极坐标与参数方程知识点总结.doc

1、 1 第一部分：坐标系与参数方程 【考纲知识梳理】 1平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点 ,在变换 0, 0,: yy xx的作用下 ,点 yxP, 对应到点 yxP , ,称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 ,简称伸缩变换 . 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图 (1)所示 ,在平面内取一个定点 O ,叫做极点 ,自极点 O 引一条射线 Ox ,叫做极轴 ;再选定一个长度单位 ,一个角度单位 (通常取弧度 )及其正方向 (通常取逆时针方向 ),这样就建立了一个极坐标系 . 注 :极坐标系以角这一平面图形为几何背景 ,而平面直角坐标系以互相垂

2、直的两条数轴为几何背景 ;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系 ,而极坐标系则不可 .但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系 . (2)极坐标 设 M 是平面内一点 ,极点 O 与点 M 的距离 |OM|叫做点 M 的极径 ,记为 ;以极轴 Ox 为始边 ,射线 OM 为终边的角 xOM 叫做点 M 的极角 ,记为 .有序数对 , 叫做点 M 的极坐标 ,记作 M , .一般地 ,不作特殊说明时 ,我们认为 ,0 可取任意实数 .特别地 ,当点 M 在极点时 ,它的极坐标为 R,0 。 和直角坐标不同 ,平面内一个点的极坐标有无数种表示 .如果规定 20,0 ,那么除极点外 ,平面

3、内的点可用唯一的极坐标 , 表示 ;同时 ,极坐标 , 表示的点也是唯一确定的 . 3.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景 :把直角坐标系的原点作为极点 ,x 轴的正半轴作为极轴 ,并在两种坐 标系中取相同的长度单位 ,如图 (2)所示 : (2)互化公式 :设 M 是坐标平面内任意一点 ,它的直角坐标是 yx, ,极坐标是 0, ,于是极坐标与直角坐标的互化公式如表 : 点 M 直角坐标 yx, 极坐标 , 互化公式 sincosyx 0tan222xxyyx 在一般情况下 ,由 tan 确定角时 ,可根据点 M 所在的象限最小正角 . 4.常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程

4、2 圆心在极点 ,半径为 r 的圆 20 r 圆心为 0,r ,半径为 r 的圆 222 r 圆心为 2,r,半径为 r 的圆 0s in2r 过极点 ,倾斜角为 的直线 (1) RR 或 (2) 00 或 过点 0,a ,与极轴垂直的直线 22c o s a 过点 2,a,与极轴平行的直线 0s in a 注 :由于平面上点的极坐 标的表示形式不唯一 ,即 ,2, 都表示同一点的坐标 ,这与点的直角坐标的唯一性明显不同 .所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式 ,只要求至少有 一 个能 满足 极坐 标 方程 即可 . 例如 对 于极 坐标 方程 点 4,4 M可 以 表示 为 45,424

5、,424,4 MMM 或或等多种形式 ,其中 ,只有 4,4 M 的极坐标满足方程 . 二、参数 方程 1.参数方程的概念 一般地 ,在平面直角坐标系中 ,如果曲线上任意一点的坐标 yx, 都是某个变数 t 的函数 tgy tfx ,并且对3 于 t 的每一个允许值 ,由方程组所确定的点 yxM , 都在这条曲线上 ,那么方程就叫做这条曲线的参数方程 ,联系变数 yx, 的变数 t 叫做参变数 ,简称参数 ,相对于参数方程而言 ,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程 . 2.参数方程和普通方程的互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式 ,一般地可以通过消去参数而从参数方程得

6、到普通方程 . (2)如果知道变数 yx, 中的一个与参数 t 的关系 ,例如 tfx ,把它代入普通方程 ,求出另一个变数与参数的关系 tgy ,那么 tgy tfx就是曲线的参数方程 ,在参数方程与普通方程的互化中 ,必须使 yx, 的取值范围保持一致 . 注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。 3圆的参数 如图所示，设圆 O 的半径为 r ，点 M 从初始位置 0M 出发，按逆时针方向在圆 O 上作匀速圆周运动，设M yx, ，则 为参数 s inc o sry rx。

7、这就是圆心在原点 O ，半径为 r 的圆的参数方程，其中 的几何意义是 0OM 转过的角度。圆心为 ba, ，半径 为 r 的圆的普通方程是 222 rbyax ， 它的参数方程为： 为参数 s inc o srby rax。 4椭圆的参数方程 以坐标原点 O 为中心，焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程为 012222 babyax 其参数方程为 为参数 s inc o sby ax ，其中参 数 称为离 心角 ；焦点 在 y 轴上的椭圆 的标准 方程是 012222 babxay 其参数方程为 为参数 s inc o say bx 其中参数 仍为离心角，通常规定参数 的范围为 2,0 。 注：

8、椭圆的参数方程中，参数 的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角 区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在 0 到 2 的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。但当 20 时，相应地也有 20 ，在其他象限内类似。 5双曲线的参数方程 4 以坐标原点 O 为中心，焦点在 x 轴上的双曲线的标准议程为 0,012222 babyax 其参数方程为 为参数 ta ns e cby ax ，其中 23,22,0 且 。 焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程是 0,012222 babxay 其参数方程为 为参数 c s cc o tay bx，其中 且2.

