1、智浪教育-普惠英才文库1中国教育学会中学数学教学专业委员会“数学周报杯”2007 年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共 5 小题，每小题 6 分，满分 30 分. 以下每道小题均给出了代号为 A，B，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分）1方程组 12,6xy的解的个数为（ ） （A）1 （B） 2 （C） 3 （D ）4答：（A） 解：若 x0 ，则 1,6xy于是 6y，显然不可能若 ，则 2,xy于是 18y，解得 9，进而求得 3x所以，原方程组的解为 ,3yx只有 1 个解故选（A） 2口袋中有 2
2、0 个球，其中白球 9 个，红球 5 个，黑球 6 个现从中任取10 个球，使得白球不少于 2 个但不多于 8 个，红球不少于 2 个，黑球不多于 3个，那么上述取法的种数是（ ） （A） 14 （B） 16 （C）18 （D ）20答：（B ） 解：用枚举法： 红球个数 白球个数 黑球个数 种 数5 2，3，4，5 3，2，1，0 44 3，4，5，6 3，2，1，0 43 4，5，6，7 3，2，1，0 42 5，6，7，8 3，2，1，0 4所以，共 16 种故选（B ） 3已知 AC为锐角三角形， O经过点 B，C ，且与边 AB，AC 分别相智浪教育-普惠英才文库2交于点 D，E 若
3、 O的半径与 ADE的外接圆的半径相等，则 O一定经过 ABC的（ ） （A）内心 （B）外心 （C）重心 （D ）垂心答：（B ） 解： 如图，连接 BE，因为 AB为锐角三角形，所以 C， E均为锐角又因为 O的半径与AD的外接圆的半径相等，且 DE为两圆的公共弦，所以B于是， 2CAC若 的外心为 1，则 1B，所以，O一定过 的外心故选（B ） 4已知三个关于 x 的一元二次方程 02cba， 02acx， 02baxc恰有一个公共实数根，则2b的值为（ ） （A） 0 （B）1 （C）2 （D ）3答：（D） 解：设 0x是它们的一个公共实数根，则 02cba， 02acxb， 02
4、baxc把上面三个式子相加，并整理得 20()(1)acx因为 220013)4xx，所以 0abc于是 223333()abcababc()c故选（D） 5方程 32365xy的整数解（x，y ）的个数是（ ） （A）0 （B）1 （C）3 （D ）无穷多（第 3 题答案图）智浪教育-普惠英才文库3答：（A） 解：原方程可化为 2(1)3(1)2xxy（ ），因为三个连续整数的乘积是 3 的倍数，所以上式左边是 3 的倍数，而右边除以3 余 2，这是不可能的所以，原方程无整数解故选(A).二、填空题（共 5 小题，每小题 6 分，满分 30 分）6如图，在直角三角形 ABC 中， 90ACB
5、，CA4点 P 是半圆弧AC 的中点，连接 BP，线段 BP 把图形 APCB 分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是 答：4解：如图，设 AC 与 BP 相交于点 D，点 D 关于圆心 O 的对称点记为点 E，线段 BP 把图形 APCB 分成两部分，这两部分面积之差的绝对值是BEP 的面积，即 BOP 面积的两倍而122BPOSC因此，这两部分面积之差的绝对值是 47如图, 点 A，C 都在函数 3(0)yx的图象上，点 B，D 都在 x轴上，且使得OAB ，BCD 都是等边三角形，则点 D 的坐标为 答：（ 26，0） 解：如图，分别过点 A，C 作 x 轴的垂线，垂足分别为 E， F
6、设 OEa，BF b， 则AE 3，CF 3，所以，点 A，C 的坐标为（ ， ） ， （2 b， 3） ，所以 ,(),a解得 3,6ab（第 6 题答案图）（第 7 题答案图）智浪教育-普惠英才文库4因此，点 D 的坐标为（ 26，0） 8已知点 A，B 的坐标分别为（1，0） ， （2，0） 若二次函数23yxa的图象与线段 AB 恰有一个交点，则 a的取值范围是 答： 1 2，或者 32a解：分两种情况：（）因为二次函数 2yx的图象与线段 AB 只有一个交点，且点 A，B 的坐标分别为（1，0） ， （2，0） ，所以032)(31)(22 aa，得 a由 031)(2，得 ，此时
7、1x， 2，符合题意；由 ，得 2a，此时 ， 3，不符合题意（）令 2xa，由判别式 0，得 a当 3时， 123x，不合题意；当 32时，12x，符合题意综上所述， a的取值范围是 12a，或者 a9如图， 90ABCDEFGn，则 n 答：6解：如图，设 AF 与 BG 相交于点 Q，则QG，于是 ABCDEFGAQ54069所以，n610已知对于任意正整数 n，都有（第 9 题答案图）智浪教育-普惠英才文库5312na ，则 23101a 答： 0解：当 n2 时，有3121 naan ，()，两式相减，得 23n，所以 ),1()1(nan ,432因此 23101a()()()39
