1、1毕业论文开题报告数学与应用数学初等几何研究INTRODUCTIONTOGEOMETRY中对三角形的研究一、选题的背景与意义初等几何的发展源远流长，内容浩烟如海，方法变化多端，在它的发展过程中，引发出各种各样的几何学；各种几何的独特方法，反馈到初等几何，被初等几何吸收和包容，又促使它在内容和方法上得以不断丰富和拓展。因此，研究初等几何方法，必须统观其发展过程，从发展的不同阶段的特征中理出方法拓展的不同层次，以获得对初等几何方法较系统全面的了解。数学发展到今天，初等数学已经相当成熟了，古老的初等几何更是如此。公元前330年的欧几里得的几何原本问世，初等几何已达到了顶峰，但是初等几何的一些定理、方
2、法至今还在不断地被发现，而且仍具魅力。近年来初等几何的各种方法的研究有了较大的进展，我国初等几何的方法研究可以说有了广泛的基础。在数学问题中，问题的开放式越来越重要，如一个题目，给出条件，去发现结论，在证明，或给出结论，要去发现条件，其中常要类比，并引申出新的问题，如果做了这些工作，对我们传统古老的初等几何更是进行了升华。二、研究的基本内容与拟解决的主要问题了解初等几何的发展和方法研究；翻译课本，了解初等几何中三角形部分的主要概念及定理；在理解内容的基础上通过课后习题进一步掌握重点；对其中部分知识做更深入的探索。三、研究的方法与技术路线查阅相关资料，完成INTRODUCTIONTOGEOMET
3、RY中对三角形的研究部分的翻译。在指导老师的指导下完成论文。四、研究的总体安排与进度201011201012查阅相关资料，并做些准备工作。20101220110112月17日前完成文献综述和开题报告并交学院审批。2201101201103完成论文的基本思路和框架。2011032011044月4日完成两篇外文的翻译完成毕业设计（论文）初稿，交指导老师审批、修改。201104201106毕业论文定稿、修改、打印。五、参考文献1几何学的发展与初等几何方法研究邓鹤年、姜树民松辽学刊（自然科学版）2001022初等几何问题的类比、引申探究冯德雄成都大学学报（教育科学版）2008083初等几何的应用举例吕
4、学礼4初等几何中基本作图题的作图方法曾寿清龙岩师专学报2000065关于第一篇罗氏非洲几何论文李迪、罗见今内蒙古师大学报（自然科学）19886欧几里德评介宋文檀高玉彪榆林高等专科学校数学学报2002047三角形内角和定理的演变在数学发展中的作用张锐梅、李冰高师理科学刊2009038三等分角线构成的三角形的性质梁卷明中学数学19979欧拉线定理证法集萃李善明、魏春强内江科技20081110莫利定理的简洁证明梁卷明中学数学20000811涉及三角形内点的一类几何不等式姜卫东北京联合大学学报（自然科学）20041212锐角三角形中线与角平分线的几个不等式刘健湖州师范学院学报20080213WHATI
5、SELEMENTARYGEOMETRYSTUDIESINLOGICANDTHEFOUNDATIONSOFMATHEMATICS,VOLUME27,1959,ALFREDTARSKI14THEFIRSTCHINESETRANSLATIONOFTHELASTNINEBOOKSOFEUCLIDSELEMENTSANDITSSOURCEHISTORIAMATHEMATICA,VOLUME32,FEBRUARY2005,YIBAOXU34毕业论文文献综述数学与应用数学初等几何研究INTRODUCTIONTOGEOMETRY中对三角形的研究初等几何的发展源远流长，内容浩烟如海，方法变化多端，在它的发展过程
6、中，引发住各种各样的几何学；各种几何的独特方法，反馈到初等几何，被初等几何吸收和包容，又促使它在内容和方法上得以不断丰富和拓展。因此，研究初等几何方法，必须统观其发展过程，从发展的不同阶段的特征中理出方法拓展的不同层次，以获得对初等几何方法较系统全面的了解。为此，文献1回顾了几何学的发展过程和它对拓展初等几何方法的影响。欧几里得几何原本的形成是使几何知识逻辑化，通过逻辑推理把当时搜集到的几何知识编排成一个系统的理论；亚历山大里亚数学家使用无理数，自由地把数用之于几何量，使几何从纯粹定性研究的桎梏中得以解放，这项工作的高峰是三角术的发展；文艺复兴使几何学也得到了复兴，由于建筑、绘图、测量等的需要
