1、第 11章 热力学基础 11 1 在水面下 50.0 m深的湖底处（温度为4.0），有一个体积为 1.010-5 m3的空气泡升到湖面上来，若湖面的温度为 17.0，求气泡到达湖面的体积。（大气压 P0 = 1.013105 Pa） 分析： 将气泡看成是一定量的理想气体，它位于湖底和上升至湖面代表两个不同的平衡状态。利用理想气体物态方程即可求解本题。位于湖底时，气泡内的压强可用公式 ghpp 0 求出，其中 为水的密度（常取 = 1.0103 kgm3）。 解： 设气泡在湖底和湖面的状态参量分别为（ p1，V1， T1）和（ p2， V2， T2）。由分析知湖底处压强为 ghpghpp 021
2、 。 利用理想气体的物态方程可得空气泡到达湖面的体积 3510120121212 m1011.6 Tp VTghpTp VTpV 11 2 氧气瓶的容积为 3.210-2 m3，其中氧气的压强为 1.30107 Pa，氧气厂规定压强降到 1.00106 Pa时，就应重新充气，以免经常洗瓶。某小型吹玻璃车间，平均每天用去 0.40 m3 压强为 1.01105 Pa的氧气，问一瓶氧气能用多少天？（设使用过程中温度不变） 分析： 由于使用条件的限制，瓶中氧气不可能完全被使用。从氧气质量的角度来分析。利用理想气体物态方程 pV = mRT/M 可以分别计算出每天使用氧气的质量 m3 和可供使用的氧气
3、总质量（即原瓶中氧气的总质量 m1 和需充气时瓶中剩余氧气的质量 m2 之差），从而可求得使用天数 321 /)( mmmn 。 解： 根据分析有 RT VMpmRT VMpmRT VMpm 333122111 ； 则一瓶氧气可用天数 5.933121321 Vp Vppm mmn 11 3 一抽气机转速 =400rmin-1，抽气机每分钟能抽出气体 20 升。设容器的容积 V0=2.0 升，问经过多长时间后才能使容器内的压强由 1.01105 Pa 降为133Pa。设抽气过程中温度始终不变。 分析： 抽气机每打开一次活门 , 容器内气体的容积在等温条件下扩大了 V，因而 压强有所降低。活门关
4、上以后容器内气 体的容积仍然为 V0 。下一次又如此变化，从而建立递推关系。 解： 抽气机抽气体时，由玻意耳定律得： 活塞运动第一次 ： )( 0100 VVpVp 00 01 pVV Vp 活塞运动第二次 ： )( 0201 VVpVp 02001002 pVV VpVV Vp 活塞运动第 n 次： )( 001 VVpVp nn nn VV Vpp 0 00VV Vnppn n 0 00ln 抽气机每次抽出气体体积 l05.0l)4 0 0/20( V 0.20V Pa1001.1 50 p Pa133np 将上述数据代入（ 1）式，可解得 276n 。则 s40s60)4 0 0/2 7
5、 6( t 11 4 l.0 mol 的空气从热源吸收了热量2.66105J，其内能增加了 4.18105J，在这过程中气体作了多少功？是它对外界作功，还是外界对它作功？ 解： 由热力学第一定律得气体所作的功为 J1052.1 5 EQW 负号 表示外界对气体作功。 11 5 1mol 双原子分子的理想气体 ， 开始时处于 P1=1.01105Pa ，V1=10-3m3 的状态。然后经 本题 图示直线过程 变到 P2=4.04105Pa ，V2=210-3m3 的状态。后又经过程方程为 PV1/2=C（ 常量 ） 的过程 变到压强 P3=P1=1.01105Pa 的P O V II I 习题
