1、 开始 输入 a ,b ba 结束 输 出 a a ba Y N （第 7 题） 09 届高 考数学 第三次模拟考试 数学 2009.5 注意事项： 1.本试卷共 160 分 .考试用时 120 分钟 . 2.答题前，考生务必将姓名、考试号写在答题纸上 .考试结束后，交回答题纸 . 一、填空题： 本 大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分 .请把答案填写在 答题 纸 相应位置上 . 1. 已知集合 xxA x ,821| R ， xxxB ,2| R ，则 BA 2. 已知 4z i z i， i 为虚数单位，则复数 z 3. 一位篮球运动员在最近的 8 场比赛中得分的茎叶图如图，
2、则他在这 8 场比赛中得分的平均值是 4. 已知向量 a (1,n )， b ( 1,n )，若 向量 2a-b 与 向量 b 垂直，则 |a| 5. 函数 23 2 lny x a x a 在 (0,1)内有极小值，则实数 a 的取值范围是 6. 将一根木棒随意分成两段，较长一段的长度不超过 较短 一段 的长度的 2 倍的概率是 7. 执行如图算法框图，若输入 18a ， 5b ，则输 出的值为 0 5 1 1 2 4 4 6 7 2 3 （第 3 题） 8. 已知 1F ， 2F 是椭圆 11 22 kykx 的 左 、 右 焦点， 经过 1F 的直线与椭圆交于 A ， B 两点， 若 2
3、ABF 的周长为 12， 则椭圆的离心率为 9. 曲线 xey x cos 在 0x 处 的 切线方程为 10. 已知正四面体的表面积为 34 ，则该四面体的体积为 11. 若函数 2( ) 2f x a x x a 是偶函数，则实数 a 的值 为 12. 用 )(nf 表示自然数 n 的各位数字的和，例如 202)20( f ， 02)2009( f 1190 ，若对任意 Nn ，都有 xnfn )( ，满足这个条件的最大的两位 数 x 的值是 13. 函数 xxxxy 22 s inc o sc o ss in32 的图象在 ,0 m 上 恰好 有两个点的纵坐 标为 1，则 实数 m 的取
4、值范围是 14. 设 nS 为数列 na 的前 n 项之和，若不等式222 nSa nn 21a 对任意等差数列 na 及任 意 正整数 n 恒成立，则 实数 的最大值为 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分 .请在 答题 纸 指定区域 内 作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 15. (本 小 题 满分 14 分 ) 已知在 ABC 中， a ， b ， c 分 别为 角 A ， B ， C 所对的边， tan ( 4C ) 23 . (1) 求 角 C 的大小； (2) 若 43sinsin BA ，试判断 ABC 的形状，并说 明理由 16. (本 小 题 满分
5、14 分 ) 如图， 在正三棱柱 111 CBAABC 中，点 D 在 棱 BC 上， DCAD 1 ， 点 E ， F 分 别是 1BB ， 11BA 的中点 (1) 求证： D 为 BC 的中点 ； (2) 求证： /EF 平面 1ADC （第 16 题） 17. (本 小 题 满分 14 分 ) 某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注 意力指数 p 与听课时间 t 之间的关系满足如图所示的曲线 当 14,0(t 时，曲线是 二次函数图象的一部分，当 40,14t 时，曲线是函数 835lo g xy a ( 0a 且 1a )图象的一部分 根据专家研究
6、，当注意力指数 p 大于 80 时听课效果最佳 (1) 试求 ()p f t 的函数关系式； (2) 老师 在什么时段内安排 核心内容 能使得 学生听课效果最佳 ？ 请说明理由 （ 第 17 题 ） A A1 B C B1 C1 D E F 8100 pO00 1200 1400 4000 8200 t18. (本 小 题 满分 16 分 ) 已知直线 l : 2yx 与 圆 O (O 为坐标原点 )相切 ， 椭圆 221 :1xyC ab( 0)ab的 离心率为 33 ， 短半轴长等于圆 O 的半径 (1) 求椭圆 1C 的方程； (2) 抛物线 2C 的 顶点 为原点 ， 焦点为 椭圆 1
