竖直边界 NS 和 MT 间充满匀强电场，同时该区域上、下部分分别充满方向垂直于 NSTM 平面向外和向内的匀强磁场，磁感应强度大小分别为 B 和 2B， KL 为上下磁场的水平分界线，在 NS 和 MT 边界上，距 KL 高 h 处分别有 P、 Q 两点， NS 和 MT 间距为1.8h。质量为 m、带电量为 +q 的粒子从 P 点垂直于 NS 边界射入该区域，在两边界之间做圆周运动，重力加速度为 g。 （ 1）求该电场强度的大小和方向。 （ 2）要使粒子不从 NS 边界飞出，求粒子 入射速度的最小值。 （ 3）若粒子能
2、 经过 Q 点从 MT 边界飞出，求粒子入射速度的所有可能值。 【答案】（ 1） E=mg/q，方向向上； （ 2） (9 6 2) Bqhm ； （ 3）可能的速度有三个： 0.68Bqhm ， 0.545Bqhm ， 0.52Bqhm 【解析】（ 1）设电场强度大小为 E 由题意有 mg = qE 得 E=mg/q 方向竖直向上 （ 2）如答题 9 图 l 所示，设粒子不从 NS 边飞出的入射速度最小值为vmin，对应的粒子在上、下区域的运动半径分别为 r1和 r 2，圆心的连线与 NS 的夹角为 由 mvrqB有 min1 mvr qB，2112rr由 1 2 2( ) sinr r r
3、 11cosr r h m i n ( 9 6 2 )qBhv m（ 3）如答题 9 图 2 所示，设粒子人射速度为 v，粒子在上、下方区域的运动半径分别为 r1和 r 2，粒子第一次通过 KL 时距离 K 点为 x，由题意有 3nx =1.8h ( n=1 , 2 , 3 ,) 3 (9 6 2 )22hx 得 2211()x r h r 得1 20 .3 6(1 ) 3 .52hrnn ，即 n=1 时 0.68Bqhv m n=2 时 0.545Bqhv m n=3 时 0.52Bqhv m 练习： 如图，在 x 轴上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为 B，方向垂直于纸面向外；在 x轴下方
4、存在匀强电场，电场方向与 xoy 平面平行，且与 x 轴成 450夹角。一质量为 m、电荷量为 q（ q 0）的粒子以速度 v0从 y 轴上 P 点沿 y 轴正方向射出，一段时间后进入电场，进入电场时的速度方向与电场方向相反；又经过一段时间 T0，磁场方向变为垂直纸面向里，大小不变，不计重力。 （ 1）求粒子从 P 点出发至第一次到达 x 轴时所需的时间； （ 2）若要使粒子能够回到 P 点，求电场强度的最大值。 【答案】 qBmt 451 ， 002qTmvE 【解析】（ 1）带电粒子在磁场中做圆周运动，设运动半径为 R，运动周期为 T，根据洛伦兹力公式及圆周运动规律，有 RvmBqv 20
5、0 02vRT 依题意，粒子第一次到达 x 轴时，运动转过的角度为 45 ，所需时间 t1为 Tt 851 求得 qBmt 451 （ 2）粒子进入电场后，先做匀减速运动，直到速度减小为 0，然后沿原路返回做匀加速运动，到达 x 轴时速度大小仍为 v0，设粒子在电场中运动的总时间为 t2，加速度大小为 a，电场强度大小为 E，有 maqE 20 21atv 得qEmvt 02 2根据题意，要使粒子能够回到 P 点，必须满足 02 Tt 得电场强度最大值 002qTmvE第二天 例 2： 如图甲所示，间距为 d，垂直于纸面的两平行板 P、 Q 间存在匀强磁场。取垂直与纸面向里为磁场的正方向，磁感
6、应强度的变化规律如图乙所示。 t=0 时刻，一质量为 m，带电荷量为 +q 的粒子（不计重力），以初速度 0v 由 Q 板左端靠近板面的位置，沿垂直于磁场且平行于板面的方向射入磁场区。当 0B 和 BT 取某些特定值时，可使 t=0 时刻射入的粒子经 t时间恰能垂直打到 P 板上（不考虑粒子反弹）。上述 m， q， d， 0v 为已知量。 （ 1） 若 12BtT，求 0B （ 2） 若 32BtT，求粒子在磁场中运动的加速度大小。 （ 3） 若 00 4mvB qd，为使粒子仍能垂直打到 P 板上，求 BT B0B0B-02TB BT 23TB B2T t图乙d0vQP图甲【答案】（ 1）
7、00=mvB qd（ 2） 203va d （ 3）0d=3BT v ；01d= a r c sin2 4 2 vBT （ ） 【解析】解：（ 1）设粒子做圆周运动的半径为 R，由牛顿第二定律得 200 mvqv B R 据题意由几何关系得 R1=d 联立 式得 00=mvB qd （ 2）设粒子 做圆周运动的半径为 R2，加速度大小为 a，由圆周运动公式得 202va R 据题意由几何关系得 23Rd 联立 式得 203va d （ 3）设粒子做圆周运动的半径为 R，周期为 T，由圆周运动公式得 02 RT v 由牛顿第二定律得 2000 mvqv B R 由题意知 00 4= mvB qd
8、，代入 式得 d=4R 粒子运动轨迹如图所示， O1、 O2为圆心，连线与水平方向的夹角为 ，在每个 TB 内，只有 A、 B 两个位置才有可能垂直击中 P 板，且均要求 0 2 ，由题意可知 2 =22BTT 设经历完整 TB 的个数为 n（ n=0,1,2,3） 若在 A 点击中 P 板，据题意由几何关系得 2 ( s in )R R R n d 11 当 n=0 时，无解 12 当 n=1 时，联立 11式得 1= ( sin = )62或 13 联立 13式得 0d=3BT v 14 当 2n 时，不满足 00 90 的要求 15 若在 B 点击中 P 板， 据题意由几何关系得 2 s