6、11 5图 1 2 3 状态。求： （ 1） 在过程 中的气体吸收的热量； （ 2）整个过程气体吸收的热量。 解： （ 1）在过程 I 中气体对外作的功 2/)( 12211 VVppA 在过程 I 中气体内能增量 )(25)(25 1122121 VpVpTTRE 在过程 I 中气体吸收的热量 JEAQ 311 1002.2 （ 2）在过程 II 中气体对外作的功 )(2 2233222 3232 VpVpVdVVppdVA VVVV 由 常量21pV 可算得 333 1032 mV ，带入上式得 JA 32 1085.4 整个过程中气体对外作功 JAAA 321 101.5 整个过程中气体
7、内能增量 JTTRE 313 1083.7)(25 整个过程中气体吸收的热量 JAEQ 41029.1 11 6 如本题图所示，系统从状态 A 沿 ABC 变化到状态 C的过程中，外界有 326J 的热量传递给系统，同时系统对外作功 126J。当系统从状态 C 沿另一曲线返回到状态 A 时，外界对系统作功为 52J，则此过程中系统是吸热还是放热？传递热量是多少？ 分析： 已知系统从状态 C 到状态 A，外界对系统作功为 WCA，如果再能知道此过程中内能的变化为CAE ，则由热力学第一定律即可求得该过程中系统传递的热量 QCA。由于理想气体的内能是状态（温度）的函数，利用题中给出的 ABC 过程
8、吸热、作功的情况，由热力学第一定律即可求得由 A 至 C 过程中系统内能的变化 ACE ，而 CAAC EE ，故可求得 QCA。 解： 系统经 ABC 过程所吸收的热量及对外所作的功分别为 J1 2 6J,3 2 6 A BCA BC WQ 则由热力学第一定律可得由 A 到 C 过程中系统内 能的增量 J2 0 0A B CA B CAC WQE 由此可得从 C 到 A，系统内能的增量 J200CA E 从 C 到 A，系统所吸收的热量为 J2 5 2CACACA WEQ 式中负号表示系统向外界放热 252 J。这里要说明的是由于 CA 是一未知过程。上述求出的放热是过程的总效果，而对其中每
9、一微小过程来讲并不一定都是放热。 12 7 空气由压强为 1.52105 Pa，体积为 5.010 3 m3，等温膨胀到压强为 1.01105 Pa，然后再经等压压缩到原来的体积。试计算空气所作的功。 解： 空气在等温膨胀过程中所作的功为 2111121T lnln ppVpVVRTMmW 空气在等压压缩过程中所作的功为 212p d VVpVpW 利用等温过程关系 2211 VpVp ， 则空气在整个过程中所作的功为 J7.55ln 11122111pT VpVpppVpWWW 12 8 如本题图所示，使 l mol 氧气（ 1）由 A 等温地变到 B；（ 2）由 A 等体地变到 C，再由
10、C 等压地变到 B，试分别计算氧气所作的功和吸收的热量。 分析： 从 p V 图上可以看出，氧气在 AB 与 ACB两个过 程中 所作的 功是 不同 的，其 大小 可通过习题 11 6 图 习题 11 8 图 VVpW d 求出。考虑到内能是状态的函数，其变化值与过程无关，所以这两个不同过程的内能变化是相同的，而且因初、末状态温度相同 BA TT ，故0E ，利用热力学第一定律 EWQ ，可求出每一过程所吸收的热量。 解： （ 1）沿 AB 作等温膨胀的过程中，系统作功 J1077.2lnln 3ABAAABAB VVVpVVRTMmW由分析可知在等温过程 中，氧气吸收的热量为 J1077.2
11、 3ABAB WQ （ 2）沿 A 到 C 再到 B 的过程中系统作功和吸热分别 J100.2 3CBCCBCBACA C B VVpWWWW J100.2 3A C BA C B WQ 11 9 一定量的某单原子分子理想气体装在封闭的气缸里 ， 此气缸有可活动的活塞 （ 活塞与气缸壁之间无摩擦且无漏气 ） 。已知气体的初压强 P1=1atm,体积 V1=10-3m3，现将该气体在等压下加热直到体积为原来的两倍 ,然后在等体下加热 ,到压强为原来的 2 倍 ,最后作绝热膨胀 ,直到温度下降到初温为止 ,试求：在整个过程中气体内能的改变、吸收的热量和所作的功。 解： 因为14 TT，所以内能增量
