高考数学冲刺复习资料.doc

1、 09年高考数学冲刺复习资料（共分五大专题） 专题一：三角与向量的交汇题型分析及解题策略 【命题趋向】 三角函数与平面的向量的综合主要体现为交汇型，在高考中，主要出现在解答题的第一个试题位置上，其难度中等偏下，分值一般为 12 分，交汇性主要体现在：三角函数恒等变换公式、性质与图象与平面的向量的数量积及平面向量的平行、垂直、夹角及模之间都有着不同程度的交汇，在高考中是一个热点 .如 08 年安徽理科第 5 题 (5 分 )，考查三角函数的对称性与向量平移、 08年山东文第 8 题理第 15 题 (5 分 )考查两角和与差与向量垂直、 08 福建文 理第 17 题 (12 分 )考查三角函数的求

2、值与向量积、 07 的天津文理第 15 题 (4 分 )考查正余弦定理与向量数量积等 .根据 2009年考纲预计在 09 年高考中解答题仍会涉及三角函数的基本恒等变换公式、诱导公式的运用、三角函数的图像和性质、向量的数量积、共线 (平行 )与垂直的充要条件条件主要考查题型： (1)考查纯三角函数函数知识，即一般先通过三角恒等变换公式化简三角函数式，再求三角函数的值或研究三角函数的图象及性质； (2)考查三角函数与向量的交汇，一般是先利用向量知识建立三角函数关系式，再利用三角函数知识求解； (3)考查三 角函数知识与解三角形的交汇，也就是将三角变换公式与正余弦定理交织在一起 . 【考试要求】 1

3、理解任意角的正弦、余弦、正切的定义了解余切、正割、余割的定义掌握同角三角函数的基本关系式掌握正弦、余弦的诱导公式了解周期函数与最小正周期的意义 2掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式 3能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明 4理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用 “五点法 ”画正弦函数、余弦函数和函数 y=Asin(x+)的 简图，理解 A， ， 的物理意义 5掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形 6掌握向量的加法和减法掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件 7了解平面向量的基本定理 .理解平面向量

4、的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算 8掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件 9掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用掌握平移公式 【考点透视】 向量具有代数运算性与几何直观性的 “双重 身份 ”，即可以象数一样满足 “运算性质 ”进行代数形式的运算，又可以利用它的几何意义进行几何形式的变换 .而三角函数是以 “角 ”为自变量的函数，函数值体现为实数，因此平面向量与三角函数在 “角 ”之间存在着密切的联系 .同时在平面向量与三角函数的交汇处设计考题，其形式多样，解法灵活，极富思维性和挑战

5、性 .主要考点如下： 1 考查三角式化简、求值、证明及求角问题 . 2 考查三角函数的性质与图像，特别是 y=Asin(x+)的性质和图像及其图像变换 . 3 考查平面向量的基本概念，向量的加减运算及几何意义，此类题一般难度不大， 主要用以解决有关长度、夹角、垂直、平行问题等 . 4 考查向量的坐标表示，向量的线性运算，并能正确地进行运算 . 5 考查平面向量的数量积及运算律 (包括坐标形式及非坐标形式 )，两向量平行与垂直的充要条件等问题 . 6 考查利用正弦定理、余弦定理解三角形问题 . 【典例分析】 题型一 三角函数平移与向量平移的综合 三角函数与平面向量中都涉及到平移问题，虽然平移在两

6、个知识系统中讲法不尽相同，但它们实质是一样的，它们都统一于同一坐标系的变化前后的两个图象中 .解答平移问题主要注意两个方面的确定： (1)平移的方向； (2)平移 的单位 .这两个方面就是体现为在平移过程中对应的向量坐标 . 【例 1】 把函数 y sin2x 的图象按向量 a ( 6， 3)平移后，得到函数 y Asin(x )(A 0， 0， | 2)的图象，则 和 B 的值依次为 （ ） A 12， 3 B 3， 3 C 3， 3 D 12， 3 【分析】 根据向量的坐标确定平行公式为 x x 6y y 3，再代入已知解析式可得 .还可以由向量的坐标得图象的两个平移过程，由此确定平移后的

