1、第 1 页 共 21 页高中物理竞赛中的高等数学一、微积分初步物理学研究的是物质的运动规律，因此经常遇到的物理量大多数是变量，而要研究的正是一些变量彼此间的联系这样，微积分这个数学工具就成为必要的了考虑到，读者在学习基础物理课时若能较早地掌握一些微积分的初步知识，对于物理学的一些基本概念和规律的深入理解是很有好处的所以在这里先简单地介绍一下微积分中最基本的概念和简单的计算方法，在讲述方法上不求严格和完整，而是较多地借助于直观并密切地结合物理课的需要至于更系统和更深入地掌握微积分的知识和方法，可在通过高等数学课程的学习去完成1函数及其图形1 1 函数 自变量和因变量 绝对常量和任意常量在数学中函
2、数的功能是这样定义的：有两个互相联系的变量 x 和 y，如果每当变量 x 取定了某个数值后，按照一定的规律就可以确定 y 的对应值，那么称 y 是 x 的函数，并记作： y=f(x)，（ A 1）；其中 x 叫做自变量， y 叫做因变量， f 是一个函数记号，它表示 y 和 x 数值的对应关系有时把 y=f(x)也记作 y=y(x)如果在同一个问题中遇到几个不同形式的函数，也可以用其它字母作为函数记号，如 (x)、 (x)等等 常见的函数可以用公式来表达，例如 ， ， ， ， ， 等等()32f21abcoslnxe在函数的表达式中，除变量外，还往往包含一些不变的量，如上面出现的 和 等，它们
3、叫13 2、abc、做常量；常量有两类：一类如 等，它们在一切问题中出现时数值都是确定不变的，这类常量叫做绝对13 2e、常量；另一类如 a、 b、 c 等，它们的数值需要在具体问题中具体给定，这类常量叫做任意常量在数学中经常用拉丁字母中最前面几个（如 a、 b、 c）代表任意常量，最后面几个（ x、 y、 z）代表变量当 y=f(x)的具体形式给定后，就可以确定与自变量的任一特定值 x0 相对应的函数值 f(x0)例如：（ 1）若 y=f(x)=3+2x，则当 x=-2时 y=f(-2)=3+2(-2)=-1一般地说，当 x=x0 时， y=f(x0)=3+2x0（ 2）若 ，则当 时， )
4、00()cx1 2 函数的图形在解析几何学和物理学中经常用平面上的曲线来表示两个变量之间的函数关系，这种方法对于直观地了解一个函数的特征是很有帮助的作图的办法是先在平面上取一直角坐标系，横轴代表自变量 x，纵轴代表因变量（函数值）y=f(x)这样一来，把坐标为（ x， y）且满足函数关系 y=f(x)的那些点连接起来的轨迹就构成一条曲线，它描绘出函数的面貌图 A-1 便是上面举的第一个例子 y=f(x)=3+2x 的图形，其中 P1， P2， P3， P4， P5 各点的坐标分别为：（ -2， -1）、（ -1， 1）、（ 0， 3）、（ 1， 5）、（ 2， 7），各点连接成一根直线图A-2
5、 是第二个例子 的图形，其中 P1， P2， P3， P4， P5 各点的坐标()cyfx分别为：、 、 、 、 ，各点连接成双曲线的一支1(,4)c(,2)(1,c2,)(4,1 3 物理学中函数的实例反映任何一个物理规律的公式都是表达变量与变量之间的函数关系的下面举几个例子（ 1）匀速直线运动公式： s=s0 vt（ A 2）此式表达了物体作匀速直线运动时的位置 s 随时间 t 变化的规律，在这里 t 相当于自变量 x， s 相当于因变量y， s 是 t 的函数因此记作： s=s(t) s0 vt，（ A 3）式中初始位置 s0 和速度 v 是任意常量， s0 与坐标原点的选择有关， v
6、对于每个匀速直线运动有一定的值，但对于不同的匀速直线运动可以取不同的值图 A-3 是这个函数的图形，它是一根倾斜的直线易知它的斜率等于 v第 2 页 共 21 页（ 2）匀变速直线运动公式： ，（ A 4）， v=v0 at（ A 5）两式中 s 和 v 是因变量，它们都是自201svta变量 t 的函数，因此记作： ，（ A 6）， v=v(t)=v0 at，（ A 7）20()st图 A-4a、 4b 分别是两个函数的图形，其中一个是抛物线，一个是直线（ A 6）和（ A 7）式是匀变速直线运动的普遍公式，式中初始位置 s0、初速 v0 和加速度 a 都是任意常量，它们的数值要根据讨论的问
