1、 - 1 - 专题一 函数与导数、不等式 第 1 讲 函数图象与性质及函数与方程 高考定位 1.高考仍会以分段函数、二次函数、指数函数、对数函数为载体，考查函数的定义域、函数的最值与值域、函数的奇偶性、函数的单调性，或者综合考查函数的相关性质 .2.对函数图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合 的思想解决问题 .3.以基本初等函数为依托，考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理、数形结合思想，这是高考考查函数的零点与方程的根的基本方式 . 真 题 感 悟 1.(2015安徽卷 )下列函数中，既是偶函数又存在零点的是 ( ) A.y cos x B. y s
2、in x C.y ln x D.y x2 1 2.(2015全国 卷 )设函数 f(x)1 log2（ 2 x）， x 1，2x 1， x 1， 则 f( 2) f(log212) ( ) A.3 B.6 C.9 D.12 3.(2015北京卷 )如图，函数 f(x)的图象为折线 ACB，则不等式 f(x) log2(x 1)的解集是 ( ) A.x| 1 x 0 B.x| 1 x 1 C.x| 1 x 1 D.x| 1 x 2 4.已知函数 f(x) ax b(a 0， a 1) 的定义域和值域都是 1， 0，则 a b _. 考 点 整 合 1.函数的性质 (1)单调性：证明函数的单调性时
3、，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论 .可以用来比较大小 ，求函数最值，解不等式，证明方程根的唯一性； (2)奇偶性： 若 f(x)是偶函数，那么 f(x) f( x)； 若 f(x)是奇函数， 0 在其定义域内，则 f(0) 0； 奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性； (3)周期性： 若 y f(x)对 x R， f(x a) f(x a)或 f(x 2a) f(x)(a 0)恒成立，则 y f(x)是周期为 2a 的周期函数； 若 y f(x)是偶函数，其图象又关于直线 x a 对称，则 f(x)是周期为 2|a|的周期函数； 若 y
4、f(x)是奇函数 ，其图象又关于直线 x a 对称，则 f(x)是周期为4|a|的周期函数； 若 f(x a) f(x) 或 f（ x a）1f（ x） ，则 y f(x)是周期为 2|a|的周期函数 . 2.函数的图象 对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换 . 3.函数的零点与方程的根 (1)函数的零点与方程根的关系 函数 F(x) f(x) g(x)的零点就是方程 f(x) g(x)的根，即 函数 y f(x)的图象与函数 y g(x)的图象交点的横坐标 . (2)零点存在性定理 注意以下两点：
5、 满足条件的零点可能不唯一； 不满足条件时，也可能有零点 . 热点一 函数性质的应用 微题型 1 单一考查函数的奇偶性、单调性、对称性 【 例 1 1】 (1)(2015全国 卷 )若函数 f(x) xln(x a x2)为偶函数，则 a _. (2)(2015济南三模 )已知实数 x， y 满足 ax ay(0 a 1)，则下列关系式恒成立的是 ( ) A. 1x2 1 1y2 1 B.ln(x2 1) ln(y2 1) C.sin x sin y D.x3 y3 (3)设 f(x)2x 2， x 1， ax 6， x 1(a R)的图象关于直线 x 1 对称，则 a 的值为 ( ) A.