9、 i n 2 ( s i n )R R R R n d 16 当 n=1 时，无解 17 当 n=1 时，联立 16式得 11a rc s in ( s in = )44 或 18 联立 18式得 01d= a r c sin2 4 2 vBT （ ） 19 当 2n 时，不满足 00 90 的要求 20 第三天 例 3： 某装置用磁场控制带电粒子的运动，工作原理如图 所示。装置的长为 L，上下两个相同的矩形区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小均为 B、方向与纸面垂直且相反，两磁场的间距为 d。装置右端有一收集板， M、 N、 P为板上的三点， M位于轴线 OO 上， N、 P分别位于下方磁场的
10、上、下边界上。在纸面内，质量为 m、电荷量为 -q的粒子以某一速度从装置左端的中点射入，方向与轴线成 300角，经过上方的磁场区域一次，恰好到达 P点。改变粒子入射速度的大小，可以控制粒子到达收集板上的位置。不计粒子的重力。 (1) 求 磁场区域的宽度 h； (2)欲使粒子到达收集板的位置从 P 点移到 N 点，求粒子入射速度的最小变化量 v； (3)欲使粒子到达 M 点，求粒子入射速度大小的可能值。 【答案】（ 1） 23( 3 )(1 )32Ld- （ 2） 3()64qB L dm - （ 3） 3( 3 ) ( 1 1 )13q B L Ld n nm n d-?+ ， 取 整 数【解
11、析】（ 1）设粒子的轨道半径为 r 根据题意 003 s in 3 0 3 c o s 3 0L r d=+ 且 01 cos 30 )hr= （ 解得 23( 3 ) (1 )32h L d= - - （ 2）改变入射速度后粒子在磁场中的轨道半径为 r 2mv qvBr = ，2 mv qv Br = 由题意可知 003 sin 3 0 4 sin 3 0rr= 解得 3 ( )64qB Lv v v dm = - = - 设粒子经过上方磁场 n 次 由题意可知 00( 2 2 ) c o s 3 0 ( 2 2 ) s i n 3 0nL n d n r= + + + 且 2nnnmv q
12、v Br =解得 3( 3 ) ( 1 1 )13n q B L Lv d n nm n d= - ?+ ， 取 整 数练习： 离子推进器是太空飞行器常用的动力系统，某种推进器设计的简化原理如图 1 所示，截面半径为 R 的圆柱腔分为两个工作区。 I 为电离区，将氙气电离获得 1 价正离子 II 为加速区，长度为 L，两端加有电压，形成轴向的匀强电场。 I 区产生的正离子以接近 0 的初速度进入 II 区，被加速后以速度 vM 从右侧喷出。 I 区内有轴向的匀强磁场，磁感应强度大小为 B，在离轴线 R/2 处的 C 点持续射出一定速度范围的电子。假设射出的电子仅在垂直于轴线 的截面上运动，截面
13、如图 2 所示（从左向右看）。电子的初速度方向与中心 O 点和 C 点的连线成 角（ 090）。推进器工作时，向I 区注入稀薄的氙气。电子使氙气电离的最小速度为 v0，电子在 I 区内不与器壁相碰且能到达的区域越大，电离效果越好。已知离子质量为 M；电子质量为 m，电量为 e。（电子碰到器壁即被吸收，不考虑电子间的碰撞）。 （ 1） 求 II 区的加速电压及离子的加速度大小； （ 2） 为取得好的电离效果，请判断 I 区中的磁场方向（按图 2 说明是 “垂直纸面向里 ”或 “垂直纸面向外 ”）； （ 3） 为 90时，要取得好的电离效果，求射出的电子速率 v 的范围； （ 4） 要取得好的电离
14、效果，求射出的电子最大速率 vmax与 的关系。 【解析】（ 1）由动能定理： Ue=21Mv2M 解得 U= eMVM22 由运动学公式 v2=2aL 解得 a= L21 v2M （ 2）由右手定则磁场方向应垂直于纸面向外 O C v 第 25 题 图 2 第 25 题 图 1 左 右 R I II B L + - （ 3）当 =900时，电子最大的圆直径为 23 R，即半径 r=43 R 据 rvmqvB 2 得 v= mRBe43 所以0 34eBvvm（ 4）做出临界轨迹圆与壁相切于 B,圆心为 A 连接 B、 A、 O，由几何知识知三者必 然共线， ,mAB AC r ,mAO R
15、r 2ROC 由余弦定理 34(2 sin )m Rr ， 据 rvmqvB 2 故 34 (2 sin )M eRBv m 第四天 例 4： 在如图所示的竖直平面内，水平轨道 CD 和倾斜轨道 GH 与半径mr 449 的光滑圆弧轨道分别相切于 D 点和 G 点， GH 与水平面的夹角37 ，过 G 点、垂直于纸面的竖直平面左侧有匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度 TB 25.1 ；过 D 点、垂直于纸面的竖直平面右侧有匀强电场，电场方向水平向右，电场强度 CNE /101 4 。小物体 1P 质量 kgm 3102 、电荷量Cq 6108 ，收到水平向右的推力 NF 31098.
