1、牛人数学工作室助力高考数学2018 年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理）（北京卷）本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.1. 已知集合 ， ，则 ( )2|xA2,10BBA.1,0.,1.C,.D2,102. 在复平面内，复数 的共轭复数对应的点位于( )i第一象限 第二象限 第三象限 第四象限.A.B. .3. 执行如图所示的程序框图，输出的 值为( )s.A21.B65.C67.D127牛人数学工作
2、室助力高考数学4.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 若第一个单音的频率为 ，则第八个单音的频率12 f为( ).Af32.Bf32.Cf125.Df1275. 某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为( )1 2 3 4.A.B.C.D6. 设 a，b 均为单位向量，则“ ”是“a b”的( )ab充分而不必要条件 必要而不充分条件 充分必要条件 既不充分也不必要条件. . . .
3、7. 在平面直角坐标系中，记 为点 到直线 的距离，当 变化时， 的最dsin,coP02myxm,d大值为( )1 2 3 4.A.B.C.D8. 设集合 ，则( )2,4,1|, ayxayx对任意实数 ， 对任意实数 ，.AaA2.BaA1,2当且仅当 时， 当且仅当 时，C0,D3牛人数学工作室助力高考数学第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.9. 设 是等差数列，且 ， ，则 的通项公式为_ na31a3652na10.在极坐标系中，直线 与圆 相切，则 _0sincocos2a11. 设函数 ，若 对任意的实数 都成立，则 的最小
4、值为6csxf 4fxx_12.若 ， 满足 ，则 的最小值是_ xyxy21y13.能说明“若 对任意的 都成立，则 在 上是增函数”为假命题的一个函数0f2,0(xf2,0是_14. 已知椭圆 ，双曲线 ，若双曲线 的两条渐近线与椭圆01:2bayxM1:2nymxNN的四个交点及椭圆 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 的离心率为_；双曲M线 的离心率为 _N3、 解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.（本小题 13 分）在 中， ， ， ABC7a8b71cosB（）求 ；（）求 边上的高牛人数学工作室助力高考数学16.（本小题 14 分
5、）如图，在三棱柱 中， 平面 ， ， ， ， 分别为 ， ， ，1CBA1ABCDEFG1AC1的中点， ， 1B52（）求证： 平面 ；EF（）求二面角 的余弦值；1CD（）证明：直线 与平面 相交GB17.（本小题 12 分）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类电影部数 140 50 300 200 800 510好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值假设所有电影是否获得好评相互独立（）从电影公司收集的电影中随机选取 1 部，求这部电影是获
6、得好评的第四类电影的概率；（）从第四类电影和第五类电影中各随机选取 1 部，估计恰有 1 部获得好评的概率；（）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“ ”表示第 类电影1kk得到人们喜欢，“ ”表示第 类电影没有得到人们喜欢（ =1，2 ，3，4，5 ，6）写出方差 ，0kkk 1D， ， ， ， 的大小关系2D345D6牛人数学工作室助力高考数学18.（ 本小题13 分）设函数 xeaaxf 3412（）若曲线 在点 处的切线与 轴平行，求 ；xfy,1（）若 在 处取得极小值，求 的取值范围f219.（本小题 14 分）已知抛物线 经过点 过点 的直线 l 与抛物
7、线 有两个不同C:pxy22,1P1,0QC的交点 ，且直线 交 轴于 ，直线 交 轴于 BA， PAMByN（）求直线 的斜率的取值范围；l（）设 为原点， ， ，求证： 为定值OQON1牛人数学工作室助力高考数学20.（ 本小题14 分）设 为正整数，集合 ，对于集合 中nnkttAn,21,0,|21 A的任意元素 和 ，记x,21ny,21 nnyxxyM 21,（）当 时，若 ，求 和 的值；3n,0,M,（）当 时，设 是 的子集，且满足：对于 中的任意元素 ，当 相同时， 是4BAB,M奇数；当 不同时， 是偶数求集合 中元素个数的最大值；,（）给定不小于 2 的 ，设 是 的子