12、为零。 JppVVVpQ 2111111 106.5)2(223)2(25 JQA 2106.5 11 10 有 1mol 刚性多原子分子的理 想气体 ,原来的压强为 1.0atm,温度为 27 ,若经过一绝热过程 ,使其压强增加到 16atm。试求 :(1) 气体内能的增量； (2) 在该过程中气体所作的功； (3) 终态时气体的分子数密度。 解： （ 1） KppTT 6 0 012112 JTTRiME 312 10479.7)(2 （ 2） JEA 310479.7 （ 3） 32622 /1096.1 mkTpn 个 11 11 有一绝热的圆柱形的容器，在容器中间放置一无摩擦、绝热的
13、可动活塞，活塞两侧各有 摩尔同种单原子分子 理想气体，初始时， 两侧的 压强、体积、温度均为（ P0， V0， T0） 。气体的 定容摩尔热容量 为 CV 3R/2。现将一通电线圈放在活塞左侧气体中，对气体缓慢加 热。左侧气体膨胀，同时压缩右方气体，最后使右方气体体积为 V2 V0/8。求：（ 1）左、 右两侧气体的终温是多少 ?（ 2） 左侧气体吸收了多少热量 ?解： （ 1）右则气体经历一绝热过程，初态 000 TVP 、终态 222 TVP ，由方程 122100 VTVT 得出右侧气体末态温度： 0013/501202 48 TTTVVT 由理想气体物态方程，右侧气体终态压强为 002
14、 2002 32 PTV TVPP 由于活塞是可动的，左、右两侧的压强应相同：021 32PPP ， 左侧末态体积： 0201 8152 VVVV 左侧气体末态温 ：00000 111 6081532 TTTVP VPT （ 2） 000021 936223)2(UUWVPTRTTTCUQV 右左右左左 11 12 如本题图所示， 有一除底部外都是绝热的气筒，被一位置固定的导热板隔成相等的两部分 A 和 B，其中各盛有一摩尔的理想气体氮。今将 334.4J 的热量缓慢地由底部供给气体，设活塞上的压强始终保持为 1.01105Pa，求 A 部和 B 部温度的改变以及各吸收的热量 (导热板的热容可
15、以忽略 )。若将位置固定的导热板换成可以自由滑动的 绝热隔板，重复上述讨论。 解： （ 1）导热板固定， A 中气体为等容加热； B 中气体为定压膨胀，且为准静态的，搁板导热， TTT BA 习题 11 12图 TCCTCTCQ VPAVBP KRQRR QCC QTVP71.631.86 4.33462527JTRTCQ VA 4.13971.631.82525 JQQQ AB 1954.1394.334 （ 2）隔板活动， A 气体等压膨胀；隔板绝热， B 中气体温度不变。 0BQ 0BT TCQQ PA KRQCQT P 50.1131.87 4.3 3 4272 11 13 0.32
16、kg 的氧气作如本题 图所示的ABCDA 循环，设 V2 2V1， T1 300K， T2 200K，求循环效。（氧气的定体摩尔热容的实验值为 CV= 21.1 Jmol-1K-1） 分析： 该循环是正循环。循环效率可根据定义式 QW/来求出，其中 W 表示一个循环过程系统作的净功， Q 为循环 过程系统吸收的总热量。 解： 根据分析，因 AB、 CD 为等温过程，循环过程中系统作的净功为 J1076.5lnlnln31221212121CDABVVTTRMmVVRTMmVVRTMmWWW由于吸热过程仅在等温膨胀（对应于 AB 段）和等体升压（对应于 DA 段）中发生，而等温过程中 0E ，则