7、C 的 右焦点， 点 R ， S 是 抛物线 2C 上不同 的两点，且满足 0OR RS， 求 点 S 的 纵坐标的 取值范围 19. (本 小 题 满分 16 分 ) 已知数列 na 的通项公式为 annan ( ,na N*) (1) 若 1a ， 3a ， 15a 成等比数列，求 a 的值； (2) 是否存在 k (k 3 且 k N)， 使得 1a ， 2a ， ka 成等差数列，若存在，求出 常数 a 的值；若不存在， 请 说明理由 ； (3) 求证：数列中的任意一项 na 总可以表示成数列中的其他两项之积 20. (本 小 题 满分 16 分 ) 已知正方形 ABCD 的中心在原点
8、，四个顶点都在曲线 3y ax bx上 (1) 若正方形的一个顶点为 (2,1) ，求 a 、 b 的值； (2) 若 1a ，求证： 22b 是正方形 ABCD 唯一 确定 的充要条件 （本试卷未经授权，不得复制、发表） 南京师大附中 2009 届高三第三次模 拟考试 数学附加题 2009.5 注意事项： 1.附加题供选修物理的考生使用 . 2.本试 题共 40 分，考试时间 30 分钟 . 3.答题前，考生务必将姓名、考试号写在答题纸上 .考试结束后，交回答题纸 . 21.【选做题】 在 A、 B、 C、 D 四小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共计 20 分 .请在 答 题纸指定
9、区域 内 作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . A.选修 4-1：几何证明选讲 如图，圆 O 是 ABC 的外接圆，过点 C 的切线交 AB 的延长线于点 D ， 2 10CD ， 3AB BC，求 BD 以及 AC 的长 B.选修 4-2：矩阵与变换 已知变换 T 把平面上的点 )1,2( ， )1,0( 分别变换成点 )1,0( ， )1,2( ，试求变换 T对应的矩阵 M . C.选修 4-4：坐标系与参数方程 圆 C ： 2cos ( 4 )，与极轴交于点 A (异于极点 O )，求直线 CA 的极坐标方程 . D.选修 4-5：不等式选讲 证明： nn 121312112
10、22 (n 2， *nN ). O A B C D 【 必 做题】 第 22 题、第 23 题， 每小题 10 分，共计 20 分 .请在 答题纸指定区域 内 作答，解答应 写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 22. 某商场为促销设计了一个抽奖模型，一定数额的消费可以获得一张抽奖券，每张抽奖券可以从一个装有大小相同的 4 个白球和 2 个红球的口袋中一次性摸出 3 个球，至少摸到一个红球则中奖 . (1) 求一次抽奖中奖的概率； (2) 若每次中奖可获得 10 元的奖金，一位顾客获得两张抽奖券，求两次抽奖所得的奖金额之和 X (元 )的概率分布和期望 ()EX . 23. 函数 2)1( x
11、y 的图象为曲线 C ，在 C 上有一点 A 的横坐标为 )0( tt ，点 P 的坐标为 )2,0( ，直线 AP 与曲线 C 交于另一点 B . (1) 试用 t 表示点 B 的横坐标； (2) 求直线 AB 与曲线 C 围成的封闭图形的面积的最小值 . （本试卷未经授权，不得复制、发表） 南京师大附中 2009 届高三第三次模拟考试 数学参考 答案 及评分细则 2009.05 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分 . 1 20| xx 2 2+2i 3 14 4 2 5 (0,3) 6 31 7 3 8 31 9 01yx 10 322 11 2 12 97 1
12、3 67,2 14 51 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分 .解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 15 (本题满分 14 分 ) 解： (1) 32)4tan( C ， 321tan 1tan CC ， 3tan C 4 分 C0 ， 3C 6 分 (2) 43sinsin BA ，又 23sin C CBA 2s ins ins in ，由正弦定理得 2cab 10 分 由余弦定理得 abbaCabbac 22222 c o s2 02 ba ， ba ， 12 分 又 3C ， ABC 是正三角形 14 分 16 (本题满分 14 分 ) 解： (1) 正三棱柱 1