7、，由初等几何发展成射影几何，它的思想、理论和方法反过来作用于初等几何，就是利用变换的理论和方法解决初等几何问题；解析几何的创立开创了几何代数化的洗洗农技员，它借助于坐标系实现了几何结构的数量化，由此把形与数、几何与代数得到了统一；几何定理证明的机械化思想来自希尔伯特的几何基础，近代公理法体系的形成，几何代数化方法的创立和计算机技术的发展促进了几何证明机械化的实现。从以上的回顾中得知，初等几何方法按其发展可划分成下列五个层次1基本逻辑方法（主要是指分析法与综合法）是贯彻于整个初等几何中的基本方法，是其他几何方法的基础，是初等几何的本质。2度量化方法是就几何图形内在的性质的表现形式（形与量）的转化
8、而言的，它是初等几何的常用方法。3变换方法就是几何图形内在关系结构的转化而言的，它是初等几何的辅助方法。4代数化方法是就空间关系结构表现形式的转化而言的，它是超脱于几何图5形本身的辅助方法。5机械化证明方法是就几何关系结构转化为按程序计算而言的，它是超脱于人们对初等几何为题原有思路的现代化的科学方法。古老的初等几何发展到今天已经相当成熟了，但是一些定理至今还在不断地被发现，而且仍具魅力，不论什么学科，发现的方法和探究方法非常重要。初等几何问题如何发现，数学如何发现，美国数学教育家J波利亚在他的数学与猜想等著作中已向人们展示了许多数学发现的方法和研究的方法。文献2通过科学发现的一般方法，提出初等
9、几何的类比模式与方法、引申几何问题的模式与方法，并得到几个典型的几何问题类比、引申的案例和发现结果。文献3从几何来源于实践又运用于实践的角度，举出了实际生活中运用初等几何的24个例子，并从初等几何的应用的教学内容、实际领域、应用特点等方面，得出“解决实际问题，除了需要具有解决一般问题所需要的几何知识外，更需要具备较多的分析、解决问题的能力。文献4以实例探讨了初等几何中基本的作图方法。基于以上对初等几何发展过称及研究方法的了解，结合课本INTRODUCTIONTOGEOMETRY中第一章对三角形部分的论述，这一部分主要回顾了初等几何中的一些著名命题，强调了对称性的重要作用，参照已经被使用两千多年
10、的欧几里得的命题，以及前人在十九世纪翻译过的被仔细研究过的著述中提到的一些观点，从等腰三角形的性质、中线和重心、内切圆和外接圆、欧拉线和垂心、九点圆、两个极限问题、莫利定理等几个方面研究三角形的性质。文献6到文献12对这部分内容做了相应的拓展，有助于深入理解，完成本文的翻译工作。参考文献1几何学的发展与初等几何方法研究邓鹤年、姜树民松辽学刊（自然科学版）2001022初等几何问题的类比、引申探究冯德雄成都大学学报（教育科学版）2008083初等几何的应用举例吕学礼4初等几何中基本作图题的作图方法曾寿清龙岩师专学报2000065关于第一篇罗氏非洲几何论文李迪、罗见今内蒙古师大学报（自然科学）19
11、8866欧几里德评介宋文檀高玉彪榆林高等专科学校数学学报2002047三角形内角和定理的演变在数学发展中的作用张锐梅、李冰高师理科学刊2009038三等分角线构成的三角形的性质梁卷明中学数学19979欧拉线定理证法集萃李善明、魏春强内江科技20081110莫利定理的简洁证明梁卷明中学数学20000811涉及三角形内点的一类几何不等式姜卫东北京联合大学学报（自然科学）20041212锐角三角形中线与角平分线的几个不等式刘健湖州师范学院学报20080213WHATISELEMENTARYGEOMETRYSTUDIESINLOGICANDTHEFOUNDATIONSOFMATHEMATICS,VOL
12、UME27,1959,ALFREDTARSKI14THEFIRSTCHINESETRANSLATIONOFTHELASTNINEBOOKSOFEUCLIDSELEMENTSANDITSSOURCEHISTORIAMATHEMATICA,VOLUME32,FEBRUARY2005,YIBAOXU7本科毕业设计（20届）初等几何研究INTRODUCTIONTOGEOMETRY中对三角形性质的探究摘要【摘要】历史上对于初等几何的研究源远流长，内容浩烟如海，方法变化多端，初等几何发展与完善8是数学发展的一个重要组成部分。两千多年前伟大的数学家欧几里得对初等几何的研究做出了巨大贡献，他的著作几何原本对后
