1、 概率论与数理统计习题答案 第四版 盛骤 (浙江大学 ) 浙大第四版（高等教育出版社） 第一章 概率论的基本概念 1.一 写出下列随机试验的样本空间 （ 1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（ 一 1） nnnnoS 1 0 01, ， n 表小班人数 （ 3）生产产品直到得到 10 件正品，记录生产产品的总件数。（ 一 2） S=10， 11， 12， n， （ 4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次 品就停止检查，或检查 4 个产品就停止检查，记录检查的结果。 查出合格品记为“ 1”，查出次品记为“ 0”，连续出现两个
2、“ 0”就停止检查，或查满4 次才停止检查。 （ 一 (3)） S=00， 100， 0100， 0101， 1010， 0110， 1100， 0111， 1011， 1101， 1110， 1111， 2.二 设 A， B， C 为三事件，用 A， B， C 的运算关系表示下列事件。 （ 1） A 发生， B 与 C 不发生。 表示为： CBA 或 A (AB+AC)或 A (B C) （ 2） A， B 都发生，而 C 不发生。 表示为： CAB 或 AB ABC 或 AB C （ 3） A， B， C 中至少有一个发生 表示为： A+B+C （ 4） A， B， C 都发生， 表示为：
3、 ABC （ 5） A， B， C 都不发生， 表示为： CBA 或 S (A+B+C)或 CBA （ 6） A， B， C 中不多于一个发生，即 A， B， C 中至少有两个同时不发生 相当于 CACBBA , 中至少有一个发生。故 表示为 ： CACBBA 。 （ 7） A， B， C 中不多于二个发生。 相当于： CBA , 中至少有一个发生。故 表示为： ABCCBA 或 （ 8） A， B， C 中至少有二个发生。 相当于： AB， BC， AC 中至少有一个发生。故 表示为： AB+BC+AC 6.三 设 A， B 是两事件且 P (A)=0.6， P (B)=0.7. 问 (1)
4、在什么条件下 P (AB)取到最大值，最大值是多少？（ 2）在什么条件下 P (AB)取到最小值，最小值 是多少？ 解：由 P (A) = 0.6， P (B) = 0.7 即知 AB，（否则 AB = 依互斥事件加法定理， P(A B)=P (A)+P (B)=0.6+0.7=1.31 与 P (A B) 1 矛盾） . 从而由加法定理得 P (AB)=P (A)+P (B) P (A B) (*) （ 1）从 0 P(AB) P(A)知，当 AB=A，即 A B 时 P(AB)取到最大值，最大值为 P(AB)=P(A)=0.6， （ 2）从 (*)式知，当 A B=S 时， P(AB)取最
5、小值，最小值为 P(AB)=0.6+0.7 1=0.3 。 7.四 设 A， B， C 是三事件，且 0)()(,41)()()( BCPABPCPBPAP ，81)( ACP . 求 A， B， C 至少有一个发生的概率。 解： P (A， B， C 至少有一个发生 )=P (A+B+C)= P(A)+ P(B)+ P(C) P(AB) P(BC)P(AC)+ P(ABC)= 8508143 8.五 在一标准英语字典中具有 55 个由二个不相同的字母新组成的单词，若从 26个英语字母中任取两个字 母予以排列，问能排成上述单词的概率是多少？ 记 A 表“能排成上述单词” 从 26 个任选两个来
6、排列，排法有 226A 种。每种排法等可能。 字典中的二个不同字母组成的单词： 55 个 1301155)( 226 AAP9. 在电话号码薄中任取一个电话号码，求后面四个数全不相同的概率。（设后面 4个数中的每一个数都是等可能性地取自 0， 1， 2 9） 记 A 表“后四个数全不同” 后四个数的排法有 104 种，每种排法等可能。 后四个数全不同的排法有 410A 504.010)( 4410 AAP10.六 在房间里有 10 人。分别佩代着从 1 号到 10 号的纪念章，任意选 3 人记录其纪念章的号码。 （ 1）求最小的号码为 5 的概率。 记“三人纪念章的最小号码为 5”为事件 A
7、10 人中任选 3 人为一组：选法有 310种，且每种选法等可能。 又事件 A 相当于：有一人号码为 5，其余 2 人号码大于 5。这种组合的种数有 251 121310251)( AP （ 2）求最大的号码为 5 的概率。 记“三人中最大的号码为 5”为事件 B，同上 10 人中任选 3 人，选法有 310 种，且每种选法等可能，又事件 B 相当于：有一人号码为 5，其余 2 人号码小于 5，选法有 241种 201310241)( BP 11.七 某油漆公司发出 17 桶油漆，其中白漆 10 桶、黑漆 4 桶，红漆 3 桶。在搬运中所标笺脱落，交货人随意将这些标笺重新贴，问一个定货 4 桶