7、题来具体化例如在讨论自由落体问题时，若把坐标原点选择在开始运动的地方，则 s0 0， v0 0， a g9.8M s2，这时（ A 6）和（ A 7）式具有如下形式： ,（ A 8）； v v(t) gt（ A 9）；这里的 g 可看作是绝对21()stgt常量，式中不再有任意常量了（ 3）玻意耳定律： PV C（ A 10）上式表达了一定质量的气体，在温度不变的条件下，压强 P 和体积 V 之间的函数关系，式中的 C 是任意常量可以选择 V 为自变量， P 为因变量，这样，（ A 10）式就可写作： ，（ A 11）()它的图形和图 A-2 是一样的，只不过图中的 x、 y 应换成 V、 P
8、在（ A 10）式中也可以选择 P 为自变量， V 为因变量，这样它就应写成： ，（ A 12）()P由此可见，在一个公式中自变量和因变量往往是相对的（ 4）欧姆定律： （ A 13）UIR当讨论一段导线中的电流 I 这样随着外加电压 U而改变的问题时， U是自变量， I 是因变量， R 是常量这时，（ A 13）式应写作： ，（ A 14）；即 I 与 U成正比()应当指出，任意常量与变量之间的界限也不是绝对的例如，当讨论串联电路中电压在各电阻元件上分配问题时，由于通过各元件的电流是一样的，（ A 13）式中的电流 I 成了常量，而 R 是自变量， U是因变量于是 U U(R) IR，（ A
9、 15）即 U与 R 成正比但是当讨论并联电路中电流在各分支里的分配问题时，由于各分支两端具有共同的电压，（ A 13）式中的 U就成了常量，而 R 为自变量， I 是因变量，于是：，（ A 16）即 I 与 R 成反比()I总之，每个物理公式都反映了一些物理量之间的函数关系，但是其中哪个是自变量，哪个是因变量，哪些是常量，有时公式本身反映不出来，需要根据所要讨论的问题来具体分析2导数2 1 极限若当自变量 x 无限趋近某一数值 x0（记作 x x0）时，函数 f(x)的数值无限趋近某一确定的数值 a，则 a 叫做x x0 时函数 f(x)的极限值，并记作： ， （ A 17）lim()fa（
10、 A 17）式中的 “lim”是英语 “limit（极限） ”一词的缩写，（ A 17）式读作 “当 x 趋近 x0 时， f（ x）的极限值等于 a”极限是微积分中的一个最基本的概念，它涉及的问题面很广这里不企图给 “极限 ”这个概念下一个普遍而严格的定义，只通过一个特例来说明它的意义第 3 页 共 21 页考虑下面这个函数： ， （ A 18） ， 这里除 x 1 外，计算任何其它地方的函数值都是没有23()1xyf困难的例如当 时， ，当 ， ，等等0x()8f但是若问 x 1 时函数值 f（ 1）？，就会发现，这时（ A 18）式的分子和分母都等于 0，即 ！用 0(1)f去除以 0，
11、一般地说是没有意义的所以表达式（ A 18）没有直接给出 f（ 1），但给出了 x 无论如何接近 1 时的函数值来下表列出了当 x 的值从小于 1 和大于 1 两方面趋于 1 时 f（ x）值的变化情况：表 A-1 x 与 f(x)的变化值23x23()1fx0.9 -0.47 -0.1 4.70.99 -0.0497 -0.01 4.970.999 -0.004997 -0.001 4.9970.9999 -0.0004997 -0.0001 4.99971.1 0.53 0.1 5.31.01 0.503 0.01 5.031.001 0.005003 0.001 5.0031.0001