17、 ABAB WQ 。等体升压过程中 W = 0，则 DADA EQ ，所以，循环过程中系统 吸热的总量为 J1084.3ln 421mV,121DAABDAABTTCMmVVRTMmEWQQQ由此得到该循环的效率为 %15 QW 11 14 如本题图所示，某理想气体循环过程的V T 图。已知该气体的定压摩尔热容 CP = 2.5R，定体摩尔热容 CV = 1.5R，且 VC =2VA。试问：（ 1）图中所示循环是代表致冷机还是热机？（ 2）如是正循环（热机循环） ，求出循环效率。 分析： 以正、逆循环来区分热机和致冷机是针对 p V图中循环曲线行进方向而言的。因此，对图中的循环进行分析时，一般
18、要先将其转换为 P V 图。由图可以看出， BC 为等体降温过程， CA 为等温压缩过程；而 AB 过程为等压膨胀过程。这样，就可得出 p V 图中的过程曲线，并可判别是正循环。 解： （ 1）根据分析，将 V T 图转换为相应的 pV 图，如图所示。图中曲线行进方向是正循环，即为热机循环。 （ 2）根据得到的 p V 图可知， AB 为等压膨胀过程，为吸热过程。 BC 为等体降压过程， CA 为等温压缩过程，均为放热过程。故 系统在循环过程中吸收和放出的热量分别为 ABmp,1 TTCMmQ ACACBmV,2 ln VVRTMmTTCMmQ CA 为等温线，有 CA TT ； AB 为等压
19、线，且因AC 2VV ，则有 2BA TT 。故循环效率为 %3.12/2ln11 Amp,AAmV,12 TCRTTCQQ 11 15 有一以理想气体为工作物质的热机，其循环如本题图所示，试证明热机效率为 1112121 pp VV 分析： 该热机由三个过程组成，图中 AB是绝热过程， BC 是等压压缩过程， CA 是等体升压过程。其中 CA过程系统吸热， BC 过习题 11 13图 习题 11 14图 T V 习题 11 15图 程系统放热。本题可从效率定义 CABC12 11 QQQQ 。出发，利用热力学第一定律和等体、等压方程以及 mV,mp, / CC 的关系来证明。 证： 该热机循
20、环的效率为 CABC12 11 QQQQ 其中 CAmV,CABCmp,BC , TTCMmQTTCMmQ ， 则上式可写为 1111 CA CBCA BC TT TTTT TT 在等压过程 BC 和等体过程 CA 中分别有 2C1A2C1B , PTPTVTVT 代人上式得 1112121 pp VV ， 证毕。 5 16 汽油机可近似地看成如图所示的理想循环，这个循环也叫做奥托（ Otto）循环，其中 DE 和BC 是绝热过程。证明此热机的效率为 1)(1 BCVV 证： （ 1）该循环仅在CD 一过程中吸热，EB 过程中放热。则热机效率为 CDBECDmV,BEmV,CDEB 111 T
21、TTTTTCMmTTCMmQQ （ 2）在过程 BC 和 DE 中，分别应用绝热方程CTV 1 ，有 1CC1BB VTVT 1CD1BE VTVT 由上述两式可得 1BCCDBEVVTTTT将此结果代人（ 1）中。即可得 1BC1 VV 11 17 在夏季，假定室外温度恒定为 37，启动空调使室内温度始终保持在 17、如果每天有2.51108 J 的热量通 过热传导等方式自室外流人室内，则空调一天耗电多少？（设该空调致冷机的致冷系数为同条件下的卡诺致冷机致冷系数的 60） 分析： 耗电量的单位为 kWh， 1kWh = 3.6106 J。因为卡诺致冷机的致冷系数为 212k TTTe ，其中
22、T1 为高温热源温度（室外环境温度）， T2 为低温热源温度（室内温度）。所以，空调的致冷系数为 212k 6.0%60 TTTee 另一方面，由致冷系数的定义，有 212 QQQe 其中 Q1 为空调传递给高温热源的热量，即空调向室外排放的总热量； Q2 是空调从房间内吸取的总热量。若 Q为室外传进室内的热量，则在热平衡时 QQ 2 。由此，就可以求出空调的耗 电作功总值 21 QQW 。 解： 根据上述分析、空调的致冷系数为 7.86.0 212 TTTe 在室内温度恒定时，有 QQ 2 。由 212 QQQe 可得空调运行一天所耗电功 hkW0.8J1089.2 7221 eQeQQQW
