1、通信原理习题第一章1第一章习题习题 1.1 在英文字母中 E 出现的概率最大，等于 0.105，试求其信息量。解：E 的信息量： b25.310.logElog1log222 PI习题 1.2 某信息源由 A，B，C ，D 四个符号组成，设每个符号独立出现，其出现的概率分别为 1/4，1/4，3/16，5/16。试求该信息源中每个符号的信息量。解： bPIA 241log)(log)(1log22 bB45.63lIC5.63l2 bID678.15log2习题 1.3 某信息源由 A，B，C ，D 四个符号组成，这些符号分别用二进制码组 00，01，10，11 表示。若每个二进制码元用宽度为
2、 5ms 的脉冲传输，试分别求出在下列条件下的平均信息速率。（1） 这四个符号等概率出现； （2）这四个符号出现概率如习题 1.2 所示。解：（1）一个字母对应两个二进制脉冲，属于四进制符号，故一个字母的持续时间为 25ms。传送字母的符号速率为 Bd10523BR等概时的平均信息速率为 sb24loglB2bM（2）平均信息量为符 号比 特97.156l31l64log1l42222 H则平均信息速率为 sb97.0BbHR习题 1.4 试问上题中的码元速率是多少？解： 3120 d5*BRT习题 1.5 设一个信息源由 64 个不同的符号组成，其中 16 个符号的出现概率均为 1/32，其
3、余 48 个符号出现的概率为 1/96，若此信息源每秒发出 1000 个独立的符号，试求该信息源的平均信息速率。通信原理习题第一章2解：该信息源的熵为 96log1*4832log1*6)(log)()(log)()( 2264121 iiiiMii xPxPXH=5.79 比特/符号因此，该信息源的平均信息速率 。0*5.790b/sbRmH习题 1.6 设一个信息源输出四进制等概率信号，其码元宽度为 125 us。试求码元速率和信息速率。解： B6180 Bd25*RT等概时， skbMBb /164log*log2习题 1.7 设一台接收机输入电路的等效电阻为 600 欧姆，输入电路的带
4、宽为 6 MHZ，环境温度为 23 摄氏度，试求该电路产生的热噪声电压的有效值。解： 23612V4*1.80*104.57* VkTRB 习题 1.8 设一条无线链路采用视距传输方式通信，其收发天线的架设高度都等于 80 m，试求其最远的通信距离。解：由 ，得 28Drh68*.37108349 kmrh习题 1.9 设英文字母 E 出现的概率为 0.105， x 出现的概率为 0.002 。试求 E和 x 的信息量。 解： 22()0.15logElog0.153.()()897pxIPbitx习题 1.10 信息源的符号集由 A，B，C，D 和 E 组成，设每一符号独立 1/4 出现，其
5、出现概率为 1/4,1/8,1/8,3/16 和 5/16。试求该信息源符号的平均信息量。解： 符 号/3.165log8l1log84l1)(log)( 22222 bitxpHii 通信原理习题第一章3习题 1.11 设有四个消息 A、B、C、D 分别以概率 1/4,1/8, 1/8, 1/2 传送，每一消息的出现是相互独立的。试计算其平均信息量。 解： 符 号/75.12log81llog814l)(log)( 2222 bitxpHii 习题 1.12 一个由字母 A，B，C，D 组成的字。对于传输的每一个字母用二进制脉冲编码，00 代替 A，01 代替 B，10 代替 C，11 代替
6、 D。每个脉冲宽度为5ms。（1） 不同的字母是等概率出现时，试计算传输的平均信息速率。 （2） 若每个字母出现的概率为 , , , 试计算传输的平均14BpC310Dp信息速率。 解：首先计算平均信息量。（1） 221()log()4*()log /4iiHPpbitx、 平均信息速率=2（bit/字母） /(2*5m s/字母)=200bit/s（2） 22222113()log()logllogl1.985 /5440iip bit、平均信息速率=1.985(bit/ 字母)/(2*5ms/ 字母)=198.5bit/s习题 1.13 国际莫尔斯电码用点和划的序列发送英文字母，划用持续
7、3 单位的电流脉冲表示，点用持续 1 单位的电流脉冲表示，且划出现的概率是点出现的概率的1/3。（1） 计算点和划的信息量； （2） 计算点和划的平均信息量。 解：令点出现的概率为 ,划出现的频率为()AP()BP+ =1, ()AP()B()()13B()34A()1(1) 2log0.45()()Ipbit（2） 符 号/81.04log13l4)(l)( 222 bitxHii 通信原理习题第一章4习题 1.14 设一信息源的输出由 128 个不同符号组成。其中 16 个出现的概率为 1/32，其余 112 个出现的概率为 1/224。信息源每秒发出 1000 个符号，且每个符号彼此独立
