1、1专题 06 数列一基础题组1.【2005 天津，理 13】在数列 na中， 1， 2a且 *21nnaN则10S_。【答案】2600【解析】当为奇数时， 20na；当为偶数时， 2na因此，数列 n的奇数各项都是 1，偶数项成公差为 2 的等差数列21010155260Saa本题答案填写：26002.【2006 天津，理 7】已知数列 n、 b都是公差为 1 的等差数列，其首项分别为 1a、1b，且 51a， *1,Nb设 nac（ *N） ，则数列 nc的前 10 项和等于（ ）A55 B70 C85 D100【答案】C3.【2006 天津，理 16】设函数 1xf，点 0A表示坐标原点，
2、点 *,NnfAn，若向量 0121nnaAA， n是 a与的夹角， （其中 01i） ，设Statt，则 Slim= 【答案】1【解析】设函数1xf，点 0A表示坐标原点，点 *,NnfAn，若向量0121nnaA= 0n， 是 na与的夹角，1ta()nn（其中,i） ，设 nnSttat211123()，则2nSlim=14.【2007 天津，理 8】设等差数列 na的公差 d不为 0 19ad.若 k是 1a与 2k的等比中项，则 k( )A.2 B.4 C. 6 D.8【答案】B【解析】5.【2007 天津，理 13】设等差数列 na的公差 d是 2，前项的和为 ,nS则2limna
3、_.【答案】3【解析】根据题意知 11()22nana21,()nSa代入极限式得2134()lim3n6.【2008 天津，理 15】已知数列 na中， *31,1Nnan，则 nalim .【答案】76【解析】 2 21 121()3() 3(nnn naaa 所以273lim61n.7.【2009 天津，理 6】设 a0,b0.若 3是 3a与 3b的等比中项,则 ba1的最小值为（ ）A.8 B.4 C.1 D. 4【答案】B3【解析】 3是 3a 与 3b 的等比中项 3a3b3 3a+b3 a+b1,a0,b0,412abab.41abb.8.【2010 天津，理 6】已知 an是
4、首项为 1 的等比数列， Sn是 an的前 n 项和，且 9S3 S6，则数列 1na的前 5 项和为( ) A. 8或 5 B.36或 5 C. 1 D. 58【答案】C 9S3S3S3q3 得 q38，解得 q2.1na是首项为 1，公比为 2的等比数列其前 5 项和为5()3629.【2011 天津，理 4】已知 na为等差数列，其公差为-2，且 7a是 3与 9的等比中项，nS为 a的前项和， *N，则 10S的值为A-110 B-90 C90 D110【答案】D.4【解析】 2,9327da， )16(4)1(12aa，解之得 201a，0)(1010s.10.【2014 天津，理
5、11】设 na是首项为 1，公差为 1-的等差数列， nS为其前项和若124,S成等比数列，则 1的值为_【答案】 【解析】试题分析：依题意得 214S=， ()()21146aa-=-，解得 12a=-考点：1等差数列、等比数列的通项公式；2等比数列的前项和公式11.【2017 天津，理 18】 （本小题满分 13 分）已知 na为等差数列，前 n 项和为 ()nSN， nb是首项为 2 的等比数列，且公比大于0， 231b， 3412ba， 4（）求 n和 的通项公式；（）求数列 21n的前 n 项和 ()N【答案】 （） 3na， 2nb；（）132843n由 3412ba，可得 138
6、da 由 1=S，可得 56 ，联立，解得 1， 3d，由此可得 32na所以，数列 na的通项公式为 n，数列 b的通项公式为 2nb5所以，数列 21nab的前项和为132843n【考点】等差数列、等比数列、数列求和【名师点睛】利用等差数列和等比数列通项公式及前项和公式列方程组求数列的首项和公差或公比，进而写出通项公式及前项和公式，这是等差数列、等比数列的基本要求，数列求和的方法有倒序相加法、错位相减法、裂项相消法和分组求和法等，本题考查的是错位相减法求和二能力题组1.【2005 天津，理 18】已知： 121*,0nnnuababNab 。（）当 a = b 时，求数列 n的前 n 项和