12、0.00050003 0.0001 5.0003从上表看， x 值无论从哪边趋近 1 时，分子分母的比值都趋于一个确定的数值 5，这便是 x1 时 f(x)的极限值其实计算 f(x)值的极限无需这样麻烦，只要将（ A 18）式的分子作因式分解： 3x2-x-2 (3x 2)(x-1)，并在 x1的情况下从分子和分母中将因式 (x 1)消去： ；即可看出： x 趋于 1 时，函(32)1) (1)xyf数 f(x)的数值趋于： 31 2 5所以根据函数极限的定义， 211lim)li5xxf2 2 几个物理学中的实例（ 1）瞬时速度当一个物体作任意直线运动时，它的位置可用它到某个坐标原点 O的距
13、离 s 来描述在运动过程中 s 是随时间t 变化的，也就是说， s 是 t 的函数： s s(t)函数 s(t)表示的是这个物体什么时刻到达什么地方形象一些说，假如物体是一列火车，则函数 s(t)就是它的一张 “旅行时刻表 ”但是，在实际中往往不满足于一张 “时刻表 ”，还需要知道物体运动快慢的程度，即速度或速率的概念例如，当车辆驶过繁华的街道或桥梁时，为了安全，对它的速率就要有一定的限制；一个上抛体（如高射炮弹）能够达到怎样的高度，也与它的初始速率有关，等等为了建立速率的概念，就要研究在一段时间间隔里物体位置的改变情况假设考虑的是从 t t0 到 t t1 的一段时间间隔，则这间隔的大小为：
14、 t t1-t0根据 s 和 t 的函数关系 s（ t）可知，在 t0 和 t1 t0+t 两个时刻， s 的数值分别为 s（ t0）和 s（ t1） s（ t0+t），即在 t0 到 t1 这段时间间隔里 s 改变了： s s（ t1） s（ t0） s（ t0+t） s（ t0）在同样大小的时间间隔 t 里，若 s 的改变量 s 小，就表明物体运动得慢， 所以就把 与 之比 叫做这stt段时间间隔里的平均速率，用 来表示，则 ， （ A 19） ，举例说明如下 v00()(tstv对于匀变速直线运动，根据（ A 4）式有 和 ，20001()stvta 2001()()()tsvtat；2
15、 20 00 01()()(svtavasttv ttt t 第 4 页 共 21 页平均速率 反映了物体在一段时间间隔内运动的快慢，除了匀速直线运动的特殊情况外， 的数值或多或少与svt st的大小有关； 取得越短， 就越能反映出物体在 时刻运动的快慢；通常就把 时 的极限值叫ttst0t0t做物体在 t t0 时刻的瞬时速率 v，即 ， （ A 20）00()(limlittsst对于匀变速直线运动来说， 001lili()2ttsvatvat这就是熟悉的匀变速直线运动的速率公式（ A 5）（ 2）瞬时加速度一般地说，瞬时速度或瞬时速率 v 也是 t 的函数： v v（ t）但是在许多实际
16、问题中，只有速度和速率的概念还不够，还需要知道速度随时间变化的快慢，即需要建立 “加速度 ”的概念平均加速度 和瞬时加速度 概念的建立与 和 的建立类似在直线运动中，首先取一段时间间隔aat0 到 t1，根据瞬时速率 v 和时间 t 的函数关系 v（ t）可知，在 t t0 和 t t1 两时刻的瞬时速率分别为 v（ t0）和 v（ t1） v（ t0+t），因此在 t0 到 t1 这段时间间隔里 v 改变了 v=v（ t0+t） -v（ t0）通常把 叫做这段时间间隔里的平均加速度，记作 ； ，（ A 21）a0()(vt举例来说，对于匀变速直线运动，根据（ A 5）式有 ， 00()tt
17、0()tat所以平均加速度为 （常数）00()()vttvvaa t对于一般的变速运动， 也是与 有关的，这时为了反映出某一时刻速度变化的快慢，就需要取 在tvt时的极限，这就是物体在 t t0 时刻的瞬时加速度 a： ，（ A 22）0t000()(limlittvt（ 3）应用举例水渠的坡度任何排灌水渠的两端都有一定的高度差，这样才能使水流动为简单起见，假设水渠是直的，这时可以把 x 坐标轴取为逆水渠走向的方向（见图 A-5），于是各处渠底的高度 h 便是 x 的函数： h=h（ x）知道了这个函数，就可以计算任意两点之间的高度差在修建水渠的时候，人们经常运用 “坡度 ”的概念譬如说，若逆