8、。试计算该信息源的平均信息速率。解： 符 号/4.621log)4(*12)3(*6)(log)(H2 bitxpii 平均信息速率为 。6.4*10=bit/s习题 1.15 对于二电平数字信号，每秒钟传输 300 个码元，问此传码率 等于BR多少？若数字信号 0 和 1 出现是独立等概的，那么传信率 等于多少？ bR解： 3BR30/bRits习题 1.16 若题 1.12 中信息源以 1000B 速率传送信息，则传送 1 小时的信息量为多少？传送 1 小时可能达到的最大信息量为多少？ 解：传送 1 小时的信息量 2.3*1068.02Mbit传送 1 小时可能达到的最大信息量 先求出最大
9、的熵： 号max2log./5Hbit、则传送 1 小时可能达到的最大信息量 32*1068.352bit习题 1.17 如果二进独立等概信号，码元宽度为 0.5ms，求 和 ；有四进信号，BRb码元宽度为 0.5ms，求传码率 和独立等概时的传信率 。 BRb解：二进独立等概信号： 3120,0/.5*its四进独立等概信号： 。,*4/0.BbRbit小结： 记住各个量的单位：信息量： bit 2log()Ipx信源符号的平均信息量（熵）： bit/符号 2()log()iIpx平均信息速率： 符号）/ (s/符号)/(bitsit传码率： （B）R传信率： bit/sb通信原理习题第一章
10、5第二章习题习题 2.1 设随机过程 X(t)可以表示成：2cos, t t式中， 是一个离散随机变量，它具有如下概率分布：P( =0)=0.5，P ( = /2)=0.5 试求 EX(t)和 。R0,1)解：EX( t)=P( =0)2 +P( = /2)cos2)t 2cos()=cos(2)intttcost习题 2.2 设一个随机过程 X(t)可以表示成：2cos, t t判断它是功率信号还是能量信号？并求出其功率谱密度或能量谱密度。解：为功率信号。 /2/21()lim()cos*cos2()TXTRXtdtdt22cos()jtjte22()(1)()jfjtjtjfXPfRdee
11、习题 2.3 设有一信号可表示为： 4exp() ,t0()Xt试问它是功率信号还是能量信号？并求出其功率谱密度或能量谱密度。解：它是能量信号。X( t)的傅立叶变换为： (1)004)()4jttjt jtxedededj则能量谱密度 G(f)= = 2()Xf226jf习题 2.4 X(t)= ，它是一个随机过程，其中 和 是相互统12cosinxtt1x2计独立的高斯随机变量，数学期望均为 0，方差均为 。试求：2(1)EX(t)， E ；(2)X(t) 的概率分布密度；(3) 2t 12(,)XRt通信原理习题第一章6解：(1) 02sin2cossin2co 211 xEtxttxt
12、EtX 因为 相互独立，所以 。()XPf21x和 121E又因为 ， ，所以 。021故 22sicttt(2)因为 服从高斯分布， 的线性组合，所以 也服从高斯21x和 1xX和是 tX分布，其概率分布函数 。2ep2zp(3) 22111121 sincos)sincos(, txtxttxEtEtRX 22isco1t习题 2.5 试判断下列函数中哪些满足功率谱密度的条件：(1) ； (2) ； (3)ff2cosaf2expfa解：根据功率谱密度 P(f)的性质：P (f) ，非负性；P(-f )=P(f) ，偶函数。0可以判断(1)和 (3)满足功率谱密度的条件， (2)不满足。习
13、题 2.6 试求 X(t)=A 的自相关函数，并根据其自相关函数求出其功率。cost解：R(t ， t+ )=EX(t)X(t+ ) =cos*()EAtt221cosAER功率 P=R(0)= 2习题 2.7 设 和 是两个统计独立的平稳随机过程，其自相关函数分别tX1t2为 。试求其乘积 X(t)= 的自相关函数。21XR和 12)(t解： (t,t+ )=EX(t)X(t+ )=E R 12)()Xt= =12)()t12()()R习题 2.8 设随机过程 X(t)=m(t) ，其中 m(t)是广义平稳随机过程，且其自cos相关函数为 4210, kHZ10 k()XffPf其 它(1)