13、进数学及其它科学的产生起了不可估量的作用。本文对HSMCOXERTER的INTRODUCTIONTOGEOMETRY一书第一章三角形部分内容进行了研究翻译，回顾了欧几里得关于初等几何的一些有趣的著名命题。【关键词】初等几何；欧几里得；三角形；对称。ABSTRACT【ABSTRACT】RESEARCHESINTHEELEMENTARYGEOMETRYHADALONGHISTORY,BECAUSEELEMENTARYGEOMETRYWASRICHANDCOLORFULINCONTENT,ANDITSAPPROACHESTOPROBLEMSWERETHEMOSTCHANGEFULTHEDEVELOP
14、MENTANDIMPROVEMENTOFELEMENTARYGEOMETRYPLAYEDANIMPORTANTPARTINTHECOURSEOFTHEHISTORYOFMATHEMATICSTWOTHOUSANDYEARSAGO,EUCLID,THEGREATMATHEMATICIAN,MADEASIGNIFICANTCONTRIBUTIONTOTHEDEVELOPMENTOFELEMENTARYGEOMETRYHISMONUMENTALWORK,MADEAGREATINFLUENCEONBACKWARDAREASOFMATHEMATICSANDOTHERFIELDSOFSCIENCETHIS
15、ARTICLEFOCUSESONTHETRANSLATIONTOCHAPTER1OFHSCOXERTERS,WHICHISABOUT“TRIANGLES”,ANDREVIEWSAFEWEUCLIDSFAMOUSPROPOSITIONSTHATSEEMPARTICULARLYINTERESTING【KEYWORDS】ELEMENTARYGEOMETRYEUCLIDTRIANGLESSYMMETRY9目录摘要7ABSTRACT8目录91绪论1011初等几何1012欧几里得与几何原本102INTRODUCTIONTOGEOMETRY（几何简介）11第一章三角形1121欧几里得1122基本概念及定理1
16、223“笨人难过的桥”1324中线和形心1725内切圆和外接圆1826欧拉线和垂心2427九点圆2528两个极值问题27281FAGNANO问题28282FERMAT问题2929莫利定理30291莫利定理313结束语3231小结32参考文献34致谢错误未定义书签。附录错误未定义书签。101绪论11初等几何统观初等几何发展的过程，我们可以获得对初等几何较为系统全面的了解。从欧几里得几何原本的诞生，到亚历山大里亚数学家对无理数的使用，到文艺复兴时期射影几何的发展，到解析几何开辟几何代数化新纪元，再到几何定理证明机械化道路的开创，初等几何的发展源远流长，人们对初等几何的研究存在于整个人类文明史，其内
17、容和方法在人们不断地研究探索中逐步成熟完善和拓展。尽管初等几何发展到今天已经达到了成熟的阶段，但是一些新的定理新的解决问题的方法仍源源不断得被人们所发现，而且仍具有强大的吸引力。12欧几里得与几何原本1说到初等几何，不得不提的是被后人尊称为“几何学之父”的希腊数学家欧几里得（EUCLID公元前330前275），他的巨著几何原本与他一起名垂千古，集整个古希腊数学的成果和精神于一书，也集前人思想和欧几里得个人创造性于一体，是使用公理化方法建立起演绎数学体系的最早典范、不朽之作。欧几里得把人们公认的一些事实列成定义和公理，以形式逻辑的方法，用这些定义和公理来研究各种几何图形的性质，建立了一套从公理、
18、定义出发，论证命题得到定理的几何学论证方法，形成了一个严密的逻辑体系几何学，而这本书也就成了欧式几何的奠基之作。它既是数学巨著，又是哲学巨著，两千多年来一直被广泛流传，对整个人类文明都产生了巨大的影响。从它十三卷的内容可以看出，目前中学课程里的初等几何的主要内容已经完全包含在几何原本里了，直至今日，中学几何教材的内容和体系仍保留了几何原本的基本特点。本文翻译的HSMCOXETER的英文著作INTRODUCTIONTOGEOMETRY第一章三角形就是依据欧几里得的命题顺序进行的，回顾了许多有关初等几何的著名命题，从等腰三角形的性质、中线和重心、内切圆和外接圆、欧拉线和垂心、九点圆、两个极限问题、