6、1 B.1 C.2 D.3 微题型 2 综合考查函数的奇偶性、单调性、周期性 【 例 1 2】 (1)(2015湖南卷 )设函数 f(x) ln(1 x) ln(1 x)，则 f(x)是 ( ) A.奇函数，且在 (0， 1)上是增函数 B. 奇函数，且在 (0， 1)上是减函数 C. 偶函数，且在 (0， 1)上是增函数 D.偶函数，且在 (0， 1)上是减函数 (2)(2015长沙模拟 )已知偶函数 f(x)在 0， )单调递减， f(2) 0.若 f(x 1) 0，则 x 的取值范围是 _. 【 训练 1】 (2015天津卷 )已知定 义在 R 上的函数 f(x) 2|x-m| 1(m
7、为实数 )为偶函数，记 a f(log0.53)， b f(log25)，c f(2m)，则 a， b， c 的大小关系为 ( ) A.a b c B. a c b C.c a b D.c b a 热点二 函数图象与性质的融合问题 微题型 1 函数图象的识别 【 例 2 1】 (1)(2015安徽卷 )函数 f(x) ax b（ x c） 2的图象如图所示，则下列结论成立的是 ( ) A.a0， b0， c0， c0 C.a0， c0)，讨论 h(x)零点的个数 . 考 点 整 合 1.求曲线 y f(x)的切线方程的三种类型及方法 (1)已知切点 P(x0， y0)，求 y f(x)过点 P
8、 的切线方程：求出切线的斜率 f(x0)，由点斜式写出方程 . (2)已知切线的斜率为 k，求 y f(x)的切线方程：设切点 P(x0， y0)，通过方程 k f(x0)解得 x0，再由点斜式写出方程 . (3)已知切线上一点 (非切点 )，求 y f(x)的切线方程：设切点 P(x0， y0)，利用导数求得切线斜率 f(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程 (组 )解得 x0，再由点斜式或两点式写出方程 . 2.三次函数的零点分布 三次函数在存在两个极值点的情况下，由于当 x 时，函数值也趋向 ，只要按照极值与零的大小关系确定其零点的个数即可 .存在两个极值点 x1， x2 且 x1
9、x2 的函数 f(x) ax3 bx2 cx d(a 0)的零点分布情况如下： a 的符号 零点个数 充要条件 a 0 (f(x1)为极大值， f(x2)为极小值 ) 一个 f(x1) 0 两个 f(x1) 0 或者 f(x2) 0 三个 f(x1) 0 且 f(x2) 0 a 0 (f(x1)为极小值， f(x2)为极大值 ) 一个 f(x2) 0 两个 f(x1) 0 或者 f(x2) 0 三个 f(x1) 0 且 f(x2) 0 3.研究两条曲线的交点个数的基本方法 (1)数形结合法，通过画出两个函数图象，研究图象交点个数得出答案 . (2)函数与方程法，通过构造函数，研究函数零点的个数
10、得 出两曲线交点的个数 . 热点一 函数图象的切线问题 微题型 1 单一考查曲线的切线方程 【 例 1 1】 在平面直角坐标系 xOy 中，设 A 是曲线 C1： y ax3 1(a 0)与曲线 C2： x2 y2 52的一个公共点，若C1 在 A 处的切线与 C2 在 A 处的切线互相垂直，则实数 a 的值是 _. 微题型 2 综合考查曲线的切线问题 【 例 1 2】 (2014北京卷 )已知函数 f(x) 2x3 3x. (1)求 f(x)在区间 2， 1上的最大值； (2)若过点 P(1， t)存在 3 条直线与曲线 y f(x)相切，求 t 的取值范围； (3)问过点 A( 1， 2)
11、， B(2， 10)， C(0， 2)分别存在几条直线与曲线 y f(x)相切？ (只需写出结论 ). 【 训练 1】 已知函数 f(x) x3 x. (1)设 M(0， f(0)是函数 f(x)图象上的一点，求点 M 处的切线方程； (2)证明：过点 N(2， 1)可以作曲线 f(x) x3 x 的三条切线 . - 8 - 热点二 利用导数解决与函数零点 (或方程的根 )有关的问题 微题型 1 讨论方程根的个数 【 例 2 1】 (2015广州模拟 )已知函数 f(x) (x2 3x 3)ex的定义域为 2， t(t 2). (1)试确定 t 的取值范围，使得函数 f(x)在 2， t上为单
