1、微积分初步形成性考核作业题解作业（一）函数，极限和连续一、填空题（每小题 2 分，共 20 分）1函数 的定义域是 ：)ln(1)xf ),3(),22函数 的定义域是 f5) )5,(3函数 的定义域是：24)ln(1)xxf 2,1(),(4函数 ，则 答案：7(2f )(f62x5函数 ，则 答案：0e)xxf f6函数 ，则 答案： f21()(f12x7函数 的间断点是 答案： 32xy8 答案： 1 9若 ，则 答案： 2xsinlm2sin4lm0kxx10若 ，则 答案： 1.5230kk二、单项选择题（每小题 2 分，共 24 分）1设函数 ，则该函数是（B ） exyA奇函
2、数 B偶函数 C非奇非偶函数 D既奇又偶函数2设函数 ，则该函数是（A ） xysin2A奇函数 B偶函数 C非奇非偶函数 D既奇又偶函数3函数 的图形是关于（ D）对称2)(xxfA B 轴 C 轴 D坐标原点yy4下列函数中为奇函数是（ 无 ） A B C Dxsinxln)1l(2x2x5函数 的定义域为（ D） )5ln(41xyA B C 且 D 且x5x05x46函数 的定义域是（ D） )1l()xfA B ,(),1(),0C D),2)027设 ，则 （ C ）1(xf (xfA B )2C D 2(x)1(x8下列各函数对中， （ D）中的两个函数相等A ， B ， C ，
3、2)(fg( 2)(xfxg)( 2ln)(xfD ，xgln) 3ln)xfgln9当 时，下列变量中为无穷小量的是（ C ）.0A B C D1si )1l(2x10当 （ B ）时，函数 ，在 处连续.k0,)(2xkxfA0 B1 C D 111当 （ D ）时，函数 在 处连续.k0,2)(xkexfxA0 B1 C D 312函数 的间断点是（ A ）23)(2xfA B ,x xC D无间断点1三、解答题（每小题 7 分，共 56 分）计算极限 解 423lim2x 412lim)(21li43lim2 xxxx2计算极限 解 165lim21x 2716lim)(16li15l
4、im21 xxxx3 解 39li2x 34li)3(li39li23 xxx4计算极限 解 4586li24x 21li)(42li586li 424 xxx5计算极限 解 lim2x 3lim)(3li6lim222 xxx6计算极限 x1li0解 )1(lili00 xxx 21li)1(li00 xxxx7计算极限 解 x4sin1lm0 xxxx 4sin)1(lim4sin)(lim4sinl 0008124si1)1()lisi)1(li 00 xxx8计算极限 解 24inlm0x )(inlm24sinl00 xx164il)(sil 00 xx作业（二）导数、微分及应用一、
5、填空题（每小题 2 分，共 20 分）1曲线 在 点的斜率是1)(xf),(212曲线 在 点的切线方程是 e0xy3曲线 在点 处的切线方程是 答案：21xy),( 34 答案：)(xln5若 y = x (x 1)(x 2)(x 3)，则 (0) =答案：y66已知 ，则 =答案：f3)(f )3ln1(277已知 ，则 = 答案：xln( x8若 ，则 答案：fe)0(f9函数 的单调增加区间是 答案：yx312( ),1(10函数 在区间 内单调增加，则 a 应满足 。)af ),( 0二、单项选择题（每小题 2 分，共 24 分）1函数 在区间 是（ D ） )1(xy),(A单调增
6、加 B单调减少 C先增后减 D先减后增2满足方程 的点一定是函数 的（ C ）.0)(f )(xfyA极值点 B最值点 C驻点 D 间断点3若 ，则 =（ C ） xxfcose)()(fA. 2 B. 1 C. -1 D. 24设 ，则 （ B ） ylgdyA B C D1xxln0ln0xddx5设 是可微函数，则 （ D ） )(fy)2(cosfA B d2cos f2sin)(C D xfin)( xdc6曲线 在 处切线的斜率是（ C ） 1e2xyA B C D424e27若 ，则 （ C ） xfcos)()(fA BinxsincoC D 228若 ，其中 是常数，则 （
7、C ） 3si)(axf)(fA B C D2coax6sinxsinxcos9下列结论中（ C ）不正确 A 在 处连续，则一定在 处可)(xf00微.B 在 处不连续，则一定在 处不可导. )(xf00xC可导函数的极值点一定发生在其驻点上 .D若 在a，b内恒有 ，则在 a，b内函数是单调下降的.)(f )(f10若函数 f (x)在点 x0 处可导，则( B )是错误的 A函数 f (x)在点 x0 处有定义 B ，但Axf)(lim0 )(0xfC函数 f (x)在点 x0 处连续 D函数 f (x)在点 x0 处可微11下列函数在指定区间 上单调增加的是（ B ） (,)Asinx