18、水渠而上，渠底在 100m的距离内升高了20cm，人们就说这水渠的坡度是 ，因此所谓坡度，就是指单位长度内的高度差，它的大小反映着高度0.21m随长度变化的快慢程度如果用数学语言来表达，就要取一段水渠，设它的两端的坐标分别为 x0 和 x1，于是这段水渠的长度为： x x1-x0根据 h 和 x 的函数关系 h(x)可知，在 x0 和 x1=x0+x 两地 h 的数值分别为 h(x0)和 h（ x1） h(x0+x)，所以在 x 这段长度内 h 改变了： h h(x0+x)-h(x0)根据上述坡度的定义，这段水渠的平均坡度为： ，（ A 23）0()k前面所举例子， x 采用了 100米的数值
19、实际上在 100米的范围内，水渠的坡度可能各处不同为了更细致地把水渠在各处的坡度反映出来，应当取更小的长度间隔 ， 取得越小， 就越能精确反映出 x=x0 处的坡xhx度所以在 x=x0 处的坡度 k 应是 时的平均坡度 的极限值，即 ，0xk00()(limlixxhk（ A 24）2 3 函数的变化率 导数第 5 页 共 21 页前面举了三个例子，在前两个例子中自变量都是 t，第三个例子中自变量是 x这三个例子都表明，在研究变量与变量之间的函数关系时，除了它们数值上 “静态的 ”对应关系外，往往还需要有 “运动 ”或 “变化 ”的观点，着眼于研究函数变化的趋势、增减的快慢，即函数的 “变化
20、率 ”概念当变量由一个数值变到另一个数值时，后者减去前者，叫做这个变量的增量增量，通常用代表变量的字母前面加个 “”来表示例如，当自变量 x 的数值由 x0 变到 x1 时，其增量就是 xx1-x0（ A 25）与此对应因变量 y 的数值将由 y0 f(x0)变到 y1=f(x1)，它的增量为 yy1-y0=f(x1) f(x0) f(x0+x) f(x0)（ A 26）应当指出，增量是可正可负的，负增量代表变量减少增量比 ，（ A 27）可以叫做函数在 x x0 到 x x0+x 这一区间内的平均变化率，它在 x0 时的极限值叫做函数 y f(x)对 x 的导数或微商，记作 y或 f(x)，
21、 ，（ A 28）000()()limlixffyf除 或 外，导数或微商还常常写作 、 、 等其它形式导数与增量不同，它代表函数在一点的性y()fxdyxfx质，即在该点的变化率应当指出，函数 f(x)的导数 f(x)本身也是 x 的一个函数，因此可以再取它对 x 的导数，这叫做函数 y f(x)的二阶导数，记作 、 、 等； ，（ A 29）y2dy2()()()dydf fx 据此类推，则不难定义出高阶的导数来有了导数的概念，前面的几个实例中的物理量就可表示为：瞬时速率： ，（ A 30）；瞬时加速度： ，（ A 31）；水渠坡度： ，（ A 32）dsvt 2dvsatdhkx2 4
22、导数的几何意义在几何中切线的概念也是建立在极限的基础上的如图 A-6 所示，为了确定曲线在 P0 点的切线，先在曲线上 P0附近选另一点 P1，并设想 P1 点沿着曲线向 P0 点靠拢 P0P1 的联线是曲线的一条割线，它的方向可用这直线与横坐标轴的夹角 来描述从图上不难看出， P1 点愈靠近 P0 点， 角就愈接近一个确定的值 0，当 P1 点完全和 P0 点重合的时候，割线 P0P1 变成切线 P0T， 的极限值 0 就是切线与横轴的夹角在解析几何中，把一条直线与横坐标轴夹角的正切 叫做这条直线的斜率斜率为正时表示 是锐角，从左tan到右直线是上坡的（见图 A-7a）；斜率为负时表示 是钝