23、 11 18 设一质量为 m 克的物体具有恒定的比热c。 (1) 当此物体由温度 T1 加热到 T2 时，其熵的变化为多少？（ 2）当温度下降却时这物体的熵是否减小？如果减小，那么在这样的过程中宇宙的总熵是否减小？ 解： （ 1） Tmc d TTdQds 习题 11 16 图 则 21 2121 TT TTSS TdTmcTm c d Tds 1212 ln TTmcSS （ 2）冷却时 T2T1， S2S1 0，即 S2 S1 熵减小 (3) 物体冷却时，周围环境的熵增加，宇宙的总熵不会减小 5 19 一黄铜棒的一端与 127的热库接触，而另一端与 27的热库接触。试问： （ 1） 当有
24、1200 卡的热量通过这棒时，在这传导过程中所发生的熵的总变化为多大？ （ 2） 在这传导过程中棒的熵是否改变？ 解： （ 1） K.J2.4k/c a l0.1)3141(123 0 01 2 0 04 0 01 2 0 0S （ 2）在这传导过程中棒的熵不改变。 5 20 让一摩尔的单原子理想气体由 压强为 P与体积为 V 的初态，经历两个不同过程改变到压强为2P 与体积为 2V 的终态。（ 1）先让此理想气体等温地膨胀到体积加倍为止，然后在恒定体积下将压强增大到终态。（ 2）先让此理想气体等温地压缩到压强加倍为止，然后在恒定压强下将体积增大到终态。试分别对此两个过程计算理想气体熵的变化。
25、 解： 熵是态函数 S=Sf Si 与路线无关 由 dRTdTCT pdvdETdQds V 有 2ln42ln4ln232lnln232lnln23 lnln112212 RRRRVPVPRVVRTTVVRTTCdRTdTCSSififTTVViffifi 11 21 如本题图所示， 一长为 0.8m 的圆柱形容器被一薄的活塞分隔成两部分。开始时活塞固定在距左端0.3m 处。活塞左边充有 1mol， 5105Nm-2 的氦气，右边充有 1105Nm-2 的氖气。它们都是理想气体。将气缸浸入 1 升水中，开始时整个物体系的温度均匀地处于25C。气缸及活塞的热容可不考虑。放松以后振动的活塞最后将
26、位于一新的平衡位置，试问（ 1）水温升高多少？（ 2）活塞将静止在距气缸左边多大距离位置？（ 3）物体系的总熵增加多少？ 解： （ 1）系统处于新的平衡位置后： 11 QWu A 11 QWuB 0 BA uuu TT 温度不变 （ 2）设新平衡后，活塞位于距 A 处 x ，（活塞截面为S） A 端： 11010 TPVTVP P xSS 3.0105 5 B 端： 22020 PVVP SxPS 8.05.0101 5 两式相除： xx 8.03 mx 6.0 （ 3）整个气体的熵变等于氦气的熵变和氖气的熵变之和。注意温度始终不变。利用理想气体熵变公式，则 VV RVV RSSS SeSSe
27、 dd Ne25.0 5.0H6.0 3.0NHe -1KJ22.3)5/2ln ()3/1(2ln RR 11 22 如本题图所示， 图中 1 3为等温线， 14为绝热线， 1 2和 4 3均为等压线， 2 3为等体线。1mol的氢气 在 1点的状态参量为 V1 0.02m3， T1300K，在 3点的状态参量为 V3 0.04m3， T3 300K。试分别用如下三条路径计算 S3 S1：（ 1） 1 2 3；（ 2）1 3；（ 3） 1 4 3。 解： （ 1） “ 21 ” 为等压过程，K6 0 0)/( 1122 TVVT 。而 “ 32 ” 为等体过程。注意到 2H 为双原子分子，