8、白漆， 3 桶黑 漆和 2桶红漆顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少？ 记所求事件为 A。 在 17 桶中任取 9 桶的取法有 917C 种，且每种取法等可能。 取得 4 白 3 黑 2 红的取法有 2334410 CCC 故 2 4 3 12 5 2)( 617 2334410 C CCCAP12.八 在 1500 个产品中有 400 个次品， 1100 个正品，任意取 200 个。 （ 1）求恰有 90 个次品的概率。 记“恰有 90 个次品”为事件 A 在 1500 个产品中任取 200 个，取法有 2001500种，每种取法等可能。 200 个产品恰有 90 个次品，取法有 11
9、0110090400种 2001500110110090400)( AP （ 2）至少有 2 个次品的概率。 记： A 表“至少有 2 个次品” B0 表“不含有次品”， B1 表“只含有一个次品”，同上， 200 个产品不含次品，取法有 2001100种， 200 个产品含一个次品，取法有 19911001400种 10 BBA 且 B0， B1 互不相容。 2 0 01 5 0 01 9 91 1 0 014 0 02 0 01 5 0 02 0 01 1 0 01)()(1)(1)(10 BPBPAPAP13.九 从 5双不同鞋子中任取 4只， 4只鞋子中至少有 2只配成一双的概率是多少
10、？ 记 A 表“ 4 只全中至少有两支配成一对” 则 A 表“ 4 只人不配对” 从 10 只中任取 4 只，取法有 410种，每种取法等可能。 要 4 只都不配对，可在 5 双中任取 4 双，再在 4 双中的每一双里任取一只。取法有4245 21132181)(1)(2182)(410445APAPCCAP15.十一 将三个球随机地放入 4 个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别是 1， 2，3，的概率各为多少？ 记 Ai 表“杯中球的最大个数为 i 个” i=1,2,3, 三只球放入四只杯中，放法有 43 种，每种放法等可能 对 A1：必须三球放入三杯中，每杯只放一球。放法 4 3 2 种。
11、 (选排列：好比 3 个球在 4 个位置做排列 ) 1664 234)( 31 AP 对 A2：必须三球放入两杯，一杯装一球，一杯装两球。放法有 3423 C 种。 (从 3 个 球中选 2 个球，选法有 23C ，再将此两个球放入一个杯中，选法有 4种，最后将剩余的 1 球放入其余的一个杯中，选法有 3 种。 1694 34)( 3232 CAP对 A3：必须三球都放入一杯中。放法有 4 种。 (只需从 4 个杯中选 1 个杯子，放入此3 个球，选法有 4 种 ) 16144)( 33 AP16.十二 50 个铆钉随机地取来用在 10 个部件，其中有三个铆钉强度太弱，每个部件用 3 只铆钉，
12、若将三只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱，问 发生一个部件强度太弱的概率是多少？ 记 A 表“ 10 个部件中有一个部件强度太弱”。 法一：用古典概率作： 把随机试验 E 看作是用三个钉一组，三个钉一组去铆完 10 个部件（在三个钉的一组中不分先后次序。但 10 组钉铆完 10 个部件要分先后次序） 对 E：铆法有 323344347350 CCCC 种，每种装法等可能 对 A：三个次钉必须铆在一个部件上。这种铆法有 32334434733 CCCC 10种 00051.01960 110)( 323347350 32334434733 CCC CCCCAP 法二：用古典概
13、率作 把试验 E 看作是在 50 个钉中任选 30 个钉排成一列，顺次钉下去，直到把部件铆完。（铆钉要计先后次序） 对 E：铆法有 350A 种，每种铆法等可能 对 A：三支次钉必须铆在“ 1， 2， 3”位置上或“ 4， 5， 6”位置上，或“ 28， 29，30”位置上。这种铆法有 274733274733274733274733 10 AAAAAAAA 种 0 0 0 5 1.01 9 6 0110)( 3050 274733 A AAAP 17.十三 已知 )|(,5.0)(,4.0)(,3.0)( BABPBAPBPAP 求。 解一： BAABBBAASABPBPAPAP )(,6.