23、角，从左到右直线是下坡的（见图 A-7b）现在来研究图 A-6 中割线 P0P1 和切线 P0T 的斜率设 P0 和 P1 的坐标分别为（ x0， y0）和（ x0+x， y0+y），以割线 P0P1 为斜边作一直角三角形 P0P1M，它的水平边 P0M的长度为 x，竖直边 MP1 的长度为 y，因此这条割线的斜率为： 10tanyx如果图 A-6 中的曲线代表函数 y=f(x)，则割线 P0P1 的斜率就等于函数在 附近的增量比 ，切线 的低x0T斜率 是 时，割线 P0P1 斜率的极限值，即 ；所以导数的几何意义是0tan101010tanlimtali()PPyf切线的斜率3导数的运算在
24、上节里只给出了导数的定义，本节将给出以下一些公式和定理，利用它们可以把常见函数的导数求出来第 6 页 共 21 页3 1 基本函数的导数公式（ 1） y f(x) C(常量 )： ；0 0()()limlimx xffCyfx（ 2） y f(x) x： ；0)li1x xx （ 3） y f(x)=x2： ；20 0()()li lili()2x x xffyf x（ 4） y f(x) x3： ；3 20)limlimlim3()3x xxfff x （ 5） y f(x) ： 10()()lixffyf01lix；20li()()xx（ 6） y f(x) ：0 00)(limlimli
25、m xxf xxf220 0()(1li li2x xx上面推导的结果可以归纳成一个普遍公式：当 时， ，（ 为任何数），（ A 33）ny1ndyn例如：当 时， ， ；1n()yfx1dx当 时， ， ；22f2y当 时， ， ；3n3()yfx32dx当 时， ， ；11 211()yx当 时， ， ；等等2n12()yfxd利用（ A 33）式还可以计算其它幂函数的导数（见表 A-2）除了幂函数 外，物理学中常见的基本函数还有三角函数、对数函数和指数函数现在只给出这些函数的导数nx公式（见表 A-2）而不推导，解题时可以直接引用3 2 有关导数运算的几个定理定理一 ： ，（ A 34）
26、()dduvuxvx证明 ： 00limlixxuvdx定理二 ： ，（ A 35）()()()dduuvx证明 ： 0 0u()v()()li limx xvxuxvu m()()()()xud第 7 页 共 21 页表 A-2 基本导数公式函数 y=f(x) 导数 y=f(x) 函数 y=f(x) 导数 y=f(x)c(任意常量 ) 0，12n 3321(xn(n 为任意常量 ) nxn-1，33()x55)xxn=1， x 1 n=2， x2 2x sincosn=3， x3 3x2 coxin，1()l 1x，2n2x3xxee，112 定理三 ： ， （ A 36）2()()duvv
27、xduxx证明 ： 0 0 0()()() ()()()()()limlimlimx x xuvxvuvuxvvvdvx20()()()()lixudvv定理四 ： ，（ A 37）()ddx证明 ： 0 0)()()(limlimx xuuuvuvx x00()(limlimxuvvdux例 1 求 （ a 为常量）的导数 解 ： 2y22dya例 2求 （ a 为常量）的导数 解 ： ln lnl10xdx例 3 求 （ a 为常量）的导数 解 ： 2yx 222dyaax例 4求 的导数 解 ： 2e 2 2()xx xeeed例 5求 的导数1xy解 ： 22 22(3)(51)(5(
28、3)6(51)(3)5160()ddxxxxx例 6求 的导数tany解 ： 22 22sincoscoinsincsosin(i)1(t)() secodxxdd xxx xx 第 8 页 共 21 页例 7求 （ a、 b 为常量）的导数cos()yx解 ：令 ， ，则 vab(cosuv(sin)sin()dyuvaxbx例 8 求 的导数 解 ：令 ， ，则 21yx21() 2121dyuvx例 9求 （ a 为常量）的导数e解： 令 ， ，则vu2x22 2()(1)v axdyxduvxeaxe4微分和函数的幂级数展开4 1 微分自变量的微分，就是它的任意一个无限小的增量 x用