28、2/7m, RCp ，2/5m, RCV 。所以在 “ 321 ” 过程中的熵变为 TQTQSS dd )3( )2()2( )1(13 TQCTTC Vp dd 3 0 06 0 0m,6 0 03 0 0m, 2lnR （ 2） “ 31 ” 为等温过程。其熵变 2ln)/ln (/d 23)3( )1(13 RVVRTQSS （ 3） “ 341 ” 过程习题 11 21 图 习题 11 22 图 是由 “ 41 ” 的绝热过程， 144111 VTVT （ 1） 和“ 34 ” 的等压过程 3434 / VVTT （ 2） 所组成的。联立（ 1）式、（ 2）式，考虑到 K3001T ，
29、得到 “ 4 ” 点的温度 K3002 5/24 T 其熵变 )()( 431413 SSSSSS 300 2300 5/234 d25d0 TTRTQTT 2ln2ln25 5/2 RR 第 12章 气体动理论 12 1 一容积为 10L的真空系统已被抽成 1.010-5 mmHg的真空，初态 温度为 20。为了提高其真空度，将它放在 300的烘箱内烘烤，使器壁释放出所吸附的气体，如果烘烤后压强为 1.0 10-2 mmHg，问器壁原来吸附了多少个气体分子 ? 解 ：由式 nkTp ，有 32023 52 /1068.15 7 31038.1 7 6 0/100 1 3.1100.1 mkT
30、pn 个 因而器壁原来吸附的气体分子数为 个18320 1068.110101068.1 nVN 12 2 一容器内储有氧气，其压强为 1.01105 Pa，温度为 27，求：（ l）气体分子的数密度；（ 2）氧气的密度；（ 3）分子的平均平动动能；（ 4）分子间 的平均距离。（设分子间等距排列） 分析： 在题中压强和温度的条件下，氧气可视为理想气体。因此，可由理想气体的物态方程、密度的定义以及分子的平均平动动能与温度的关系等求解。又因可将分子看成是均匀等距排列的，故每个分子占有的体积为 30 dV，由数密度的含意可知 dnV ,10 即可求出。 解： （ l）单位体积分子数 325 m104
31、4.2 kTpn （ 2）氧气的密度 3mkg30.1 RTpMVm （ 3）氧气分子的平均平动动能 J1021.623 21k kT （ 4）氧气分子的平均距离 m1045.31 93 nd 12 3 本题图中 I、 II两条曲线是两种不同气体（氢气和氧气）在同一温度下的麦克斯韦分子速率分布曲线。试由图中数据求：（ 1） 氢气分子和氧气分子的最概然速率；（ 2）两种气体所处的温度。 分析： 由 MRTv /2p 可知，在相同温度下，由于不同气体的摩尔质量不同，它们的最概然速率pv 也就不同。因22 OH MM，故氢气比氧气的 pv 要大，由此可判定图中曲线 II 所标13p sm100.2
32、v 应是对应于氢气分子的最概然速率。从而可求出该曲线所对应的温度。又因曲线 I、 II所处的温度相同，故曲线 I 中氧气的最概然速率也可按上式求得。 解： （ 1）由分析知氢气分子的最概然速率为 13P sm100.2/2)( 22 HH MRTv 利用 16/22 HO MM可得氧气分子最概然速率为 12HPOOP sm100.54)(/2)( 222 vMRTv （ 2）由 MRTv /2p 得气体温度 K1081.42/ 22p RMvT 12 4 有 N个质量均为 m的同种气体分子，它们的速率分布如本题 图所示。（ 1）说明曲线与横坐标所包围面积的含义；（ 2）由 N和 v0求 a值；
33、（ 3）求在速率习题 12 3图 v0/2到 3v0/2间隔内的分子数；（ 4）求分子的平均平动动能 . 分析： 处理与气体分子速率分布曲线有关的问题时 ， 关 键 要 理 解 分 布 函 数 vf 的 物 理 意 义 。vNNvf d/d)( 题中纵坐标 vNvNf d/d)( ，即处于速率 v 附近单位速率区间内的分子数。同时要掌握)(vf 的归一化条件，即 1d)(0 vvf 。在此基础上，根据分布函数并运用数学方法（如函数求平均值或极值等），即可求解本题。 解： （ l）由于分子所允许的速率在 0 到 2v0 的范围内，由归一化条件可知图中曲线下的面积 NvvNfS v 020 d 即
