1、基于“过程”哲学观的数学教学以钟面时针与分针的夹角问题为例深圳市罗湖区罗芳中学 陈华东新课改实施以来，过程与方法作为课程标准的三维目标之一，受到了教师的广泛关注，然而，由于过程性目标难以把握，在实际教学中，很多老师对过程性教学存在不少困惑，本文以钟面时针与分针的夹角问题为例，谈谈数学教学中如何贯彻“过程”哲学观，希望对过程性教学存在疑惑的老师有一定指导作用。 “过程”哲学观是对数学课程内容的一种看法：数学课程内容不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成、发展与应用的过程和蕴涵的数学思想方法。即概念的形成过程、原理的发现与推导过程、概念或原理的特殊化及一般化的探索过程、发现和提出问题及分析和解决
2、问题的过程、问题解决后的反思过程等，是数学课程内容的有机组成部分。笔者发现，数学思维和思想的展开过程是数学课程的重要内容，因此，可以依据数学发展规律，学生认知规律构建教学结构，为展开学生的思维和思想创设足够的时间和空间，具体从以下三个方面进行一、利用新知识，激活学生学习的生长点基于过程哲学观的教学过程应该设计成知识发生发展过程为载体的学生认知过程，以学生为主体的数学活动过程，强调学生数学思维的展开、深度参与。展示问题 1：9:00 时针与分针的夹角为多少度？（本文讨论的夹角是指不超过 180 度的角，以下同）以简单的问题为切入点，让所有学生都可以参与，激发学生学习的生长点：时钟为圆周，可以把
3、360平均分成 12 份，每份 30，9:00 的时针与分针占了3 格，因此夹角为 90；9:00 时针与分针刚好占钟面的四分之一，因此夹角为；还有学生通过观察得出答案。钟面夹角问题可以从较简单的问题160=94开始，逐步深入探究，让学生经历猜想、验证、建立模型等过程，发挥学生的自主意识、创新意识。变式：5:00 时针与分针的夹角为多少度？学生在问题 1 的基础上，很自然总结出这样的规律：整点时针与分针的夹角为 度（ 为整点数） 。这个规律其实不够严谨，对 16 点成立，对 71230n点不成立，但是老师不要急于加于规范，而是让学生尝试计算 7:00 的情况：应该是 210还是 150？学生在
4、不同的结论之间产生思维的碰撞，从而得出更为严谨的规律：整点时针与分针的夹角主要看两针围了几格数字，再乘以 30 得出度数。过程哲学观认为，数学课堂的重点应该以学生为主体的规律（结论）的发现过程，教师不但要关注学生分析问题，解决问题的能力，同时也要关注和培养学生发现问题，提出问题的能力，本节课的设计正是按照这种思路进行。二、通过适度引导，促使学生生成“数学方法和理论”在教学过程中，教师可以用适度引导来促进学生思维。引导的方法主要有：学生思维混乱时进行辨析；学生观念碰撞时进行评价；学生思维跨度大时进行问题暗示；学生方法多样化时进行价值分析；学生回答不完善时进行追问；回答有创意时进行及时激励等。教师
5、需要根据学生的学情，及时给出有价值的引导。展示问题 2：9:30 时针与分针的夹角为多少度？在解决该问题的过程中，不少粗心的同学会把答案写出 90，忽略时针的转动。这时教师要进行引导：分针在转动的时候，时针是停止还是也在转动？还可以给学生展示真的时钟，旋转时针和分针，学生很容易就发现：分针在转动时，时针也在转动，分针转动比较快，时针转动比较慢。为了促使学生的思维深度参与，教师可以进一步追问：两者转动时会不会存在某种规律？是什么样的规律？学生经过思考，不难发现规律：分针走了一半（半点） ，时针也走了一半，在这个规律的基础上，问题 2 的解决就比较容易：在 90的基础再加上半格的度数（15） ，得
6、出最后答案为 105。变式：9:20 时针与分针的夹角为多少度？ 把问题提升一点难度，能激发学生进一步探索的兴趣。该问题正是如此，比问题 2 稍微难一点，但是思考的角度还是差不多：分钟走了三分之一（） ，时针也走了三分之一，两针的夹角由 5 格和 格组成，所以0163 13。(5)60从以上几个问题，学生会发现钟面的夹角问题要同时考虑时针和分针的情况，不能只考虑某个对象，因为两者之间存在这样的规律：时针与分针所走路程、速度不同，但是它们所走路程的比例相同（都走了几分之几） 。利用所走比例相同，可以快速算出所有整十分钟（十分钟，二十分钟，四十分钟等）的夹角问题：时针与分针所夹的整格加上或者减去几
7、分之几格（六分之一，三分之一，三分之二等） 。教师要注意引导学生概括钟面问题蕴涵的思维方法和思想方法，发展学生的思维能力。钟面问题蕴涵的思维方法：从特殊到一般（整点半点整十分任意分钟）和一般到特殊（任意分钟 整十分 半点整点） ；蕴涵的思想方法：时针与分针两者是紧密联系的，不能孤立考虑某一个对象，两者的转动按照某种规律在进行，可以根据这种规律建立某种模型。三、拓展应用，发展学生“智慧技能”“过程”哲学观的落实在于立足学生的发现，以学生的主体活动为中心来展开教学过程，学生在积极主动的参与教学活动过程中以自己的经验和知识为基础，经过积极的探索和发现、亲身的体验和实践，并以自己的方式将知识纳入自己的
8、认知结构中，并尝试用学过的知识解决新问题，从而发展学生的“智慧技能” 。展示问题 3：10:12 时针与分针的夹角为多少度？如果把问题拓展到任意分钟，一方面能够让学生尝试运用总结出来的规律解决问题，另一方面也可以促使学生站在不同的角度思考问题，发展学生的“智慧技能” 。 “智慧技能”意味着思考问题的多角度，解决问题的多样化。问题 3 的解决至少可以有以下两种策略策略 1：利用前面总结的规律：分针走了五分之一（ ） ，时针也走了12=605五分之一，得出 ， ，再把两者相加得最后1=360725=60345结果 126（见图 1） 。图 1 图 2策略 2：首先思考每经过 1 分钟，分针转过多少
9、度（ ） ，从而计360=算 2（12 比 10 多 2）分钟的度数，再考虑时针转过的角度，最后得出答案：（见图 2）304630=65变式：9:17 时针与分针的夹角为多少度？ 解决问题 3 的策略具有一般性，可以运用到任意时间的时针与分针的夹角问题，因此该题的解题过程可以是： 。1780362=.5本节课的教学既关注了数学的结果（时针与分针所走路程的比例相同） ，也关注了数学结果的形成、发展与应用的过程以及蕴涵的数学思想方法（归纳、建立模型等） ，使学生在“过程”中寻找出钟面夹角的计算方法（计算时针和分针走了几分之几） 。教师在这个过程中只是一个组织者、指导者和参与者， “过程”哲学观的核心是要把研究问题的过程和方法向学生充分、有序展示，使学生在获得知识的同时，获得方法的熏陶与技能的提高。89789