8、集，且满足：对于 中的任意两个不同的元素 ，n ,写出一个集合 ，使其元素个数最多，并说明理由0,MB牛人数学工作室助力高考数学2018 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案一、选择题1 A 2D 3B 4D 5C 6C 7C 8D二、填空题9 10 11 12363na122313 y=sinx（答案不唯一） 14 1；三、解答题（15 ）（共 13 分）解：（）在ABC 中，cosB= ，B（ ，），sin B= 1722431cos7由正弦定理得 = ，sin A= siniabAsinA8433B（ ，），A（0， ），A = 22（）在ABC 中，sinC=sin（A+
9、B）=sinA cosB+sinBcosA= = 3143()271如图所示，在ABC 中，sinC = ，h= = ，sinC14AC 边上的高为 32（16 ）（共 14 分）解：（）在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，CC 1平面 ABC，四边形 A1ACC1 为矩形又 E，F 分别为 AC，A 1C1 的中点，牛人数学工作室助力高考数学ACEFAB =BCACBE ，AC平面 BEF（）由（I）知 ACEF ，ACBE ，EF CC 1又 CC1平面 ABC，EF平面 ABCBE 平面 ABC，EFBE 如图建立空间直角坐称系 E-xyz由题意得 B（0，2 ，0），C（-1，0，0
10、），D（1 ，0，1 ），F（0，0 ，2），G（0，2 ，1） ，=()()CDurur， ， ， ， ，设平面 BCD 的法向量为 ，abc， ，n ， ，0CBrun20令 a=2，则 b=-1，c =-4，平面 BCD 的法向量 ，(214)， ，n又平面 CDC1 的法向量为 ，0EBur， ， 21cos=|EBurrn由图可得二面角 B-CD-C1 为钝角，所以二面角 B-CD-C1 的余弦值为 21（）平面 BCD 的法向量为 ，G （0 ，2 ，1），F（0，0，2 ），(214)， ，n ， ， 与 不垂直，=(021)GFur， ， GFururGF 与平面 BCD 不平
11、行且不在平面 BCD 内，GF 与平面 BCD 相交牛人数学工作室助力高考数学（17 ）（共 12 分）解：（）由题意知，样本中电影的总部数是 140+50+300+200+800+510=2000，第四类电影中获得好评的电影部数是 2000.25=50故所求概率为 50.2（）设事件 A 为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”，事件 B 为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”故所求概率为 P（ ） =P（ ）+P（ ）BAB=P（A）（1P（B）+ （1P（A）P （B）由题意知：P（ A）估计为 0.25，P（B）估计为 0.2故所求概率估计为 0.250.8+0.750.2=0.
12、35（） = 1D4253D6（18 ）（共 13 分）解：（）因为 = ，()fx2(41)axaex所以 f （x）=2 ax（4a+1） ex+ax 2（4 a+1）x +4a+3e x（x R）=ax 2（2a +1）x +2e xf (1)=(1a)e由题设知 f (1)=0，即(1a )e=0，解得 a=1此时 f (1)=3e0所以 a 的值为 1（）由（）得 f （x ）=ax 2（2 a+1）x +2e x=（ax 1）( x2)ex若 a ，则当 x( ，2)时，f (x)0所以 f (x)0所以 2 不是 f (x)的极小值点综上可知，a 的取值范围是（ ，+ ）12牛人
13、数学工作室助力高考数学（19 ）（共 14 分）解：（）因为抛物线 y2=2px 经过点 P（1，2），所以 4=2p，解得 p=2，所以抛物线的方程为 y2=4x由题意可知直线 l 的斜率存在且不为 0，设直线 l 的方程为 y=kx+1（k0 ）由 得 241yxk2(4)10x依题意 ，解得 k0 或 0k122()k又 PA，PB 与 y 轴相交，故直线 l 不过点（1，-2 ）从而 k-3所以直线 l 斜率的取值范围是（-，-3 ）（-3，0）（0，1）（）设 A（x 1，y 1），B（x 2，y 2）由（I）知 ， 24k1k直线 PA 的方程为 y2= 1()yx令 x=0，得点
14、 M 的纵坐标为 122Mk同理得点 N 的纵坐标为 21Nkxy由 ， 得 ， =QOurQur=MNy所以 21212241()1 1=()()MN kxxykxkk所以 为定值（20 ）（共 14 分）解：（）因为 =（1，1，0），= （0，1，1 ），所以M(，)= (1+1|11|)+(1+1|11|)+(0+0|00|)=2，2M(， ）= (1+0|10|)+(1+1|11|)+(0+1|01|)=1（）设 =（ x1，x 2，x 3，x 4）B，则 M(， ）= x1+x2+x3+x4由题意知 x1，x 2，x 3，x 40，1，且 M(，) 为奇数，所以 x1，x 2，x 3，x 4 中 1 的个数为 1 或 3