7、 nS；（）求 1limnu。【答案】 （）若 a， 21221nnnaaS,若 1a，则32nS（）当 1q时， ， 1limnu,当 q时， 1limnub【解析】解：（I）当 ab时， nna，它的前项和 2341nS 两边同时乘以，得2341nnaaa6当 ab时，设qa（ 1） ，则：121nn aquaq此时：11nnu当 q时，即 ab时，11limlinnnuqaa当 1q时，即 ab时，111lililimnnnn aqbuq 2.【2006 天津，理 21】已知数列 nyx,满足 2,121yx，并且111,nnnyx（ 为非零参数， ,43） （1）若 531,成等比数列
8、，求参数 的值；（2）当 0时，证明 *1Nnyxn；当 1时，证明 *1322 Nnyxxn .【答案】 （1） .（2） （I）详见解析， （II）详见解析7（III）证明：当 1时，由（II）可知 ).(1*Nnxyn又由（II）),(*1Nnyxn则 ,1nn从而).(*1xynn因此 .1)()1(13221 nnnyx 3.【2012 天津，理 18】已知 an是等差数列，其前 n 项和为 Sn， bn是等比数列，且a1 b12， a4 b427， S4 b410(1)求数列 an与 bn的通项公式；(2)记 Tn anb1 an1 b2 a1bn， nN *，证明 Tn122 a
9、n10 bn(nN *)【答案】(1) an3 n1， bn2 n， (2) 详见解析【解析】解：(1)设等差数列 an的公差为 d，等比数列 bn的公比为 q由 a1 b12，得a423 d， b42 q3， S486 d8由条件，得方程组3227,8610dq解得 3,.dq所以 an3 n1， bn2 n， nN *(方法二：数学归纳法)当 n1 时， T112 a1b11216，2 a110 b116，故等式成立；假设当 nk 时等式成立，即 Tk122 ak10 bk，则当 nk1 时有：Tk1 ak1 b1 akb2 ak1 b3 a1bk1 ak1 b1 q(akb1 ak1 b
10、2 a1bk) ak1 b1 qTk ak1 b1 q(2 ak10 bk12)2 ak1 4( ak1 3)10 bk1 242 ak1 10 bk1 12，即 Tk1 122 ak1 10 bk1 ，因此 n k1 时等式也成立由和，可知对任意 nN *， Tn122 an10 bn成立4.【2013 天津，理 19】已知首项为 3的等比数列 an不是递减数列，其前 n 项和为 Sn(nN *)，且 S3 a3， S5 a5， S4 a4成等差数列(1)求数列 an的通项公式；(2)设 Tn 1n(nN *)，求数列 Tn的最大项的值与最小项的值【答案】 （）132na；（）最大项的值为5
11、6，最小项的值为712.【解析】解：(1)设等比数列an的公比为 q，因为 S3a3，S5a5，S4a4 成等差数列，所以 S5a5S3a3S4a4S5a5，9即 4a5a3，于是25314aq.故132506nSS.当 n 为偶数时，Sn 随 n 的增大而增大，所以34S2Sn1，故21370412nSS.综上，对于 nN*，总有56nS.所以数列Tn最大项的值为56，最小项的值为712.5.【2014 天津，理 19】已知和均为给定的大于 1 的自然数设集合 0,12,qM=- ，集合 12,niAxqxn-+= （）当 q， 3n时，用列举法表示集合 A；（）设 ,st， 112naaq
12、- ， 112ntbqb-+ ，其中,2,.iabMin=证明：若 nb，则 s【答案】 （） 0,3,456,7A；（）详见试题分析【解析】试题分析：（）当 2,3qn=时，10 21230,1,12,3iMAxxMi=+=采用列举法可得集合,23,456,7；（）先由已知写出及的表达式： 112nsaqa-+ ，11ntbqb-+，再作差可得()()()()21121nnnstaqabqabq - -=-+，放缩()()121 0,nnqqqst- -+=考点：1集合的含义与表示；2等比数列的前项和公式；3不等式的证明6. 【2015 高考天津，理 18】 （本小题满分 13 分）已知数列 na满足2 12()*,nnaqqnNa为 实 数 ， 且 1，且345,a+成等差数列.(I)求的值和 n的通项公式；(II)设 *21log,nbNa，求数列 nb的前项和.【答案】(I) 2,.n为 奇 数 ,为 偶 数; (II) 124nnS.【解析】(I) 由已知，有 ()()34234534aaa+-=+-，即 4253a，所以 23(1)aq，又因为 1q，故 2，由 1q，得 ，当 *nkN时，121nkna，当 ()时， k，