29、dx代表 x 的微分，则 dx=x（ A 38）一函数 y=f(x)的导数 f(x)乘以自变量的微分 dx即为该函数的微分，用 dy或 df(x)表示，即 dy=df(x)=f(x)dx，（ A 39）所以 ，（ A 40）df在之前曾把导数写成 的形式，是把它作为一个整体引入的当时它虽然表面上具有分数的形式，但在运算时dyx并不象普通分数那样可以拆成 “分子 ”和 “分母 ”两部分在引入微分的概念之后，就可把导数看成微分 dy与 dx之商（所谓 “微商 ”），即一个真正的分数了把导数写成分数形式，常常是很方便的，例如，把上节定理四（ A 37）式的左端 简写成 ，则该式化为 ；此公式从形式上
30、看和分数运算法则一致，很便()duvxduxduvx于记忆下面看微分的几何意义图 A-8 是任一函数 y f(x)的图形， P0（ x0， y0）和 P1（ x0+x， y0+y）是曲线上两个邻近的点， P0T 是通过 P0 的切线直角三角形 P0MP1 的水平边 ，竖直边 （见图 ）M8A设 与 的交点为 ，则 ，但 为切线 P0T 的斜率，它等于 x=x0 处的0PT1MN0tanMNPx0tanNM导数 f(x0)，因此 0()dyfxx所以微分 dy在几何图形上相当于线段 MN的长度，它和增量 相差 一段长；从上一节计算导数时1y1取极限的过程可以看出， 是 中正比于 的那一部分，而
31、则是正比于 (x)2 以及 x 更高幂次的各项之和 例y1P如对于函数 y=f(x) x3， y 3x2x 3x(x)2 ()3，而 dy=f(x)x=3x2x当 x 很小时，（ x） 2、（ x） 3、 比 x 小得多， 也就比 小得多，所以可以把微分 叫做增量 中的线性主部也就是说，若函数在 x=x0 的地方1NPd 像线性函数那样增长，则它的增量就是 dy4 2 幂函数的展开已知一个函数 f(x)在 x x0 一点的数值 f(x0)，如何求得其附近的点 x x0+x 处的函数值 f(x) f(x0+x)？若 f(x)为 x 的幂函数 ，可以利用牛顿的二项式定理：n 2300000000(
32、1)121()1()1) !n nnnnff第 9 页 共 21 页，（ A 41）0 0(1)()(!n mmnxfx此式适用于任何 n（整数、非整数、正数、负数等等）若 n 为正整数，则上式中的级数在 M n 的地方截断，余下的项自动为 0，否则上式为无穷级数不过当 xx0 时，后面的项越来越小，只需保留有限多项就足够精确了不要以为数学表达式越精确越好如图 A-9 中 A、 B 两点间的水平距离为 l，若将 B 点竖直向上提高一个很小的距离 a(al)到达 B，问 AB之间的距离比 AB增加了多少？利用勾股定理易得距离的增加量为 2lal这是个精确的公式，但没有给出一个鲜明的印象，究竟 l
33、 是随 a 怎样变化的？若用二项式定理将它展开，只保留到最低级的非 0 项，则有 ，即 l 是正比12 22 21()()()1()a lalll l l于 a 平方增长的，属二级小量这种用幂级数展开来分析主要变化趋势的办法，在物理学里是经常用到的4 3 泰勒展开非幂函数 (譬如 sinx、 ex)如何作幂级数展开？这要用泰勒 (Taylor)展开下面用一种不太严格，但简单明了的办法将它导出假设函数 f(x)在 x=x0 处的增量 f=f(x) f(x0)能够展成 x x x0 的幂级数：，（ A 42）则通过逐项求导可得 ；当 x x0 时， m 1 的项01()mmfxa101()()mm