7、函数解析式，经对照即可作出选择 . 【解析 1】 由平移向量知向量平移公式 x x 6y y 3，即 x x 6y y 3，代入 y sin2x 得 y 3sin2(x 6)，即到 y sin(2x 3) 3，由此知 3， B 3， 故选 C. 【解析 2】 由向量 a ( 6， 3)，知图象平移的两个过程，即 将原函数的图象整体向左平移 6个单位，再向下平移 3 个单位，由此可得函数的图象为 y sin2(x 6) 3，即 y sin(2x 3) 3，由此知 3， B 3， 故选 C. 【点评】 此类题型将三角函数平移与向量平移有机地结合在一起，主要考查分析问题、解决问题的综合应用能力，同时

8、考查方程的思想及转化的思想 .本题解答的关键，也是易出错的地方是确定平移的方向及平移的大小 . 题型二 三角函数与平面向量平行 (共线 )的综合 此题型的解答一般是从向量平行 (共线 )条件入手，将向量问题转化为三角问题，然后再利用三角函数的相关知识再对三角式进行化简，或结合三角函数的图象与民性质进行求解 .此类试题综合性相对较强，有利于考查学生的基础掌握情况，因此 在高考中常有考查 . 【例 2】 已知 A、 B、 C 为三个锐角，且 A B C .若 向量 p (2 2sinA， cosA sinA)与向量 q (cosA sinA， 1 sinA)是共线向量 . （ ）求角 A； （ ）

9、求函数 y 2sin2B cosC 3B2 的最大值 . 【分析】 首先利用向量共线的充要条件建立三角函数等式，由于可求得 A 角的正弦值，再根据角的范围即可解决第 ( )小题；而第 ( )小题根据第 ( )小题的结果及 A、 B、 C 三个角的关系，结合三角民 恒等变换公式将函数转化为关于角 B 的表达式，再根据 B 的范围求最值 . 【解】 （ ） p 、 q 共线， (2 2sinA)(1 sinA) (cosA sinA)(cosA sinA)，则 sin2A34， 又 A 为锐角，所以 sinA 32 ，则 A 3. （ ） y 2sin2B cosC 3B2 2sin2B cos(

10、 3 B) 3B2 2sin2B cos(3 2B) 1 cos2B 12cos2B 32 sin2B 32 sin2B 12cos2B 1 sin(2B 6) 1. B (0， 2)， 2B 6 ( 6， 56 )， 2B 6 2，解得 B 3， ymax 2. 【点评】 本题主要考查向量共线 (平行 )的充要条件、三角恒等变换公式及三角函数的有界性 .本题解答有两个关键：（ 1）利用向量共线的充要条件将向量问题转化为三角函数问题；（ 2）根据条件确定 B 角的范围 .一般地，由于在三角函数中角是自变量，因此解决三角函数问题确定角的范围就显得至关重要了 . 题型三 三角函数与平面向量垂直的综

11、合 此题型在高考中是一个热点问题，解答时与题型二的解法差不多，也是首先利用向量垂直的充要条件将向量问题 转化为三角问题，再利用三角函数的相关知识进行求解 .此类题型解答主要体现函数与方程的思想、转化的思想等 . 【例 3】 已知向量 a (3sin,cos)， b (2sin， 5sin 4cos)， (32 ， 2)，且 a b （ ）求 tan的值； （ ）求 cos(2 3)的值 【分析】 第 ( )小题从向量垂直条件入手，建立关于 的三角方 程，再利用同角三角函数的基本关系可求得 tan的值；第 ( )小题根据所求得的 tan 的结果，利用二倍角公式求得 tan2的值，再利用两角和与差

12、的三角公式求得最后的结果 【解】 （ ） a b ， a b 0而 a （ 3sin， cos）， b (2sin, 5sin 4cos)， 故 a b 6sin2 5sincos 4cos2 0 由于 cos0， 6tan2 5tan 4 0解之，得 tan 43，或 tan 12 （ 32 ， 2）， tan 0，故 tan 12（舍去） tan 43 （ ） （ 32 ， 2）， 2 （ 34 ， ） 由 tan 43，求得 tan2 12， tan2 2（舍去） sin2 55 ， cos2 2 55 ， cos(2 3) cos2cos3 sin2sin3 2 55 12 55 32

