1、 - 1 - 例谈圆中的思想方法 一 、数形结合思想方法 与圆的位置关系中，数形结合的思想方法 体现 得淋漓尽致 点和圆的位置关系dr 点在圆内rOP 点在圆上rOP 点在圆外rOP(令 O P = d )0d r1d =r切点切线2d R +rd= R +rd r )10210例 1 在 Rt ABC 中， C=90， AC=3cm， BC=4cm，以 C 为圆心， r 为半径的圆与 AB 有怎样的位置关系？为什么？ 直线 AB 与 C 有几个交点？ （ 1） r=2cm；（ 2） r=2.4cm (3) r=3cm 解：过 C 作 CD AB，垂足为 D 在 ABC 中， AB= 522
2、BCAC 根据三角形的面积公式有 即圆心 C 到 AB 的距离 d=2.4cm 所以 (1)当 r=2cm 时 , 有 dr 因此 C 和 AB 相离 ，直线 AB 与 C 无交点 （ 2）当 r=2.4cm 时 , 有 d=r, 因此 C 和 AB 相切 直线 AB 与 C 有一个交点。 （ 3）当 r=3cm 时，有 dr，因此， C 和 AB 相交 ， 直线 AB 与 C 有两个交点 例 2 已知 1O 与 2O 的半径分别为 1 和 4，如果两圆的位置关系为相交，那么圆心距 21OO 的取值范围在数轴上表示正确的是 （ ） 解析 由 两圆的位置关系为相交 ，可知 圆心距 14 21OO
3、 14 ，应该满足 14 21OO 14 ， )(4.25 43 cmAB BCACCD B C A BCACABCD 2121B 3 1 0 2 4 5 D 3 1 0 2 4 5 A 3 1 0 2 4 5 C 3 1 0 2 4 5 - 2 - FECOBADEF DOBAC即 3 21OO 5 对照不等式组，可以确定 在数轴上表示正确 的为 A 点评 本题中把 两圆的位置关系 （形） 转化为圆心距和两圆半径之间的数量关系（数），然后再把它表示在数轴上（形），运用了两次数形结合思想 华 罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。 数形结合思想是将抽象的
4、数学语言与直观图形有机结合起来，使抽象思维与形象思维统一结合，通过图形的处理，发挥直观对抽象的支柱作用，实现化难为易，化繁为简，化抽象为直观。 在解决两圆位置关系的题目时，我们应注意位置关系和数量关系的相互转化，即运用数形结合的数学思想 二 、分类讨论思想方法 在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数 学思想，同时也是一种重要的解题策略 。 当问题中出现不确定的元素时，就要抓住不确定元素进行分类讨论，而不至于使问题漏解 例 3 O 的半径为 13 厘米，弦 AB CD， AB=24cm,
5、CD=10cm,求 AB 和 CD 的距离 解析：弦 AB,CD 的位置不确定，有可能在圆心 O 的同一侧，也有可能在圆心 O 的两侧，需要分开两种情况讨论。 解： 过点 O 作 AB 的垂线，交 AB 于点 E， 交 CD 于点 F 连接 OA， OC AB CD OF CD AE=12， CF=5 OA=13， 根据勾股定理 OF=12， OE=5 当 AB， CD 在点 O 的同侧时 EF=OF-OE=12-5=7cm 当 AB， CD 在点 O 的两侧时。 EF=OE+OF=5+12=17cm AB 和 CD 的距离为 17cm 或 7cm 例 4 如图 O的半径为 5cm，点 P是
6、O外一点， OP=8cm。若以 P为圆心作 P与 O相切， 求 P的半径？ 分析：题目中只是告诉我们 P 与 O 相切 ，相切有外切和内切两种，因此我们要对 P 与 O 外 切 和 P 与 O 内 切 两种情况进行说明。 解：设 P 的半径为 R 若 O 与 P 外切， 则 OP=5+R=8， R=3cm O 与 P 内切，则 OP=R-5=8， R=13cm 所以 P 的半径为 3cm 或 13cm - 3 - 变式题： 1O 与 2O 内切， 且 125OO ， 1O 的半径 101r ，则 2O 的半径 2r 是 解析 题目中 1O 与 2O 内切，并未指明大小圆，所以应进行分类讨论 当
7、 1O 是大圆时，有 521 rr ，即 510 2 r ，所以 52r ； 当 2O 是大圆时，有 512 rr ，即 5102 r ，所以 152r ； 所以 2O 的半径 2r 是 5 或 15 例 6 已知两相交圆的半径分别为 5cm 和 4cm，公共弦长为 6cm，求这两圆的圆心距 分析 ： 两圆相交，圆心的位置有两种可能， 圆心 Ol， 02 在公共弦的异侧 和 圆心 Ol， 02 在公共弦的 同 侧 解： 分两种情况： （ 1）如图 1，设 O1 的半径为 r1=5cm， O2 的半径为 r2=4cm 圆心 Ol， 02 在公共弦的异侧 O1 O2 垂直平分 AB， AD=21