34、fax都趋于 0，于是有 f(x0) a1；再次求导，得 ，当 x x0 时， m 2 的项都趋于 0，于202()(mfxax是有 f(x0) 2a2；如此类推，一般地说，对于 阶导数有 ；于是 (A 42)式可以写为：M()!MMf， (A 43)()00)!mmMfx若定义第 0 阶导数 f(0)(x)就是函数 f(x)本身，则上式还可进一步简写为：， (A 44)()0()!mmffx上述 (A 43)或 (A 44)式称为泰勒展开式，它在物理学中是非常有用的公式下面在表 A-3 中给出几个常见函数在 x0 0 或 1 处的泰勒展开式表 A-3 常见函数的幂级数展开式函数 展开式 收敛
35、范围12()x234154628xxx 1x32 3152(1)x23455114628xxx 1x12317 32()x23457594628xxx 1x521 911()x234xx x2 5 1第 10 页 共 21 页sinx357!x xco2461tanx357912835xx xe241! ln()x3x 1x124()x5积分5 1 几个物理中的实例（ 1）变速直线运动的路程大家都熟悉匀速直线运动的路程公式若物体的速率是 v，则它在 ta到 tb一段时间间隔内走过的路程是 s v(tb ta)， (A 45)对于变速直线运动来说，物体的速率 v 是时间的函数： v v(t)，函
36、数的图形是一条曲线 (见图 A-10a)，只有在匀速直线运动的特殊情况下，它才是一条直线 (参见图 A-4b)对于变速直线运动， (A.45)式已不适用但是，可以把t ta到 t tb这段时间间隔分割成许多小段，当小段足够短时，在每小段时间内的速率都可以近似地看成是不变的这样一来，物体在每小段时间里走过的路程都可以按照匀速直线运动的公式来计算，然后把各小段时间里走过的路程都加起来，就得到 ta到 tb这段时间里走过的总路程设时间间隔 (tb ta)被 t t1(=ta)、 t2、 t3、 、 tn、 tb分割成 n 小段，每小段时间间隔都是 t，则在t1、 t2、 t3、 、 tn各时刻速率分
37、别是 v(t1)、 v(t2)、 v(t3)、 、 v(tn)若把各小段时间的速率 v 看成是不变的，则按照匀速直线运动的公式，物体在这些小段时间走过的路程分等于 v(t1)t、 v(t2)t、 v(t3)t、 、 v(tn)t于是，在整个 (tb-ta)这段时间里的总路程是 ， (A 46)1231nniisttt 现在再看看上式的几何意义在函数 v v(t)的图形中，通过 t=t1、 t2、 t3、 、 tn各点垂线的高度分别是 v(t1)、v(t2)、 v(t3)、 、 v(tn)(见图 A-10b)，所以 v(t1)t、 v(t2)t、 v(t3)t、 、 v(tn)t 就分别是图中那
38、些狭长矩形的面积，而则是所有这些矩形面积的总和，即图中画了斜线的阶梯状图形的面积1nii在上面的计算中，把各小段时间 t 里的速率 v 看做是不变的，实际上在每小段时间里 v 多少还是有些变化的，所以上面的计算并不精确要使计算精确，就需要把小段的数目 n 加大，同时所有小段的 t 缩短 (见图 A-10c) t 越短，在各小段里 v 就改变得越少，把各小段里的运动看成匀速运动也就越接近实际情况所以要严格地计算变速运动的路程 s，就应对 (A 46)式取 n 、 t0 的极限，即 ， (A 47)01lim)itnsvt当 n 越来越大， t 越来越小的时候，图 A-10中的阶梯状图形的面积就越来越接近 v(t)曲线下面的面积 (图 A-10d)所以 (A 47)式中的极限值等于 (tb ta)区间内 v(t)曲线下的面积总之，在变速直线运动中，物体在任一段时间间隔 (tb ta)里走过的路程要用 (A 47)式来计算，这个极限值的几何意义相当于这区间内 v(t)曲线下的面积（ 2）变力的功当力与物体移动的方向一致时，在物体由位置 s sa移到 s sb的过程中，恒力 F 对它所作的功为：