13、 2 5 1510 【点评】 本题主要考查向量垂直的充要条件、同角三角函数的基本关系、二倍角公式及两角和与差的三角函数 .同时本题两个小题的解答都涉及到角的范围的确定，再一次说明了在解答三角函数问题中确定角的范围的重要性 .同时还可以看到第（ ）小题的解答中用到 “弦化切 ”的思想方法，这是解决在一道试题 中同时出现 “切函数与弦函数 ”关系问题常用方法 . 题型四 三角函数与平面向量的模的综合 此类题型主要是利用向量模的性质 | a |2 a 2，如果涉及到向量的坐标解答时可利用两种方法：（ 1）先进行向量运算，再代入向量的坐标进行求解；（ 2）先将向量的坐标代入向量的坐标，再利用向量的坐标

14、运算进行求解 . 【例 3】 已知向量 a (cos,sin)， b (cos,sin)， | a b | 25 5.( )求 cos( )的值；( )若 2 0 2，且 sin 513，求 sin 的值 . 【分析】 利用向量的模的计算与数量积的坐标运算可解决第 ( )小题；而第 ( )小题则可变角 ( ) ，然后就须求 sin( )与 cos 即可 . 【解】 ( ) | a b | 25 5， a 2 2 a b b 2 45， 将向量 a (cos,sin)， b (cos,sin)代入上式得 12 2(coscos sinsin) 12 45， cos( ) 35. ( ) 2 0

15、2， 0 ， 由 cos( ) 35， 得 sin( ) 45， 又 sin 513， cos 1213， sin sin ( ) sin( )cos cos( )sin 3365. 点评： 本题主要考查向量的模、数量积的坐标运算、和角公式、同角三角函数的基本关系 .本题解答中要注意两点： (1)化 | a b |为向量运算 | a b |2 ( a b )2； (2)注意解 的范围 .整个解答过程体现方程的思想及转化的思想 . 题型五 三角函数与平面向量数量积的综合 此类题型主要表现为两种综合方式： (1)三角函数与向量的积直接联系； (2)利用三角函数与向量的夹角交汇，达到与数量积的综合

16、.解答时也主要是利用向量首先进行转化，再利用三角函数知识求解 . 【例 5】 设函数 f(x) a b .其中向量 a (m， cosx)， b (1 sinx， 1)， x R，且 f(2) 2.20090318 （ ）求实数 m 的值；（ ）求函数 f(x)的最小值 . 分析： 利用向量内积公式的坐标形式，将题设条件中所涉及的向量内积转化为三角函数中的“数量关系 ”，从而，建立函数 f(x)关系式，第（ ）小题直接利用条件 f(2) 2 可以求得，而第 ( )小题利用三角函数函数的有界性就可以求解 . 解： （ ） f(x) a b m(1 sinx) cosx， 由 f(2) 2，得 m

17、(1 sin2) cos2 2，解得 m 1. ( )由（ ）得 f(x) sinx cosx 1 2sin(x 4) 1， 当 sin(x 4) 1 时， f(x)的最小值为 1 2. 点评： 平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇 .不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，其解法都差不多， 首先都是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的 “数量关系 ”，再利用三角函数的相关知识进行求解 六、解斜三角形与向量的综合 在三角形的正弦定理与余弦定理在教材中是利用向量知识来推导的，说明正弦定理、余弦定理与向量有着密切的联系 .解斜三角形与向量的综

18、合主要体现为以三角形的角对应的三角函数值为向量的坐标，要求根据向量的关系解答相关的问题 . 【例 6】 已知角 A、 B、 C 为 ABC 的三个内角，其对边分别为 a、 b、 c，若 m ( cosA2，sinA2)， n (cosA2， sinA2)， a 2 3，且 m n 12 （ ）若 ABC 的面积 S 3，求 b c 的值 （ ）求 b c 的取值范围 【分析】 第 ( )小题利用数量积公式建立关于角 A 的三角函数方程，再利用二倍角公式求得 A 角，然后通过三角形的面积公式及余弦定理建立关于 b、 c 的方程组求取 b c 的值；第 ( )小题正弦定理及三角形内角和定 理建立关

19、于 B 的三角函数式，进而求得 b c 的范围 . 【解】 （ ） m ( cosA2， sinA2)， n (cosA2， sinA2)，且 m n 12， cos2A2 sin2A2 12，即 cosA 12， 又 A (0， )， A 23 . 又由 S ABC 12bcsinA 3，所以 bc 4， 由余弦定理得： a2 b2 c2 2bccos23 b2 c2 bc， 16 (b c)2，故 b c 4. （ ）由正弦定理得： bsinB csinC asinA 2 3sin23 4，又 B C A 3， b c 4sinB 4sinC 4sinB 4sin(3 B) 4sin(B