16、9 的作用，沿 CD 向右做匀速直线运动，到达 D 点后撤去推力。当 1P 到达倾斜轨道低端 G 点时，不带电的小物体 2P 在 GH 顶端静止释放，经过时间 st 1.0 与 1P 相遇。 1P 和 2P 与轨道 CD、 GH间的动摩擦因数均为 5.0 ，取 2/10 smg ， 6.037sin 8.037cos ，物体电荷量保持不变，不计空气阻力。求： （ 1） 小物体 1P 在水平轨道 CD 上运动的速度 v 的大小； （ 2） 倾斜轨道 GH 的长度 s。 【 解析】 (1)由对 P1 受力分析可得：竖着方向受力平衡： N+qvB=mg 水平方向受力平衡： F=N 联立 可得： v=
17、4m/s （ 2） P1 从 D 到 G 由于洛伦兹力不做功，电场力做正功，重力做负功由动能定理可知： qErsin-mgr(1-cos)=21mvG- m2Dv P1 过 G 点后做匀变速直线运动的加速度设为 a 1,则 ; qEcos-mgsin-(mgcos+qEsin） =ma 1 P2 质量设为 m 2在 GH 上做匀加速直线运动的加速度 a 2，则： m 2gsin-m 2gcos=m 2a P1 和 P2 在 GH 上的时间相同位移之和为 S，所以： S=vGt+2a 1t + a 2t2 联立各式，可得： S=0.56m 第五天 例 5： 如图所示，水平放置的不带电的平行金属板
18、 p和 b 相距 h，与图示电路相连，金属板厚度不计，忽略边 缘效应。 错误 !未找到引用源。 板上表面光滑，涂有绝缘层，其上 错误 !未找到引用源。 点右侧相距错误 !未找到引用源。 处有小孔 错误 !未找到引用源。 ； 错误 !未找到引用源。 板上有小孔 错误 !未找到引用源。 ，且 错误 !未找到引用源。 在同一条竖直线上，图示平面为竖直平面。质量为错误 !未找到引用源。 、电荷量为 错误 !未找到引用源。 ）的静止粒子被发射装置（途中未画出）从 错误 !未找到引用源。 点发射，沿 错误 !未找到引用源。 板上表面运动时间 错误 !未找到引O h h K T p b l A S R 1
19、2 用源。 后到达 错误 !未找到引用源。 孔，不与板碰撞地进入两板之间。粒子视为质点，在图示平面内运动，电荷量保持不变，不计空气阻力，重力加速度大小为 错误 !未找到引用源。 。 （ 1）求发射装置对粒子做的功 （ 2）电路中的直流电源内阻为 r，开关 S 接 “1”位置时，进入板间的粒子落在 b 板上的 A 点，A 点与过 K 孔竖直线的距离为 l。此后将开关 S 接 “2”位置，求阻值为 R 的电阻中的电流强度。 （ 3）若选用恰当的直流电源，电路中开关 S 接 “1”位置，使进入板间的粒子受力平衡，此时在板间某区域加上方向垂直于图面的、磁感应强度大小合适的匀强磁场（ 磁感应强度 B 只
20、能在 0错误 !未找到引用源。 范围内选取），使粒子恰好从 b 板的 T 孔飞出，求粒子飞出时速度方向与 b 板板面的夹角的所有可能值（可用三角函数表示） 【解析】：（ 1）设例子在 P 板上做匀速直线运动的速度为0v，则： h=0vt W=21m0 联立各式： W=22tmh（ 2） 当 s 接 1 位置，电源电动势UE0 离子进入板间在电场力和重力的作用下做类平抛运动，设加速度为 a，运动的时间为0t，则 U=Eh Mg-qE=ma H=21a2t L=0vt 接到 “2”时电阻 R 上通过的电流 I=r0R 联立各式 ， 可得 I=)2(r( 22 3tl hgRq mh ）（ 3） 设粒子做匀速圆周运动的半径为 R，则