34、曲线下面积表示系统 分子总数 N。 （ 2）从图中可知，在 0 到 v0 区间内， 0/)( vavvNf ；而在 v0 到 2v0 区间内， avNf )( 。则利用归一化条件有 000 20 0 dd vvv vavvavN 得 03/2 vNa （ 3）速率在 v0/2 到 3v0/2 间隔内的分子数为 12/7dd2/32/ 00000 NvavvavN vvvv (4)分子速率平方的平均值按定义为 0 20 22 d)(/d vvfvNNvv 故分子的平均平动动能为 202 230 02 3631)(2121 000 mvdvvNadvvNv amvmvvvK 12 5 当氢气的温度
35、为 300 时 ， 求速率在区间3000m/s到 3010m/s之间的分子数 N1与速率在区间 vp到 vp+10m/s之间的分子数 N2之比。 解 ：氢气在温度 T=273+300=573 开时的最可几速率 vp 为 /2182002.0 57331.822 秒米 MRTv p 麦克斯韦速度分布公式可改写为 xexNN x 224 则速度在 3000 米 /秒 3010米 /秒间的分子数 2 1 8 2102 1 8 23 0 0 04 22182300021 eNN 速度在 vp vp10 米 /秒间的分子数 eNN 218210218221824 22 1 8 22 1 8 222 故
36、7802 1 8 23 0 0 0 221823000221 .eeNN 12 6 讨论气体分子 的平动动能 221mv 的分布函数，归一化条件，及求任意函数 )(g 的平均值公式。并由麦克斯韦气体分子速率分布函数导出动能分布函数，求出最可几动能。 解： 在动能空间中取一小区间 d ，小区间内分子数 dN 占总分子数 N 之比为 dfNdN )( 其中 )(f 为分子动能分布函数，它满足归一化条件： 1)(0 df 任意函数 )(g 的平均值公 ： dfgg 0)()()( 令 dvkTmvvkTmdvvfdf )2e x p (24)()( 222/3习题 12 4 图 可求出 dkTkTd
37、f )e x p ()1(2)( 2/3 令 0)( ddf 可得最可几动能 2kTp 12 9 在容积为 2.010-3 m3的容器中，有内能为6.75102 J的刚性双原子分子理想气体。（ 1）求气体的压强；（ 2）设分子总数为 5.41022个，求分子的平均平动动能及气体的温度。 解： （ 1）由 RTiMmE 2 和 RTMmpV 可得气体压强 Pa1035.1/2 5 iVEp （ 2）分子数密度 n=N/V 为，则该气体的温度 K1062.3/ 2 ）（ NkpVnkpT 气体分子的平均平动动能为 J1049.723 21k kT 12 10 质点离开地球引力作用所需的逃逸速率为
38、gRv 2 ，其中 R为地球半径。（ 1）若使氢气分子和氧气分子的平均速率分别与逃逸速率相等，它们各自应有多高的温度；（ 2）说明大气层中为什么氢气比氧气要少。（取 R= 6.40106 m） 分析： 气体分子热运动的平均速率 MRTv /8 。对于摩尔质量 M 不同的气体分子 ，为使 v 等于逃逸速率v，所需的温度是不同的；如果环境温度相同，则摩尔质量 M 较小的就容易达到逃逸速率。 解： （ 1）由题意逃逸速率 grv 2 ，而分子热运动的平均速率 MRTv /8 。当 vv 时，有 RM r gvRMT 48 2 由于氢气的摩尔质量 13H m o lkg100.22 M ， 氧气的摩尔