8、 Be x Cx 2 D 3 x12.下列结论正确的有（ A ） Ax 0 是 f (x)的极值点，且 (x0)存在，则必有 (x0) = 0ffBx 0 是 f (x)的极值点，则 x0 必是 f (x)的驻点C若 (x0) = 0，则 x0 必是 f (x)的极值点D使 不存在的点 x0，一定是 f (x)的极值点f三、解答题（每小题 7 分，共 56 分）设 ，求 xy12ey解 )1(2)1(2)()( 221211212 xexexexx xxe112设 ，求 .y3cos4siny解 xxxxx sinco24s)(cos2)4(cos)()( 3设 ，求 .yx1ey解 2121
9、1 e)(e)( xxxx 4设 ，求 . ycoslny解 xxxcosin23)()(5设 是由方程 确定的隐函数，求 .y42yyd解 对方程两边求导，得0)(xxxyx2)2(ydx26设 是由方程 确定的隐函数，求 . )(xy12yyd解 对方程两边求导，得0)(2x2)(yy1dxy7设 是由方程 确定的隐函数，求 .)(4e2xy yd解 对方程两边求导，得0)(xeyx2yyxedxdyx28设 ，求 1e)cos(解 对方程两边求导，得0)(inyeyx)sin(sxey)i(yxydxedy)sin(作业（三）不定积分，极值应用问题一、填空题（每小题 2 分，共 20 分
10、）1若 的一个原函数为 ，则 答案： （ c 为任意常数）)(xf 2lnx)(fx22若 的一个原函数为 ，则 答案：e xe13若 ，则 答案：cfxd)()(fxe4若 ，则 答案：x2sinxcos25若 ，则 答案：cfl)( )(fx16若 ，则 答案：xxosdxcn47 答案：e2de28 答案：x)(sincxsin9若 ，则 答案：Ff)(dxfd)32( cxF)32(110若 ，则 答案：cx12二、单项选择题（每小题 2 分，共 16 分）1下列等式成立的是（A ） A B)(d)(xffx )(d)(xffC D23若 ，则 （A ）.cxf2ed)( )(xfA.
11、 B. C. D. 1e2x 2x2ex2e4若 ，则 （ A ）.)0()(f xfd)(A. B. cxc2C. D. 23 x2315以下计算正确的是（ A ）A B 3lndxx)1(d22xC D xd)1d(lnx6 （ A ）f)(A. B. cxfcxf)(C. D. )(2117 =（ C ） xadA B C D 2xadln2xad2cxad28如果等式 ，则 （ B ）xfx11ed)( )(fA. B. C. D. x2 21x三、计算题（每小题 7 分，共 35 分）1 xdsin3解 cxxdx os32ln)si3(i32 xd)1(0解 cxcxxd 1110
12、 )2()2(1)2()(23 xdsin2解 cxdx1os)(sin1i24 xdsin解 利用分步积分法： vduvu设 ， ，则 ，xux2sin1 xx2cos12sin )(4coc1dsi dxxsi4co215 e解 利用分步积分法： vdxudxvu设 ， ，则 ，xue1xe )(dxeexx cex四、极值应用题（每小题 12 分，共 24 分）1设矩形的周长为 120 厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大。解 设矩形的一边边长为 x 厘米，则另一边边长为（60-x）厘米，边长为 x 厘米的边绕轴旋转得一圆柱体，其底面积
13、为 (60-x) 2，旋转体的体积为V2)60()324036()(120()36( 2xxxx 令 ，即2408x24806802146082,1x其中 是极小值点，此时体积为 0； 是极大值点，也是最大值点，对应的圆柱体最大601x 2x体积值为)(301642)(22 立 方 厘 米V2欲用围墙围成面积为 216 平方米的一成矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？ 60-x0 x xy解 设土地一边长为 ，另一边长为 ，共用材料为xx216y于是 =3y4321623x令 得唯一驻点 （ 舍去） 10 分 0y1因为本问题存在最
14、小值，且函数的驻点唯一，所以，当土地一边长为 ，另一边长为 18 时，所用材料最省.12五、证明题（本题 5 分）函数 在（ 是单调增加的xef)()0,证 只需证明当 时，有0(xef因为 xxef1)(当 时， ，即有0x)(f所以，当 时， 是单调增加的。xe作业（四）定积分及应用、微分方程一、填空题（每小题 2 分，共 20 分）1 答案：._d)cos(inxx 322 答案：.453已知曲线 在任意点 处切线的斜率为 ，且曲线过 ，则该曲线的方程是)(xfy x)5,4( 32xy4若 答案：2d35(15由定积分的几何意义知， =答案： ，它是 1/4 半径为 a 的圆的面积。xad0242a6 答案：0e12d)ln(dxx7 =答案：08微分方程 的特解为 答案：1)(,y9微分方程 的通解为 答案：03 xe310微分方程 的阶数为 答案：2yxysin4)(7)(