13、11 CBAABC ， CC1 平面 ABC ， 又 AD 平面 ABC ， ADCC 1 ，又 DCAD 1 ， 111 CCCDC AD 平面 11BBCC ， 3 分 又 正三棱柱 111 CBAABC ， 平面 ABC 平面 11BBCC ， AD BC ， D 为 BC 的中点 6 分 (2) 连接 BA1 ， 连接 CA1 交 1AC 于点 G ，连接 DG 矩形 11ACCA ， G 为 CA1 的中点， 又由 (1)得 D 为 BC 的中点， BCA1 中， BADG 1/ 9 分 又 点 E ， F 分别是 1BB ， 11BA 的中点， BBA11 中， BAEF 1/ ，
14、 DGEF/ ， 12 分 又 EF 平面 1ADC ， DG 平面 1ADC ， /EF 平面 1ADC 14 分 17 (本题满分 14 分 ) 解： （ 1） 14,0(t 时，设 2( ) ( 1 2 ) 8 2p f t c t ( 0c )，将 )81,14( 代入得 41c 14,0(t 时， 21( ) ( 1 2 ) 8 24p f t t 2 分 40,14t 时 ，将 )81,14( 代入 835lo g xy a ，得 31a 4 分 2131 ( 2 ) 8 2 ( 0 1 4 )4()l o g ( 5 ) 8 3 ( 1 4 4 0 )ttp f t 6 分 （
15、2） 14,0(t 时， 21 ( 1 2 ) 8 2 8 04 t 解得 22122212 t ， 14,2212 t 9 分 40,14t 时， 8083)5(lo g31 t解得 325 t ， 32,14t ， 12 分 32,2212 t ， 即 老师在 32,2212 t 时段内安排核心内容 能使得学生听课效果最佳 14 分 18 (本题满分 16 分 ) 解： （ 1） 33 ace ， 22 3ca ， 22 2cb ， 22 32 ba 3 分 直线 22202: byxyxl 与圆相切， A A1 B C B1 C1 D E F G 2,2,22 2 bbb 32a 椭圆
16、1C 的方程是 123 22 yx 6 分 （ 2） 设抛物线 2C 的方程为 2 2y px ( 0)p ， 椭圆 1C 的 右焦点为 (1,0)F ， 12p ， 2p ， 抛物线 2C 的方程为 2 4yx 8 分 设 ),4(),4(222121 yySyyR 2 2 21 2 11 2 1, , ,44y y yO R y RS y y ， 0OR RS 0)(16 )(121212221 yyyyyy 10 分 0, 121 yyy ，化简得 )16(112 yyy 12 分 6432256232256212122 yyy当且仅当 4,16,2 5 61212121 yyyy时等号
17、成立 14 分 当 2y 8 或 2y -8 16 分 19 (本题满分 16 分 ) 解： (1) aa 111， aa 333， aa 151515， 1a ， 3a ， 15a 成等比数列 ， 23151 )(aaa ， 0a 或 9a a N*， 9a 4 分 (2) 假设存在这样的 k ， a 满足条件， aa 111， aa 222， ak kak ， 1a ， 2a ， ka 成等差数列 ， 21 2aaa k ，化简得 2)3( ak k ， a N*， 1a 时， 5k ；或 2a 时， 4k 8 分 (3)即证存在 k ， t n ，使得 tkn aaa 即证： at ta
18、k kan n 即证： )1)(1(1 takana 即证： ktatkn 111 即证： kt aknknk 即证： t akn nk 12 分 令 1nk ，则 )1()( annaknt 对任意 n ， )1(1 annnn aaa 即 数列中的任意一项 na 总可以表示成数列中的其他两项之积 16 分 20 (本题满分 16 分 ) 解： (1) 一个顶点为 (2,1) ， 必有另三个顶点 ( 2, 1) ， (1, 2) ， ( 1,2) ， 将 (2,1) ， (1, 2) 代入 3y ax bx，得 65a ， 617b 4 分 (2) 设正方形在第一象限的顶点坐标为 ),( n
19、m ，则必然有另一个顶点 ),( mn 6 分 1 充分性： 若 22b ， xxy 223 则nnmmmn222233 ，则有222222nnmmmn， 即 01)22)(22( 22 nm 8 分 令 0222 tm ，则 mtn ，代入得 01)22( 22 tmt 即 0122)22( 2 ttt 化简得 0)21( 2 tt ， 10 分 又 021 tt 有且仅有一个正根， ),( nm 唯一确定， 即正方形 ABCD 唯一确定 12 分 2 必要性： 若 ),( nm 唯一确定，则bnnmbmmn33 ，即bnnmbmmn22即 01)( 22 bnbm 令 02 tbm ，则 mtn ，代入得 01)( 22 btmt