39、质量 12O m o lkg102.32 M 则它们达到逃逸速率时所需的温度分别为 K1089.1,K1018.1 5O4H 22 TT （ 2）根据上述分析，当温度相同时，氢气的平均12-7 12-8 速率比氧气的要大（约为 4倍），因此达到逃逸速率的氢气分子比氧气分子多。按大爆炸理论，宇宙在形成过程中经历了一个极高温过程。在地球形成的初期，虽然温度已大大降低，但温度值还是很高。因而，在气体分子产生过程中就 开始有分子逃逸地球，其中氢气分子比氧气分子更易逃逸。另外，虽然目前的大气层温度不可能达到上述计算结果中逃逸速率所需的温度，但由麦克斯韦分子速率分布曲线可知，在任一温度下，总有一些气体分子
40、的运动速率大于逃逸速率。从分布曲线也可知道在相同温度下氢气分子能达到逃逸速率的可能性大于氧气分子。 12-11 一绝热的容器被中间隔板分成体积相等的两半，一半装有氦气，温度为 250K；另一半装有氧气，温度为 310K两种气体的压强均为 p0求抽去隔板后的混合气体温度和压强为多少？ 解答 设氦气和氧气分子各有 N1 和 N2 个，氦 气是单原子分子，自由度为 i1 = 3；氧气是双原子分子，自由度为 i2 = 5 隔板抽去前，氦气和氧气分子的总能量为 11 1 12iE N kT ， 22 2 22iE N kT 隔板抽去后，氦气和氧气分子的总能量为 121222iiE N kT N kT 这
41、个过程能量守恒，即， E = E1 + E2，所以有 i1N1T1 + i2N2T2 = (i1N1 + i2N2)T 由于压强 10 1 1 12 Np n kT kTV， 所以 01 12pVN kT； 同理可得 02 22pVN kT 将 N1 和 N2 的公式代入上面公式可得 1 0 2 0 1 0 2 012()2 2 2 2i p V i p V i p V i p V Tk k k T k T ， 约去公因子，可得混合气体的温度为 1 2 1 21 2 2 1()i i T TT i T i T = 284.4(K) 混合气体的压强为 12()NNp n k T k TV 001
42、21 ()22p V p V kTV kT kT 1 2 1 2 01 2 2 1( )( )2 ( )i i T T pi T i T = 1.0275 p0 12 12 已知在单位时间内撞击在容器壁单位面积上的分子数为 vn41。假定一边长为 1 米的立方箱子，在标准情况下盛有-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4sin (/d)个氧分子，计算 1 秒钟内氧分子与箱子碰撞的次数。 解 ：氧分子在标准状态下算术平均速率 v 4 2 50 3 2.014.3 2 7 331.888 MRTv 米 /秒 每边长为 1 米的立方箱的总面积 S=611=6 米 2 则 2825 1091.164
43、 2 51034141 SvnN次 /秒 12 13 在标准状态下氦气（ He）的内摩擦系数=1.89 105 帕秒，摩尔质量 M 为 0.004 千克，平均速率 v 为 1.20 103 米 /秒。试求：（ 1）在标准状态氦原子的平均自由程。（ 2）氦原子的半径。 解 ：（ 1）由公式 v31，则v 3因为气体密度 1 7 8.0104.22 104 33 vM千克 /米 3 735 1065.21020.1178.0 1089.133 v 米 （ 2） 22 22 1 dRTd 由氦原子直径 2375101 .3 8 1 0 2 7 31 .4 1 2 .6 5 1 0 3 .1 4 1 .0 1 3 1 021 .7 9 1 0RTd 氦原子半径为 101089.02 dR 米 12 14 （ 1） 求氮气在标准状态下的平均碰撞次数。（ 2）若温度不变，气压降到 1.33 10 4
