1、 1 高中数学试题 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 3分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1、 已知集合 1, 2,3, 4,5A , ( , ) , , B x y x A y A x y A ； ,则 B 中所含元素的个数为 （ ） ()A 3 ()B 6 ()C ()D 2、 为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学 .初中 .高中三个学段学生的 视力情况有较大 差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 （ ） A.简单随机抽样 B.按性别分层抽样 C.按学段分层抽
2、样 D.系统抽样 3、 设函数 ()fx， ()gx的定义域都为 R，且 ()fx是奇函数， ()gx是偶函数，则下列结论中正确的是 （ ） （ A） ( ) ( )f xg x 是偶函数 （ B） ( )| ( )|f x g x 是奇函数 （ C） | ( )| ( )f x g x 是奇函数 （ D） | ( ) ( )|f x g x 是奇函数 4、 直线 L 过点 P( 1,2)，且与以 A( 2， 3)， B(4,0)为端点的线段相交，则 L 的斜率的取值范围是 ( ) A. 25， 5 B. 25， 0 (0,5 C. ， 25 5， ) D. 25， 2 2 ， 5 5、 如果
3、执行右边的程序框图，输入正整数 ( 2)NN 和实数 12, ,., na a a ，输出 ,AB，则（ ） ()A AB 为 12, ,., na a a 的和 ()B 2AB 为 12, ,., na a a 的算术平均数 ()C A 和 B 分别是 12, ,., na a a 中最大的数和最小的数 ()D A 和 B 分别是 12, ,., na a a 中最小的数和最大的数 6、 设等差数列 na 的前 n 项和为 11, 2 , 0 , 3n m m mS S S S ，则 m ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 2 7.若直线 y=kx+1 与圆 x2+y2+kx+my-4=
4、0 交于 M,N 两点 ,且 M,N关于直线 x+2y=0 对称 ,则实数 k+m= ( ) A.-1 B.1 C.0 D.2 8、 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （ ） A 16 8 B 88 C 16 16 D 8 16 （第 8 题） （第 9 题） 9、 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8cm，将 一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为 （ ） A. 35003 cm B. 38663 cm C. 313723 cm D. 320483 cm 10、 如图的矩形长为 5、宽为 2，在
5、矩形内随机地撒 300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为 138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为 ( ) A.235 B.2350 C. 10 D不能估计 11、 已知函数 ()fx2 2 , 0ln( 1), 0x x xxx ，若 |()fx|ax，则a的取值范围是（ ） A( ,0B( ,1C 2,1 D 2,0 12、阅读下列一段材料，然后解答问题：对于任意实数 x，符号 x表示“不超过 x 的最大整数”，在数轴上，当 x 是整数， x就是 x，当 x 不是整数时， x是点 x 左侧的第一个整数点，这个函数叫做“取整函数”，也叫高斯 (Gauss)函数如 -2=-2， -1.5=-
6、 2， 2.5=2,则2 2 2 2 211 + 1 + 3 + 443log log log log log的值为 ( ) A、 0 B、 -2 C、 -1 D、 l 3 二填空题：本大题共 4 小题，每小题 4分。 （ 13）已知向量 ,ab夹角为 45 ，且 1, 2 10a a b ；则 _b (14) 设 ,xy满足约束条件：,013xyxyxy ；则 2z x y 的取值范围为 （ 15）已知 A ， B ， C 为圆 O 上的三点，若 1 ()2AO AB AC，则 AB 与 AC 的夹角为_ （ 16）已知 a ， b ， c 分别为 ABC 三个内 角 A ， B ， C 的
7、对边，( 2 ) ( s i n s i n ) ( ) s i nb A B c b C ，且 2a ，则 ABC 面积的最大值为 _ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17 （本小题满分 8 分） 高一军训时，某同学射击一次，命中 10 环， 9 环， 8 环的概率分别为 0.13,0.28,0.31. (1)求射击一次，命中 10 环或 9 环的概率； (2)求射击一次，至少命中 8 环的概率； (3)求射击一次，命中环数小于 9 环的概率 4 18、 （本小题满分 8 分）已知 ,abc分别为 ABC 三个内角 ,ABC 的对边，c o s 3 s in 0a C