14、0)(1)(,7.0)(1)(注意 )( BAAB . 故有 P (AB)=P (A) P (A B )=0.7 0.5=0.2。 再由加法定理， P (A B )= P (A)+ P (B ) P (AB )=0.7+0.6 0.5=0.8 于是 25.08.0 2.0)( )()( )()|( BAP ABPBAP BABPBABP25.05.06.07.051)()()()()()()|(51)|()()(72)|(757.05.0)|()|(0705)|()()(: BAPBPAPBAPBAPBBBAPBABPABPAPABPABPABPABPABPAPBAP定义故 解二 由已知18.
15、十四 )(,21)|(,31)|(,41)( BAPBAPABPAP 求。 解：由 61)()( 314121)( )|()()( )()|( BPBPBP ABPAPBP ABPBAP 有定义 由已知条件 由乘法公式，得 121)|()()( ABPAPABP 由加法公式，得 311216141)()()()( ABPBPAPBAP 19.十五 掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和为 7，求其中有一颗为 1 点的概率（用两种方法）。 解：（方法一）（在缩小的样本空间 SB 中求 P(A|B)，即将事件 B 作为样本空间，求事件 A 发生的概率）。 掷两颗骰子的试验结果为一有序数组（ x, y）（
16、 x, y=1,2,3,4,5,6）并且满足 x,+y=7，则样本空间为 S=(x, y)| (1, 6 ), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3) 每种结果（ x, y）等可能。 A=掷二骰子，点数和为 7 时，其中有一颗为 1 点。故 3162)( AP 方法二：（用公式)( )()|( BP ABPBAP S=(x, y)| x =1,2,3,4,5,6; y = 1,2,3,4,5,6每种结果均可能 A=“掷两颗骰子， x, y 中有一个为“ 1”点”， B=“掷两颗骰子， x,+y=7”。则22 62)(,6166)( ABPBP， 故3162
17、6162)()()|( 2 BPABPBAP 20.十六 据以往资料表明，某一 3 口之家，患某种传染病的概率有以下规律：P(A)=P孩子得病 =0.6， P (B|A)=P母亲得病 |孩子得病 =0.5， P (C|AB)=P父亲得病 |母亲及孩子得病 =0.4。求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。 解：所求概率为 P (ABC )（注意：由于“母病”，“孩病”，“父病”都是随机事件，这里不是求 P (C |AB) P (AB)= P(A)=P(B|A)=0.60.5=0.3, P (C |AB)=1 P (C |AB)=1 0.4=0.6. 从而 P (ABC )= P (AB) P(C
18、|AB)=0.30.6=0.18. 21.十七 已知 10 只晶体管中有 2 只次品，在其中取二次，每次随机地取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率。 （ 1）二只都是正品（记为事件 A） 法一：用组合做 在 10 只中任取两只来组合，每一个组合看作一个基本结果，每种取法等可能。 62.04528)( 21028 CCAP 法二：用排列做 在 10 只中任取两个来排列，每一个排列看作一个基本结果，每个排列等可能。 4528)( 21028 AAAP法三：用事件的运算和概率计算法则来作。 记 A1， A2 分别表第一、二次取得正品。 452897108)|()()()( 1221 AAPAPAA
19、PAP （ 2）二只都是次品（记为事件 B） 法一： 451)( 21022 CCBP法二： 451)( 21022 AABP法三： 45191102)|()()()(12121 AAPAPAAPBP（ 3）一只是正品，一只是次品（记为事件 C） 法一： 4516)( 210 1218 C CCCP法二： 4516)()( 210 221218 A ACCCP法三： 互斥与且 21212121 )()( AAAAAAAAPCP 4516910 8292108)|()()|()( 121121 AAPAPAAPAP（ 4）第二次取出的是次品（记为事件 D） 法一：因为要注意第一、第二次的顺序。不
20、能用组合作， 法二： 51)( 210 1219 A AADP法三： 互斥与且 21212121 )()( AAAAAAAAPDP 519110292108)|()()|()(121121 AAPAPAAPAP22.十八 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随机的拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少？如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？ 记 H 表拨号不超过三次而能接通。 Ai 表第 i 次拨号能接通。 注意：第一次拨号不通，第二拨号就不再拨这个号码。 103819810991109101)|()|()()|()()()( 2131211211321211AAAPAAPAPAAPAPAPHPAAAAAAH 三种情况互斥如果已知最后一个数字是奇数（记为 事件 B）问题变为在 B 已发生的条件下，求 H再发生的概率。 )|)|( 321211 BAAABAABPABHP )|()|()|()|()|()|( 2131211211 AABAPABAPBAPABAPBAPBAP 53314354415451
