1、2014 年普通高等学校招生全国统一考试全国课标 1理科数学第卷一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项.1.已知集合 ， ，则 （ ）.2|30Ax|2BxAB. . . .,1B,C1,D,2. （ ）.32()1i. . . .AiBiC1i1i3.设函数 ， 的定义域都为 ，且 是奇函数， 是偶函数，则下列结论()fxgR()fx()gx正确的是（ ）. 是偶函数 . 是奇函数A()f B()fg. 是奇函数 . 是奇函数CgxDx4.已知 是双曲线 ： 的一个焦点，则点 到 的一条渐近线的距F23(0)xmyF
2、C离为（ ）. . . .A3BCD5.4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率（ ）. . . .1835876 如图，圆 的半径为 1， 是圆上的定点， 是圆上的动点，角 的始边为射OAPx线 ，终边为射线 ，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，将点 到直线 的APOMOP距离表示为 的函数 ，则 在 上的图像大致为（ ）.x()f()yfx0,7.执行下图的程序框图，若输入的 分别为 1,2,3，则输出的 （ ）.,abkM. . . .A203B72C165D1588.设 ， ，且 ，则（ ）.(,)(0,)sintaco. . . .A
3、32B32C2D29.不等式组 的解集记为 .有下面四个命题：14xyD： ， ： ,1p(,),22p(,),2xyDy： ， ： .3P3xyy4 1其中真命题是（ ）. ， . ， . ， . ，A2p3B1p2C1p41p3P10.已知抛物线 ： 的焦点为 ，准线为 ， 是 上一点， 是直线 与 的C8yxFllQPFC一个焦点，若 ，则 （ ）.4FPQ|. . . .A72B352D11.已知函数 ，若 存在唯一的零点 ，且 ，则 的取值范3()1fxa()fx0xa围为（ ）. . . .A2,B1,C,2D,112.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三
4、视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为（ ）. . . .A62B6424第卷本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21 ）题为必考题，每个考生都必须作答。第（22）题- 第（24）题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共4小题，每小题 5分.13. 的展开式中 的系数为 .（用数字填写答案）8()xy27xy14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 ， ， 三个城市时，ABC甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 城市；乙说：我没去过 城市；C丙说：我们三人去过同一个城市.由此可判断乙去过的城市为 .15.已知 ， ， 是圆 上的三点，若 ，则 与 的夹角为 .ABO1
5、()2ABCA16.已知 分别为 的三个内角 的对边， ，且,abcC,a，则 面积的最大值为 .(2)sin)(sincb三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分 12 分）已知数列 的前 项和为 ， ， ， ，其中 为常数.nanS1a0n1nnaS（）证明： ；2n（）是否存在 ，使得 为等差数列？并说明理由.18.（本小题满分 12 分）从某企业生产的某种产品中抽取 500 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（）求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 和样本方差 （同一组数据用该区x2s间的中点值作代表） ；（）由频率分
6、布直方图可以认为，这种产品的质量指标值 服从正态分布 ，Z2(,)N其中 近似为样本平均数 ， 近似为样本方差 .x22s（i）利用该正态分布，求 ；(187.1)PZ（ii）某用户从该企业购买了 100 件这种产品，记 表示这 100 件产品中质量指标X值为于区间 的产品件数，利用（ i）的结果，求 .187.,2 E附： ，若 ，则 ，50.Z2(,)N()0.682PZ.()0954P19.（本小题满分 12 分）如图三棱锥 中，侧面 为菱形， .1ABC1BC1ABC（）证明： ；（）若 ， ， ，求二面角 的余弦值.1o160120.（本小题满分 12 分）已知点 ，椭圆 ： 的离心
7、率为 ， 是椭圆的右0,2AE21(0)xyab32F焦点，直线 的斜率为 ， 为坐标原点.F3O（）求 的方程；E（）设过点 的动直线 与 相交于 两点，当 的面积最大时，求 的方程.AlE,PQOPl21.（本小题满分 12 分）设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为1()lnxxbefa()yfx1,()f.12yex（）求 ；,ab（）证明： .()1fx请考生从第（22） 、 （23 ） 、 （24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.（本小题满分 10 分）选修 41：几何证明
8、选讲如图，四边形 是 的内接四边形， 的延长线与 的延长线交于点 ，ABCDOABDCE且 E(）证明： ；（）设 不是 的直径， 的中点为 ，且 ，证明： 为等MA边三角形.23.（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程已知曲线 ： ，直线 ： （ 为参数）.C219xyl2xty（）写出曲线 的参数方程，直线 的普通方程；（）过曲线 上任一点 作与 夹角为 的直线，交 于点 ，求 的最大值与Plo30lA|P最小值.24. （本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲若 ，且 .0,ab1ab（）求 的最小值；3（）是否存在 ，使得 ？并说明理由.,236参考答案一、选择题A
9、DCAD CDCBB CB二、填空题13. 14. 15. 16. 20A23三、解答题17.（ 1）证明：由题意得 121nnaS所以 121nnna又因为 0所以 1n所以 2a（2 ）解：假设存在 ，使得 为等差数列.na由（1）知 1213a因为 1所以 23a因为 12所以 所以 4故 2,na所以 是首项为 1，公差为 4 的等差数列，1 2143;na是首项为 3，公差为 4 的等差数列，2na 241.na所以 1,2.na因此存在 ，使得 为等差数列 .18.解：（1 ）抽取产品的质量指标值的样本平均数 70.2180.9.20.3x4322223.1.s0.10.4.083
10、.5(2） （1 ）由（1）知， ，从而2,15Z87.0.201.682PPZ（2 ）由（1 ）知，一件产品的质量指标值位于区间 的概率为7,.0.682依题意知 ，所以,.682XB.EX19.解：（1 ）连结 ，交 于 ，连结 .因为侧面 为菱形，所以 ，且1COA1BC11BC为 与 的中点.OB又 ，故11AB（2 ）因为 且 为 的中点，所以COCAOC又因为 ，所以BA故 ，从而 ， ， 两两互相垂直.O1以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向， 为单位长，建立如图所示空间直角坐标xB系 .xyz因为 ，所以 为等边三角形.又 ，则160CB1CBAAC， ， ，30,A1,0B1
11、3,03,0C， ，1,1,AB13,0BC设 是平面 的法向量，,nxyz1AB即10ABn30zx所以可取 ,3设 是平面 的法向量，则m1ABC10mBCA同理可取 ,3则 1cos,7n所以二面角 的余弦值为 .1ABC20.解：（1 ）设 ，由条件知， ，得 又 ，所以 ，,0Fc23cc32a2a22ba1故 的方程为 .E24xy（2 ）依题意设直线 ：lkx将 代入 得ykx214y2146120kx当 ，即 时，2334k21,28431kx从而2212PQkx又点 到直线 的距离 ，所以 的面积O21dkOPQA21432OPQSdA设 ，则 ，43kt024OPQtStA因为 ，当且仅当 ，即 时等号成立，且满足tt7k0所以当 的面积最大时， 的方程为OPQAl.72yx21.解：（1 ）函数 的定义域为 ， ,f0,112lnxxxxabfee由题意可得 ,21e故 ,.ab（2 ）由（1 ）知， 从而 等价于 .12lnxxfef2lnxe设函数 ，则 .lgxlg所以当 时， ;当 时, .0,e0x1e0gx故 在 单调递减，在 单调递增，从而 在 的最小值为gx1, ,.e