14、试画出自相关函数 的曲线；(2) 试求出 X(t)的功率谱密度 和功率()XR ()XPf通信原理习题第一章7P。解：(1) 1, 010,xR其 它其波形如图 2-1 所示。图 2-1 信号波形图(2)因为 广义平稳，所以其功率谱密度 。由图 2-8 可见，)(tXXXRP的波形可视为一个余弦函数与一个三角波的乘积，因此XR 2Sa2Sa41 1Sa002xP1,1d2 xx R或习题 2.9 设信号 x(t)的傅立叶变换为 X(f) = 。试求此信号的自相关函数sinf。()解：x(t) 的能量谱密度为 G(f)= =2)2sif其自相关函数 21, 0() 10,jfXRed 其 它习题
15、 2.10 已知噪声 的自相关函数 ，k 为常数。tn-e2Rn(1)试求其功率谱密度函数 和功率 P；(2) 画出 和 的曲线。f nfPn21xR1 0 1通信原理习题第一章8解：(1)2()()2()kj jnn kPfRededf20k(2) 和 的曲线如图 2-2 所示。()nRfn图 2-2习题 2.11 已知一平稳随机过程 X(t)的自相关函数是以 2 为周期的周期性函数：()1, 1R试求 X(t)的功率谱密度 并画出其曲线。XPf解：详见例 2-12习题 2.12 已知一信号 x(t)的双边功率谱密度为 4210, kHZ10 k()XffPf其 它试求其平均功率。解： 3
16、4310*4241082()*X ffdfd 习题 2.13 设输入信号 ，将它加到由电阻 R 和电容 C 组成的/,0()text高通滤波器（见图 2-3）上，RC 。试求其输出信号 y(t)的能量谱密度。解：高通滤波器的系统函数为 H(f)= ()2cos(), Xttt输入信号的傅里叶变换为X(f)= 1jfjf输出信号 y(t)的能量谱密度为 22()()1()()2y RGfYfXfHjfCjf习题 2.14 设有一周期信号 x(t)加于一个线性系统的输入端，得到的输出信号nR2k0fPn10 fCR图 2-3RC 高通滤波器通信原理习题第一章9为 y(t)= 式中， 为常数。试求该
17、线性系统的传输函数 H(f).()/dxt解：输出信号的傅里叶变换为 Y(f)= ,所以 H(f)=Y(f)/X(f)=j*2()jfX2f习题 2.15 设有一个 RC 低通滤波器如图 2-7 所示。当输入一个均值为 0、双边功率谱密度为 的白噪声时，试求输出功率谱密度和自相关函数。02n解：参考例 2-10习题 2.16 设有一个 LC 低通滤波器如图 2-4 所示。若输入信号是一个均值为0、双边功率谱密度为 的高斯白噪声时，试求02n(1)输出噪声的自相关函数。(2)输出噪声的方差。解：(1)LC 低通滤波器的系统函数为 H(f)= 2124jfCfLC输出过程的功率谱密度为 200 2
18、()()1i nPH对功率谱密度做傅立叶反变换，可得自相关函数为 00()exp()4CRL(2)输出亦是高斯过程，因此2 000()()4CnRL习题 2.17 若通过图 2-7 中的滤波器的是高斯白噪声，当输入一个均值为 0、双边功率谱密度为 的白噪声时，试求输出噪声的概率密度。02n解：高斯白噪声通过低通滤波器，输出信号仍然是高斯过程。由 2.15 题可知E(y(t)=0 , 200()4yRC所以输出噪声的概率密度函数 2001()exp()2y RCpxn习题 2.18 设随机过程 可表示成 ，式中 是一个离散随变()t()cos(2)ttLC图 2-4LC 低通滤波器通信原理习题第
19、一章10量，且 ，试求 及 。(0)1/2(/)12pp、 (1)E(0,)R解： *cos0/*cos/2;E(,)()/()s()cos(/2)R 习题 2.19 设 是一随机过程，若 和 是彼此独立且1020inZtXwtt1X具有均值为 0、方差为 的正态随机变量，试求：2（1） 、 ；()Et()t（2） 的一维分布密度函数 ；Z()fz（3） 和 。12(,)Bt12(,)Rt解：（1） 10200102()cosincossinEZtXwttwtEXt因为 和 是彼此独立的正态随机变量， 和 是彼此互不相关，所以2 212022222100010()cossincossinZttttwtEX又 ; 1EX1()DEXEX同理2代入可得 2()Zt（2）由 =0； 又因为 是高斯分布()Et22()t()Zt可得 2()DZt21expzfZ(3) 12121212(,)(,)()(,)BtRtEttRt020002cossincossin)XwXwt221112020( ii)tttt令 12t习题 2.20 求乘积 的自相关函数。已知 与 是统计独立的()()ZtXYt ()XtY平稳随机过程，且它们的自相关函数分别为 、 。 (xRy解：