8、a C b c （ 1）求 A （ 2）若 2a ， ABC 的面积为 3 ；求 ,bc。 5 19、 （本小题满分 8 分）已知数列 na 的前 n 项和为 nS ， 1 1a ， 0na ， 1 1n n na a S ，其中 为常数 （ ）证明： 2nnaa ； （ ）是否存在 ，使得 na 为等差数列？并说明理由 6 20、 （本小题满分 8 分 ） 定义在实数集 R上的函数 y= f（ x）是偶函数，当 x 0 时，24 8 3f x x x （） . （）求 f（ x）在 R上的表达式； （）求 y=f（ x）的最大值，并写出 f（ x）在 R 上的单调递增区间（不必证明） . 7
9、 21、 （本小题满分 10 分 ） 已知圆 C 的圆心在直线 y=x+1 上 ,且过点 A(1,3)与直线 x+2y-7=0相切 . (1)求圆 C的方程 . (2)设直线 l:ax-y-2=0(a0)与圆 C 相交于 A,B两点 ,求实数 a 的取值范围 . 8 22、 （本小题满分 10 分） 已知 BCD 中， BCD=90， BC=CD=1， AB平面 BCD， ADB=60， E、 F分别是 AC、 AD 上的动点，且 ( 0 1).A E A FA C A D （）求证：不论为何值，总有平面 BEF平面 ABC； （）当为 何值时，平面 BEF平面 ACD？ FEDBAC9 答案
10、 一、选择题： DCBCC CBAAA DC 二填空题： 13. 32 14. 3,3 15. 90 16. 3 17 解 设事件 “ 射击一次，命中 i 环 ” 为事件 Ai(0 i10 ，且 i N)，且 Ai两两互斥由题意知 P(A10) 0.13， P(A9) 0.28， P(A8) 0.31. (1)记 “ 射击一次，命中 10 环或 9 环 ” 的事件为 A，那么 P(A) P(A10) P(A9) 0.13 0.28 0.41. (2)记 “ 射击一次，至少命中 8 环 ” 的事件为 B，那么 P(B) P(A10) P(A9) P(A8) 0.130.28 0.31 0.72.
11、 (3)记 “ 射击一次，命中环 数小于 9 环 ” 的事件为 C，则 C 与 A 是对立事件， P(C) 1 P(A) 1 0.41 0.59. 18.（ 1）由正弦定理得： c o s 3 s i n 0 s i n c o s 3 s i n s i n s i n s i na C a C b c A C A C B C sin c o s 3 sin sin sin ( ) sin13 sin c o s 1 sin ( 3 0 )23 0 3 0 6 0A C A C a C CA A AAA （ 2） 1 s i n 3 42S b c A b c 2 2 2 2 c o s 4
12、a b c b c A b c 解得： 2bc 19.解：（ ）由题设， 1 1n n na a S ， 1 2 1 1n n na a S 两式相减得 1 2 1()n n n na a a a 由于 1 0na ，所以 1nnaa （ ）由（ ）知 3 1a 令 2 1 32a a a，解得 4 故 2 4nnaa ，由此可得 21na 是首项为 1，公差为 4 的等差数列， 21 43nan ； 10 2na 是首项为 3，公差为 4的等差数列， 2 41nan 所以 21nan， 1 2nnaa 因此存在 4 ，使得 na 为等差数列 20.解：（）设 x 0，则 - x 0， 22(
13、 ) 4 ( ) 8 ( ) 3 4 8 3f x x x x x f（ x）是偶函数， f（ -x） =f（ x） x 0 时， 2( ) 4 8 3f x x x )0(,384 )0(,384)(22xxx xxxxf （ 2） f(x)=-4x2-8x-3=-4(x-1)2+1 f(x)最大值是 1 f(x)单调增区间为（ -， -1），（ 0,1） 21.【解析】 (1)设圆心坐标为 (a,a+1),则由题意得 , = , 解得 :a=0,所以圆心坐标为 (0,1),半径 r= = ,所以圆 C的方程为 x2+(y-1)2=5. (2)把直线 ax-y-2=0,即 y=ax-2代入圆
14、的方程 ,消去 y整理 ,得 (a2+1)x2-6ax+4=0.由于直线ax-y-2=0 交圆 C于 A,B两点 , 故 =36a2-16(a2+1)0. 即 5a2-40,由于 a0,解得 a . 所以实数 a的取值范围是 ( ,+ ). 22、证明：（） AB平面 BCD， AB CD， CD BC 且 AB BC=B， CD平面 ABC. 又 ),10( ADAFACAE 不论为何值 ，恒有 EF CD， EF平面 ABC， EF 平面 BEF, 不论为何值恒有平面 BEF平面 ABC. （）由（）知， BE EF，又平面 BEF平面 ACD， BE平面 ACD， BE AC. BC=CD=1， BCD=90， ADB=60， ,660t a n2,2 ABBD ,722 BCABAC 由 AB2=AE AC 得 ,76,76 ACAEAE 故当 76 时，平面 BEF平面 ACD.