8、AB=3cm 连 O1A、 O2A，则 （ cm） （ 2）如图 2，圆心 Ol， 02 在公共弦 AB 的同侧，同理可求 01D=4cm， 02D= 7 （ cm） （ cm） 点评： 由于 点与圆的位置关系不唯一性，弦与弦的位置关系不唯一性 （ 两弦可能在圆心的同旁，也可能在圆心的两旁 ） ，圆与圆 相切不确定（外切或内切）等 当问题中出现不确定的元素时，就要抓住不确定元素进行分类讨论 ，而不至于使问题漏解 解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、- 4 - DFEOACBFOBA
9、DCMNE分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。 三、方程的思想方法 合理运用题目中的等量关系建立方程，运用方程的数学思想，是解决问题一种重要手段 下面就课本的例题或习题举例如下： 例 7 如图 ,三角形 ABC 的内切圆 O 与 BC、 CA、 AB 分别相切与点 D、 E、 F,且 AB=9cm,BC=14cm,AC=13cm,求 AF、 BD、 CE 的长 解 :设 AF=xcm BC,AC,AB 与 O 相切于 D,E,F AE=AF=x BF=BD=9-x 由 BD+DC=BC 得（ 9-x） +（ 13-x） =14
10、 解得 X=4 AF=4Cm,BD=5cm,CE=9cm 例 8 如图，从点 P向 O 引两条切线 PA、 PB，切点 A、 B， BC为 O 的直径， 若 P=60， PB=2，求 AC 的长 分析： 易得 PA=PB=PC=2， ABC=300 方法一：在 Rt ABC 中，设 AC=x，则 BC=2x,由勾股定理 AC2+AB2=BC2得 x2+22=(2x)2解得 x1= 332 x2=- 332 (舍去 ) 故 AC= 332 方法二： 在 Rt ABC 中，设 AC=x，锐角三角函数 tan ABC= ABAC 得 332x 解得 332x 即 AC= 332 例 9 O的直径 A
11、B=12cm,AM和 BN是它的两条切线 ,DE切 O 于 E,交 AM于 D,交 BN于 C,设 AD=x, BC y 求y 与 x 的函数关系式 解： 连接 DF, DA,DE 分别与 O 相切于点 A,E ED=AD=x 同理 CE=CB=y 在 Rt CFD 中， DF=12,CF=y-x,CD=x+y 由勾股定理知 12+(y-x)=(x+y) xy=36 点评： 方程是中学数学课程中的重要内容之一，它的应用广泛，有些问 题通过- 5 - BOA构造方程去求解，能起到以简驭繁，化难 为易，事半功倍之效。 四、转化思想方法 例 10 如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为 “等
12、边扇形 ”. 则半径为 2 的 “等边扇形 ”的面积为 分析：如图在扇形 OAB 中 ,若 的长与半径 OA,OB 相等 ，则称扇形 OAB 为等边扇形。 蕴含着数与形的转化， 普通语言向数学语言的 转化 例 12 已知：如图， AB 是 O 的直径， BC 是和 O 相切于点 B 的切线， O 的弦 AD平行于 OC求证： DC 是 O 的切线 分析： 证明切线 重要方法“连接半径，证垂直”，因此连接 OD后，关键设法 证明 OD CD,表面初三知识， 实际是初一，二知识的综合运用， 本题中蕴含 着文字语言 向 数学语言 的转化 ， 把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、 规范甚至模式法、
13、简单的问题 点评 ： 本书中 ,转化思想无处不见 .转化思想具有灵活性和多样性， 它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换 ， 普通语言向数学语言的翻译 ， 未知向已知转化 ，不规则图形面积计算向规则图形面积的转化， 把不熟悉、不规范、复杂的问题 向 熟悉、规范甚至模式法、简单的问题 转化 等。 我们要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧。 结语： 数学教 学有两条线，一条是明线即数学知识的教学，一条是暗线即数学思想方法的教学。 在解答数学题的过程中，只有有意识 地 应用数学思想方法去分析和解决问题，才能形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光 ， 在教学中我们必须重视数学思想方法的渗透教学。