8、0130三、解答题（共 4 题，每小题 15 分，满分 60 分）11（A） 已知点 M，N 的坐标分别为（0，1） ， （0 ，1） ，点 P 是抛物线214yx上的一个动点（1）判断以点 P 为圆心，PM 为半径的圆与直线 y的位置关系；（2）设直线 PM 与抛物线 214yx的另一个交点为点 Q，连接 NP，NQ，求证： NMQ解：（1）设点 P 的坐标为 20(,)x，则PM 222200011()144xx;又因为点 P 到直线 y的距离为 2200，所以，以点 P 为圆心，PM 为半径的圆与直线 1y相切 智浪教育-普惠英才文库65 分（2）如图，分别过点 P，Q 作直线 1y的垂
9、线，垂足分别为 H，R 由（1）知，PHPM ，同理可得， QMQR因为 PH，MN，QR 都垂直于直线 ，所以，PHMNQR，于是MRNH，所以 QP，因此，Rt PHRt 于是 NR，从而 15 分 12（A） 已知 a，b 都是正整数，试问关于 x 的方程21()0x是否有两个整数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明.解：不妨设 ab，且方程的两个整数根为 12,x( 2x)，则有12,()xab所以 1221xab，4()()25. 5 分因为 a,b 都是正整数，所以 x1，x 2 均是正整数，于是，1x 0, 210， a1, b1，所以2()05,x 或 .1)2(,
10、1bax（1）当 12(),ab时，由于 a,b 都是正整数，且 ab，可得a1，b3，此时，一元二次方程为 20x，它的两个根为 1x， 2（第 11A 题答案图）智浪教育-普惠英才文库7（2）当 12()1,xab时，可得a1，b1，此时，一元二次方程为 20x，它无整数解.综上所述，当且仅当 a1，b3 时，题设方程有整数解，且它的两个整数解为 1x， 2 15 分13（A） 已知 AB 为半圆 O 的直径，点 P 为直径 AB 上的任意一点以点A 为圆心，AP 为半径作 A，A 与半圆 O 相交于点 C；以点 B 为圆心，BP 为半径作B，B 与半圆 O 相交于点 D，且线段 CD 的
11、中点为 M求证：MP 分别与A 和B 相切证明：如图，连接 AC，AD，BC，BD，并且分别过点 C，D 作 AB 的垂线，垂足分别为 ,EF，则 CEDF因为 AB 是O 的直径，所以 90ACDB在 Rt 和 Rt 中，由射影定理得2PEA，F 5 分两式相减可得 2PABAEF，又 2()()PBP，于是有 ，即 AEF，所以 PEF，也就是说，点 P 是线段 EF 的中点因此，MP 是直角梯形 CDF的中位线，于是有 MPAB，从而可得 MP分别与A 和B 相切15 分（第 13A 题答案图）智浪教育-普惠英才文库814（A） （1）是否存在正整数 m，n，使得 (2)(1)n？（2）
12、设 k( 3) 是给定的正整数，是否存在正整数 m，n，使得()(1)k？解：（1）答案是否定的若存在正整数 m，n，使得 (2)(1)，则 2(1)，显然 1n，于是 22(1)nn，所以， 2不是平方数，矛盾 5 分（2）当 3k时，若存在正整数 m，n，满足 (3)(1)n，则22414，(3)()8，221nn，(1)()m，而 2mn，故上式不可能成立 10 分当 k4 时，若 2kt（t 是不小于 2 的整数）为偶数，取,1mtnt，则 242()()k，1ntt，因此这样的（m，n）满足条件若 2kt1（t 是不小于 2 的整数）为奇数，取 2,ttmn，则 2 4321()()
13、()ttktt，智浪教育-普惠英才文库9224321(1)()ttntt，因此这样的（m，n）满足条件综上所述，当 3k时，答案是否定的；当 k4 时，答案是肯定的15 分注：当 4 时，构造的例子不是唯一的11（B ） 已知抛物线 1C： 234yx和抛物线 2C： 234yx相交于 A，B 两点. 点 P 在抛物线 上，且位于点 A 和点 B 之间；点 Q 在抛物线2C上，也位于点 A 和点 B 之间. （1）求线段 AB 的长；（2）当 PQy 轴时，求 PQ 长度的最大值解：（1）解方程组 234,yx得 12,6xy 2,6y所以，点 A，B 的坐标分别是（-2，6），（2，-6）于
14、是 22()(6)4105 分（2）如图，当 PQy 轴时，设点 P，Q 的坐标分别为)43,(2tt， )43,(2t， 2t，因此 PQ 8，当 0t时等号成立，所以，PQ 的长的最大值 8 15 分 （第 11B 题答案图）智浪教育-普惠英才文库1012（B ） 实数 a，b，c 满足 abc，且 0abc，abc 1求最大的实数 k，使得不等式 k恒成立解：当 32ab，3c时，实数 a，b，c 满足题设条件，此时k45 分下面证明：不等式 ab 4c对满足题设条件的实数 a，b，c 恒成立由已知条件知，a，b，c 都不等于 0，且 c因为211,ab，所以 0 由一元二次方程根与系数的关系知，a，b 是一元二次方程20xc的两个实数根，于是 410，所以 3c 10 分因此21()abc 4c 15 分13（B ） 如图，点 E，F 分别在四边形 ABCD 的边 AD，BC 的延长线上，且满足 DACF若 ， 的延长线相交于点 G， DE的外接圆与G的外接圆的另一个交点为点 P，连接 PA，PB ，PC，PD求证：（1） PB；（2） A C证明：（1）连接 PE，PF，PG ，因为 DGPE，所以 DEF又因为 PG，所以