20、3)， 0 B 3，则 3 B 3 23 ，则 32 sin(B 3)1，即 b c 的取值范围是 2 3， 4. 点评 本题解答主要考查平面向量的数量积、三角恒等变换及三角形中的正弦定 理、余弦定理、面积公式、三角形内角和定理等 .解答本题主要有两处要注意：第 ( )小题中求 b c 没有利用分别求出 b、 c 的值为解，而是利用整体的思想，使问题得到简捷的解答； (2)第 ( )小题的求解中特别要注意确定角 B 的范围 . 【专题训练】 一、选择题 1已知 a (cos40， sin40)， b (cos20， sin20)，则 a b （ ） A 1 B 32 C 12 D 22 2将函

21、数 y 2sin2x 2的图象按向量 (2， 2)平移后得到图象对应的解析式是 （ ） A 2cos2x B 2cos2x C 2sin2x D 2sin2x 3已知 ABC 中，若 0，则 ABC 是 （ ） A钝角三角形 B直角三角形 C锐角三角形 D任意三角形 4设 a (32,sin)， b (cos,13)，且 a b ，则锐角 为 （ ） A 30 B 45 C 60 D 75 5已知 a (sin， 1 cos)， b (1， 1 cos)，其中 (， 32 )，则一定有 （ ） A a b B a b C a 与 b 夹角为 45D | a | | b | 6已知向量 a (6

22、， 4)， b (0， 2), c a b ，若 C 点在函数 y sin 12x 的图象上 ,实数 （ ） A 52 B 32 C 52 D 32 7由向量把函数 y sin(x 56 )的图象按向量 a (m， 0)(m 0)平移所得的图象关于 y 轴对称，则m 的最小值为 （ ） A 6 B 3 C 23 D 56 8设 02 时，已知两个向量 (cos， sin)， (2 sin， 2 cos)，则 向量长度的最大值是 （ ） A 2 B 3 C 3 2 D 2 3 9若向量 a (cos,sin)， b (cos,sin)，则 a 与 b 一定满足 （ ） A a 与 b 的夹角等于

23、 B a b C a b D ( a b ) ( a b ) 10已知向量 a (cos25,sin25)， b (sin20,cos20)，若 t 是实数，且 u a t b ，则 | u |的最小值为 （ ） A 2 B 1 C 22 D 12 11 O 是平面上一定点， A、 B、 C 是该平面上不共线的 3 个点，一动点 P 满足： OP OA (ABAC)， (0, )，则直线 AP 一定通过 ABC 的 （ ） A外心 B内心 C重心 D垂心 12对于非零向量 a 我们可以用它与直角坐标轴的夹角 ,(0,0)来表示它的方向，称 ,为非零 向量 a 的方向角，称 cos,cos 为向

24、量 a 的方向余弦，则 cos2 cos2（ ） A 1 B 32 C 12 D 0 二、填空题 13已知向量 m (sin， 2cos)， n ( 3, 12).若 m n ，则 sin2 的值为 _ 14已知在 OAB(O 为原点 )中， OA (2cos， 2sin)， OB (5cos， 5sin)，若 OAOB 5，则 S AOB的值为 _. 15 将函数 f(x) tan(2x 3) 1 按向量 a 平移得到奇函数 g(x)，要使 |a|最小，则 a _. 16已知向量 (1， 1)向量与向量夹角为 34 ，且 1.则向 量 _ 三、解答题 17在 ABC中，角 A、 B、 C 的

25、对边分别为 a、 b、 c，若 ABAC BABC k(k R). （ ）判断 ABC的形状； （ ）若 c 2，求 k 的值 18已知向量 m (sinA,cosA)， n ( 3, 1)， m n 1，且 A 为锐角 .( )求角 A 的大小； ( )求函数 f(x) cos2x 4cosAsinx(x R)的值域 20090318 19在 ABC 中， A、 B、 C 所对边的长分别为 a、 b、 c，已知向量 m (1， 2sinA)， n (sinA， 1 cosA)，满足 m n ， b c 3a.( )求 A 的大小； ( )求 sin(B 6)的值 20已知 A、 B、 C 的