9、0 以上参数 都是双曲线上任意一点的离心角。 6抛物线的参数方程 以坐标原点为顶点 ，开口向右的抛物线 022 ppxy 的参数方程为 为参数tpty ptx 222 7直线的参数方程 经过点 000 ,yxM ，倾斜角为 2的直线 l 的普通方程是 00 tan xxyy 而过 000 ,yxM ，倾斜角为 的直线 l 的参数方程为 为参数ttyy txx s incos00。 注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点 000 ,yxM ，倾斜角为 的直线 l 的参数方程为 为参数ttyy txx s incos00 ，其中 t 表示直线 l 上以定点 0M 为起点，任一点 yxM , 为终

10、点的有向线段MM0 的数量，当点 M 在 0M 上方时， t 0；当点 M 在 0M 下方时， t 0；当点 M 与 0M 重合时， t =0。我们也可以把参数 t 理解为以 0M 为原点，直线 l 向上的方向为正方向的数轴上的点 M 的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。 【要点名师透析】 一、坐标系 （一）平面直角坐标系中的伸缩变换 例在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换 yy xx/2 3:（ 1）求点 2,31A经过 变换所得的点 A 的坐标； （ 2）点 B经过 变换得到点 1( 3, )2B ，求点 B 的坐标； 5 （ 3）求直线 :6l y x 经过 变换后所得到直

11、线的 l 方程； （ 4）求双曲线22:164yCx经过 变换后所得到曲线 C 的焦点坐标。 （二）极坐标与直角坐标的互化 例 2在极坐标系中，如果 5(2, ), (2, )44AB为等边三角形 ABC 的两个顶点，求顶点 C 的极坐标( 0, 0 2 ) 。 （三）求曲线的极坐标方程 例已知 P， Q 分别在 AOB的两边 OA， OB上， AOB= 3 ， POQ 的面积为 8，求 PQ 中点 M 的极坐标方程。 （四）极坐标的应用 例如图，点 A在直线 x=4 上移动， OPA为等腰直角三角形， OPA的顶角为 OPA（ O， P， A依次按顺时针方向排列），求点 P 的轨迹方程，并判

12、断轨迹形状。 二、参数方程 （一）把参数方程化为普通方程 例已知曲线 C ： （ t 为参数）， C ： （ 为参数）。 （ 1）化 C ， C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （ 2）若 C 上的点 P 对应的参数为 2t ， Q 为 C 上的动点，求 中点 到直线 ty txC 2 23:3（ t 为参数）距离的最小值。 （二）椭圆参数方程的应用 在平面直角坐标系 中，点 是椭圆 上的一个动点，求的最大值 解答： 6 （三）直线参数方程的应用 例过点 作倾斜角为 的直线与曲线 交于点 ，求 的值及相应的 的值。 解析： （四）圆的参数方程的应用 例已知曲线 C 的参数方程是

13、 为参数 )，且曲线 C 与直线 =0 相交于两点 A、 B （ 1）求曲线 C 的普通方程； （ 2）求弦 AB 的垂直平分线的方程（ 3）求弦 AB 的长 【感悟高考真题】 1在极坐标系中，点（ 2， 3 ）到圆 2cos 的圆心的距离为 ( ) （ A） 2 (B) 249 (C) 219 （ D) 3 2在极坐 标系中，圆 2sin 的圆心的极坐标是（ ） （ A） (1, )2 （ B） (1, )2 （ C） (1,0) （ D） (1, ) 3在直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为 sin1cosyx, ).( 为参数 在极坐标系（与直角坐标系xOy 有相同的长度单位

14、，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，曲线 2C 的方程为21,01)s i n( c os CC 与则 的交点个数为 _ 4直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为 sin3cos2yx).( 为参数 在极坐标系（与直角坐标系 xOy取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中 ，曲线 2C 的方程为21,01)s i n( c os CC 与则 的交点个数为 _ 7 5.（ 1）（坐标系与参数方程选做题）若曲线的极坐标方程为 = 2sin 4cos ，以极点为原点，极轴为 x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为 . 6（ 2011陕西

15、高考理科 T15C） 直角坐标系 xoy 中，以原点为极点 ， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点 A， B分别在曲线 1C ：3 cos4 sinxy （ 为参数）和曲线 2C ： 1 上，则 |AB 的最小值为 7（坐标系与参数方程 选做题）直角坐标系 xOy 中，以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点 A， B分别在曲线 1C ：3 cossinxy （ 为参数）和曲线 2C ： 1 上，则 |AB 的最小值为 8.（ 2011.天津高考理科 .T11） .已知抛物线 C 的参数方程为 ty tx 882 （ t 为参数）若斜率为 1 的直线经过抛物线 C 的焦点，且