12、调函数； (2)当 1 t 4 时，求满足 f（ x0）ex0 23(t 1)2 的 x0 的个数 . 微题型 2 根据零点个数求参数范围 【 例 2 2】 (2015保定模拟 )已知函数 f(x) xln x， g(x) x2 ax 2(e 为自然对数的底数， a R). (1)判断曲线 y f(x)在点 (1， f(1)处 的切线与曲线 y g(x)的公共点个数； (2)当 x 1e， e 时，若函数 y f(x) g(x)有两个零点，求 a 的取值范围 . 【 训练 2】 已知函数 f(x) axsin x 32(a 0)，且在 0， 2 上的最大值为 32 . (1)求函数 f(x)的
13、解析式； (2)判断函数 f(x)在 (0， )内的零点个数，并加以证明 . 1.求曲线的切线方程的方法 是利用切线方程的公式 y y0 f(x0)(x x0)，它的难点在于分清 “ 过点 P 的切线 ” 与 “ 在点 P 处的切线 ” 的差异 .突破这个难点的关键是理解这两种切线的不同之处在哪里，在过点 P(x0， y0)的切线中，点 P不一定是切点，点 P 也不一定在已知曲线上，而在点 P(x0， y0)处的切线，必以点 P 为切点，则此时切线的方程是 y y0 f(x0)(x x0). 2.我们借助于导数探究函数的零点，不同的问题，比如方程的解、直线与函数 图象的交点、两函数图象交点问题
14、都可以转化为函数零点问题 . 3.研究函数图象的交点、方程的根、函数的零点，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路，因此使用的知识还是函数的单调性和极值的知识 . 4.求函数零点或两函数的交点问题，综 合了函数、方程、不等式等多方面知识，可以全面地考察学生对函数性质、函数图象等知识的综合应用能力，同时考察学生的变形、转化能力 .因此在高考压轴题中占有比较重要的地位 . 一、选择题 1.曲线 y xx 2在点 ( 1， 1)处的切线方程为 ( ) A.y 2x 1 B. y 2x 1 C.y 2x 3 D.y 2x 2 2.(2015太原模拟 )若曲线
15、f(x) acos x 与曲线 g(x) x2 bx 1 在交点 (0， m)处有公切线，则 a b 的值 为 ( ) A. 1 B.0 C.1 D.2 3.(2015邯郸模拟 )直线 y kx 1 与曲线 y x3 ax b 相切于点 A(1， 3)，则 2a b 的值为 ( ) A.2 B. 1 C.1 D. 2 4.(2015武汉模拟 )曲线 y xln x 在点 (e， e)处的切线与直线 x ay 1 垂直，则实数 a 的值为 ( ) A.2 B. 2 C.12 D. 12 5.已知 e 是自然对数的底数，函数 f(x) ex x 2 的零点为 a，函数 g(x) ln x x 2
16、的零点为 b，则下列不等式中成立的是 ( ) A.f(a) f(1) f(b) B. f(a) f(b) f(1) C.f(1) f(a) f(b) D.f(b) f(1) f(a) 二、填空题 6.已知 f(x) x3 f 23 x2 x，则 f(x)的图象在点 23， f 23 处的切线斜率是 _. 7.(2015成都模拟 )关于 x 的方程 x3 3x2 a 0 有三个不同的实数解，则实数 a 的取值范围是 _. 8.设 x3 ax b 0，其中 a， b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 _(写出所有正确条件的编号 ). a 3， b 3； a 3， b 2； a
17、3， b2； a 0， b 2； a 1， b 2. 三、解答题 9.已知 曲线 C： y eax. (1)若曲线 C 在点 (0， 1)处的切线为 y 2x m，求实数 a 和 m 的值； (2)对任意实数 a，曲线 C 总在直线 l： y ax b 的上方，求实数 b 的取值范围 . - 9 - 10.(2015济南模拟 )已知函数 f(x) 2ln x x2 ax(a R). (1)当 a 2 时，求 f(x)的图象在 x 1 处的切线方程； (2)若函数 g(x) f(x) ax m 在 1e， e 上有两个零点，求实数 m 的取值范围 . 11.(2015江苏卷 )已知函数 f(x)