26、坐标分别为 A（ 4， 0）， B（ 0， 4）， C（ 3cos， 3sin） . （ ）若 ( ， 0)，且 |AC| |BC|，求角 的大小； （ ）若 AC BC，求 2sin2 sin21 tan 的值 21 ABC 的角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c， m (2b c， a)， n (cosA， cosC)，且 m n ( )求角 A 的大小； ( )当 y 2sin2B sin(2B 6)取最大值时，求角 B 的大小 . 22已知 a (cosx sinx， sinx)， b (cosx sinx， 2cosx)， （ ）求证：向量 a 与向量 b 不可能平行；

27、（ ）若 f(x) a b ，且 x 4,4时，求函数 f(x)的最大值及最小值 【专题训练】参考答案 一、选择题 1 B 解析 ：由数量积的坐标表示知 a b cos40sin20 sin40cos20 sin60 32 . 2 D 【解析】 y 2sin2x 2 y 2sin2（ x 2） 2 2，即 y 2sin2x. 3 A 【解析】 因为 cos BAC 0， BAC 为钝角 . 4 B 【解析】 由平行的充要条件得 3213 sincos 0， sin2 1， 2 90， 45. 5 B 【 解析】 a b sin |sin|， (， 32 )， |sin| sin， a b 0，

28、 a b 6 A 【解析】 c a b (6， 4 2)，代入 y sin 12x 得， 4 2 sin2 1，解得 52. 7 B 【解析】 考虑把函数 y sin(x 56 )的图象变换为 y cosx 的图象，而 y sin(x 56 ) cos(x 3)，即把 y cos(x 3)的图象变换为 y cosx 的图象，只须向右平行 3个单位，所以 m 3，故选 B. 8 C 【解析】 | (2 sin cos)2 (2 cos sin)2 10 8cos3 2. 9 D 【解析】 a b (cos cos,sin sin)， a b (cos cos,sin sin)， ( a b )(

29、 a b ) cos2 cos2 sin2 sin2 0， ( a b ) ( a b ) 10 C 【解析】 | u |2 | a |2 t2| b |2 2t a b 1 t2 2t(sin20cos25 cos20sin25) t2 2t 1 (t 22 )2 12， | u |2 min 12， | u |min 22 . 11 C 【解析】 设 BC 的中点为 D，则 AB AC 2AD，又由 OP OA (AB AC)， AP 2AD，所以 AP与 AD共线，即有直线 AP 与直线 AD 重合，即直线 AP 一定通过 ABC 的重心 12 A 【解析】 设 a (x,y)， x 轴

30、、 y 轴、 z 轴方向的单位向量分别为 i (1,0)， j (0,1)，由向量知识得 cos i a| i | a | xx2 y2， cos j a| j | a | yx2 y2，则 cos2 cos2 1. 二 、填空题 13 8 349 【解析】 由 m n ，得 12sin 2 3cos, tan 4 3， sin2 2sincossin2 cos22tantan2 18 349 14 5 32 【解析】 OAOB 510coscos 10sinsin 510cos( ) 5cos( ) 12， sin AOB 32 ，又 |OA| 2， |OB| 5， S AOB 1225 3

31、2 5 32 15（ 6， 1） 【解析】 要经过平移得到奇函数 g(x)，应将函数 f(x) tan(2x 3) 1 的图象向下平移 1 个单位，再向右平移 k2 6(k Z)个单位即应按照向量 a ( k2 6， 1) (k Z)进行平移要使 |a|最小， 16 ( 1， 0)或 (0， 1) 【解析】 设 (x， y)，由 1，有 x y 1 ，由与夹角为 34 ，有 |cos34 ， | 1，则 x2 y2 1 ，由 解得 x= 1y=0 或 x 0y 1 即 ( 1， 0)或 (0， 1) 三、解答题 17 【解】 （ ） ABAC bccosA， BABC cacosB， 又 ABAC BABC， bccosA cacosB， 由正弦定理，得 sinBcosA sinAcosB，即 sinAcosB sinBcosA 0， sin(A B) 0 A B ， A B 0，即 A B， ABC 为等腰三角形 . （ ）由（ ）知 ba ， ABAC bccosA bcb2 c2 a22bc c22， c 2， k 1. 18 【解】 ( )由题意得 m n 3sinA cosA 1， 2sin(A 6) 1， sin(A 6) 12， 由 A 为锐角得 A 6 6， A 3.