16、与圆 ( ) 2 224 ( 0)x y r r- + = 相切，则 r =_. 9.（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为5 co s (0 )sinxy 和25 ()4xttRyt ，它们的交点坐标为 . 10 （ 2） 在直 角 坐标系 xOy 中，直线 l 的方程为 x-y+4=0，曲线 C 的参数方程为x 3c o sy sin （ 为 参 数 ）.（ I）已知在极坐标 系 （与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，点 P 的极坐标为 2,4，判断点 P 与直线 l 位置关系； （ II）设点 Q 是曲线 C 上的一个动

17、点，求它到直线 l 的距离的最小值 . 11.选修 4-4：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，求过椭圆5cos3sinxy （ 为参数）的右焦点，且与直线423xtyt （ t 为参数）平行的直线的普通方程。 12.（ 2011新课标全国高考理科 23）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为2 cos2 2sinxy （ 为参数） M 是 C1 上的动点， P 点满足 2OP OMuuuv uuuv ,P 点的轨迹为曲线 C2 ( )求 C2 的方程 ( )在以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 3 与 C1 的异于极点的交点

18、为 A，与 C28 的异于极点的交点为 B，求 AB . 13.（ 2011新课标全 国高考 文 科 23）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 2 cos2 2sinxy （ 为参数） M 是 C1 上的动点， P 点满足 2OP OMuuuv uuuv ,P 点的轨迹为曲线 C2 ( )求 C2 的方程 ( )在以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 3 与 C1 的异于极点的交点为 A，与 C2的异于极点的交点为 B，求 AB . 14.（ 2011辽宁高考理科 23） （本小题满分 10 分）（选修 4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中

19、， 曲 线 C1 的 参 数 方 程 为 )(,s in ,c o s 为参数yx， 曲 线 C2 的 参 数 方 程 为 ),0(,s in ,c o s 为参数 baby ax .在以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 l： =a 与C1， C2 各有一个交点当 a=0 时，这两个交点间的距离为 2，当 a=2 时，这两个交点重合 （ I）分别说明 C1， C2 是什么曲线，并求 出 a 与 b 的值； （ II）设当 = 4 时， l 与 C1， C2 的交点分别为 A1， B1，当 a=-4 时， l 与 C1， C2 的交点为 A2， B2，求四边形 A1A2B2

20、B1 的面积 15. 极坐标 cosp 和参数方程12xtyt （ t 为参数）所表示的图形分别是（ D） A. 直线、直线 B. 直线、圆 C. 圆、圆 D. 圆、直线 16极坐标方程（ p-1）（ ） =（ p 0）表示的图形是 （ A）两个圆 （ B）两条直线 （ C）一个圆和一条射线 （ D）一条直线和一条射线 17 在极坐标系（ ， ）（ 0 0， 0)可写为 _ 4过点 2， 4 平行于极轴的直线的极坐标方程是 ( ) A cos 4 B sin 4 C sin 2 D cos 2 答案： C 5曲线的参数方程是 x 1 1ty 1 t2(t 是参数， t0)，它 的普通方程是 (

21、 ) A (x 1)2(y 1) 1 B y C y x1 x2 1 D y 1 1 6直线 cos 2 关于直线 4对称的直线方程为 ( ) A cos 2 B sin 2 C sin 2 D 2sin 7已知直线 l 的参数方程为 x 1 22 ty 2 22 t(t 为参数 )，则直线 l 的斜率为 ( ) A 1 B 1 C. 22 D 22 8直线 3x 4y 9 0 与圆： x 2cos y 2sin ， (为参数 )的位置关系是 ( ) A相切 B相离 C直线过圆心 D相交但不过圆心 9设直线过极坐标系中的点 M(2,0)，且垂直于极轴，则它的极坐标方程为 _ 10在极坐标系中，

22、直线 sin 4 2 被圆 4 截得的弦长为 _ 二、填空题 11在极坐标系中，直线 6截圆 2cos 6 ( R)所得的弦长是 _ 12直线 2x 3y 1 0 经过变换可以化为 6x 6y 1 0，则坐标变换公式是 _ 13（皖南八校 2011 届高三第二次联考）已知平面直角坐标系 xOy 内，直线 l 的参数方程式为 2xtyt （ t10 为参数），以 Ox 为极轴建立极坐标系（取相同的长度单位），圆 C的极坐标方程为 2 2 sin( )4，则直线 l 的圆 C的位置关系是 。 14.已知曲线的参数方程为 sincos00 tyy txx ,分别以 t 和 为参数得到两条不同的曲线

23、,这两条曲线公共点个数为 . 15.已知 2x2+3y2-6x=0 （ x,y R），则 x2+y2 的最大值为 . 16.从极点 O 作直线与另一直线 l cos =4 相交于点 M，在 OM上取一点 P，使 OM OP=12，则点 P的轨迹方程为 . 三、解答题 17在极坐标系中，已知圆 C 的圆心 C 3， 6 ，半径 r 3， (1)求圆 C 的极坐标方程； (2)若 Q 点 在圆 C 上运动， P 在 OQ 的延长线上，且 |OQ| |QP| 3 2，求动点 P 的轨迹方程 18在极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 3( R)，以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线 C 的参数方程为 x 2cos ，y 1 cos 2 (为参数 )，求直线 l 与曲线 C的交点 P 的直角坐标