18、 x3 ax2 b(a， b R). (1)试讨论 f(x)的单调性； (2)若 b c a(实数 c 是与 a 无关的常数 )，当函数 f(x)有三个不同的零点时， a 的取值范围恰好是 ( ， 3) 1， 32 32， ，求 c 的值 . 第 5 讲 导数与 不等式、存在性及恒成立问题 高考定位 在高考压轴题中，函数与不等式交汇的试题是考查的热点，一类是利用导数证明不等式，另一类是存在性及恒成立问题 . 真 题 感 悟 (2015福建卷改编 )已知函数 f(x) ln(1 x)， g(x) kx(k R). (1)证明：当 x 0 时， f(x) x； (2)证明：当 k 1 时，存在 x
19、0 0，使得对任意的 x (0， x0)，恒有 f(x) g(x). 考 点 整 合 1.常见构造辅助函数的四种方法 (1)移项法：证明不等式 f(x) g(x)(f(x) g(x)的问题转化为证明 f(x) g(x) 0(f(x) g(x) 0)，进而构造辅助函数 h(x) f(x) g(x). (2)构造 “ 形似 ” 函数：对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构，根据 “ 相同结 构 ” 构造辅助函数 . (3)放缩法：若所构造函数最值不易求解，可将 所证明不等式进行放缩，再重新构造函数 . (4)主元法：对于 (或可化为 )f(x1， x
20、2) A 的不等式，可选 x1(或 x2)为主元，构造函数 f(x， x2)(或 f(x， x1). 2.利用导数解决不等式恒成立问题的 “ 两种 ” 常用方法 (1)分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围 .一般地， f(x) a 恒成立，只需 f(x)min a 即可； f(x) a 恒成立，只需 f(x)max a 即可 . (2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值 (最值 )，然后构建不等式求解 . 3.不等式的恒成立与能成立问题 (1)f(x) g(x)对一切 x I 恒成
21、立 I 是 f(x) g(x)的解集的子集 f(x) g(x)min 0(x I). (2)f(x) g(x)对 x I 能成立 I 与 f(x) g(x)的解集的交集不是空集 f(x) g(x)max 0(x I). (3)对 x1， x2 I 使得 f(x1) g(x2)f(x)max g(x)min.(4)对 x1 I， x2 I 使得 f(x1) g(x2)f(x)min g(x)min. 热点一 导数与不等式 微题型 1 利用导数证明不等式 【 例 1 1】 已知函数 f(x) ex ln(x m). (1)设 x 0 是 f(x)的极值点，求 m，并讨论 f(x)的单 调性； (2
22、)当 m 2 时，证明 f(x)0. 微题型 2 不等式恒成立求参数范围问题 【 例 1 2】 (1)已知函数 f(x) ax 1 ln x， a R. 讨论函数 f(x)的单调区间； 若函数 f(x)在 x 1 处取得极值，对 x (0， )， f(x) bx 2 恒成立，求实数 b 的取值范围 . (2)设 f(x) xln xx 1，若对 x 1， )， f(x) m(x 1)恒成立，求 m 的取值范围 . 【 训练 1】 (2015武汉模拟 )设函数 f(x) 1 x2 ln(x 1). (1)求函数 f(x)的单调区间； (2)若不等式 f(x) kxx 1 x2(k N*)在 (0
23、， )上恒成立，求 k 的最大值 . - 10 - 热点二 存在与恒成立问题 【 例 2】 (2015南昌模拟 )已知函数 f(x) ln x ax 1 ax 1(a R). (1)当 a 12时，讨论 f(x)的单调性； (2)设 g(x) x2 2bx 4，当 a 14时，若对任意 x1 (0， 2)，存在 x2 1， 2，使f(x1) g(x2)，求实数 b 的取值范围 . 【 训练 2】 (2015秦皇岛模拟 )已知函数 f(x) ln x x2 ax(a 为常数 ). (1)若 x 1 是函数 f(x)的一个极值点，求 a 的值； (2)当 0 a 2 时，试判断 f(x)的单调性；
24、 (3)若对任意的 a (1， 2)， x0 1， 2，不等式 f(x0) mln a 恒成立，求实数 m 的取值范围 . 1.不等式恒成立、能成立问题常用解法有： (1)分离参数后转化为最值，不等式恒成立 问题在变量与参数易于分离的情况下，采用分离参数转化为函数的最值问题，形如 a f(x)max或 a f(x)min. (2)直接转化为函数的最值问题，在参数难于分离的情况下，直接转化为含参函数的最值问题，伴有对参数的分类讨论 . (3)数形结合 . 2.利用导数证明不等式的基本步骤 (1)作差或变形 ； (2)构造新的函数 h(x)； (3)利用导数研究 h(x)的单调性或最值 ； (4)
25、根据单调性及最值，得到所证不等式 . 3.导数在综 合应用中转化与化归思想的常见类型 (1)把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题； (2)把证明不等式问题转化为函数的单调性问题； (3)把方程解的问题转化为函数的零点问题 . 一、选择题 1.已知函数 f(x) 13x3 2x2 3m， x 0， )，若 f(x) 5 0 恒成立，则实数 m 的取值范围是 ( ) A. 179 ， B. 179 ， C.( ， 2 D.( ， 2) 2.若存在正数 x 使 2x(x a) 1 成立，则 a 的取值范围是 ( ) A.( ， ) B.( 2， ) C.(0， ) D.( 1， ) 3.(201
26、5合肥模拟 )当 x 2， 1时，不等式 ax3 x2 4x 3 0 恒成立，则实数 a 的取值范围是 ( ) A. 5， 3 B. 6， 98 C. 6， 2 D. 4， 3 4.(2015全国 卷 )设函数 f(x)是奇函数 f(x)(x R)的导函数， f( 1) 0，当 x0 时， xf(x) f(x) 0，则使得 f(x)0 成立的 x 的取值范围是 ( ) A.( ， 1) (0， 1) B.( 1， 0) (1， ) C.( ， 1) ( 1， 0) D.(0， 1) (1， ) 5.已知函数 f(x) 2ax3 3ax2 1， g(x) a4x 32，若任意给定的 x0 0，
27、2，总存在两个不同的 xi(i 1， 2) 0， 2，使得 f(xi) g(x0)成立，则实数 a 的取值范围是 ( ) A.( ， 1) B.(1， ) C.( ， 1) (1， ) D. 1， 1 二、填空题 6.设函数 f(x) ax3 3x 1(x R)，若对于任意 x 1， 1，都有 f(x) 0 成立，则实数 a 的值为 _. 7.已知函数 f(x) x2 mx 1，若对于任意 x m， m 1，都有 f(x) 0 成立，则实数 m 的取值范围是 _. 8.已知函数 f(x) x 1x 1， g(x) x2 2ax 4，若对于任意 x1 0， 1，存在 x2 1， 2，使 f(x1
28、) g(x2)，则实数 a的取值范围是 _. 三、解答题 9.(2015天津卷改编 )已知函数 f(x) nx xn， x R，其中 n N*， n 2. (1)讨论 f(x)的单调性； (2)设曲线 y f(x)与 x 轴正半轴的交点为 P，曲线在点 P 处的切线方程为 y g(x)，求证：对于任意的正实数 x，都有 f(x) g(x). 10.(2014新课标全国 卷 )设函数 f(x) aexln x bex 1x ， 曲线 y f(x)在点 (1， f(1)处的切线方程为 y e(x 1) 2. (1)求 a， b； (2)证明： f(x) 1. 11.已知函数 f(x) mxx2 n(m， n R)在 x 1 处取得极值 2. (1)求函数 f(x)的解析式； (2)设函数 g(x) ln x ax，若对任意的 x1 R，总存在 x2 1， e，使得 g(x2) f(x1) 72，求实数 a 的取值范围 .