19、莫利定理等几个方面对三角形以及特殊三角形的性质进行了探究。译文如下1此处参照文献【5】部分内容宋文檀，高玉彪欧几里德几何原本评介J榆林高等专科学校学报，2002（4）,第12卷，5354112INTRODUCTIONTOGEOMETRY（几何简介）第一章三角形本章我们回顾初等几何的一些著名命题，强调对称的重要性。我们将按照欧几里得的顺序来参考他那些已经被全世界使用了两千多年的命题。FCOMMANDINO15091575翻译了ARCHIMEDES，APOLLONIUS以及PAPPUS的许多作品，自从他那个时代，人们又陆续发现了许多在相同精神上的其他理论。19世纪人们仔细地研究了这些成果。由于目前
20、的趋势是抛弃这些理论而偏向于其他一些数学分支，我们将提及其中一些看起来特别有趣的部分。21欧几里得在现在所有的教科书被废弃和遗忘之后，欧几里得的作品将被永世传颂。它是古代最卓越的典范之一。SIRTHOMASLHEATH18611940大约公元前300年，亚历山大（埃及港市）的欧几里得分13卷完成了一个巨著几何原本。对于作者我们知之甚少（令人遗憾的是，人们经常把他同早先的哲学家EUCLIDOFMEGARA相混淆）。PROCLUS410485AD说“他将几何原本构造成一个整体，收集了EUDOXUS的许多理论，完善了THEAETETUS的许多理论，并且带来了对他的一些前辈们证明得不是很确切的东西的示
21、范。这个人生活在第一个PTOLEMY时代，PTOLEMY曾经问他在几何学中是否有比几何原本更短的捷径，他回答说，几何学中没有捷径。”HEATH曾引用过STOBAEUS的一个故事，讲的是一个开始向欧几里得学习几何的人，他问欧几里得“我学习这些东西会得到什么呢”欧几里得叫来他的奴隶对他说“给他一枚银币，因为他想在学习中获得实利。”在这十三本书中，前六本可以简要地描述为分别有关三角形、矩形、圆、多边形、比例及相似性的问题。接下来的四本，是有关数字的理论，包括两个著名的论述2和9。它们证明了“素数有无限多个”以及“2是无理数”HARDY2,第3236页。第十一本书是对立体几何的介绍，第十二本书是有关角
22、锥体、圆锥体和圆柱体的，第十三本是有关五面12体的。据PROCLUS所说，欧几里得“把所谓的柏拉图式结构放在自己之前，作为整个几何原本的结尾”。欧几里得这个议题的概念得到了PLATONIC关于四种立体结构神秘对应关系的理论的支持。土立方体火四面体四大“元素”气八面体水二十面体比较COXETER1,第18页算数书X提供了反对命题的证据，这些书明显包含了它们内在的趣味性而不是立体几何的应用价值。22基本概念及定理“当我使用一个单词时，”HUMPTYDUMPTY说，“那就是我选择它所想要表达的意思不多也不少。”LEWISCARROLL18321898DODGSON2,第六章在数学分支的逻辑发展中，每
23、一个概念或关系的定义都包含了其它的概念和关系。因此防止恶性循环的唯一方法就是允许有运用一些不需要定义的特定的基本概念和关系（通常越少越好）SYNGE1,第3234页。类似地，每个命题的证明都需要运用其它的命题，因此也要有一些不需要证明的被称为“公设”或者“定理”的基本命题。欧几里得没有具体指定他的基本概念和关系，但给出了一些依据大多数人都认可的观点而得出的定义。他的五个公设如下121两点确定一条直线122直线可以无限延长123已知圆心和半径可以确定一个圆124所有直角都相等125一直线与另外两直线相交，如果无限延长，另外的两直线在与第一条直线交角和小于180的一边相交。13非常自然的是，在22
24、50年时间的流逝之后，一些细节现在似乎有可以改善的可能。（例如，EUCLID1通过画两个圆构造了一个等边三角形；但是我们如何知道这两个圆是怎样相交的呢）神奇的是，欧几里得的许多成果仍保持着完全的正确。在对他的几何学的现代论述中，参见COXETER3,第161187页，通常都会公认基本的定义“点”和两个基本的关系“中间”（一个点一定在其他两点之间）和“迭合”（两点间的距离可以与另外两点间的距离相等/两条线段的长度可以相等）。欧几里得的用来证明4的“重合原理”提出了一个问题“一个图形若不改变内部结构是否可以移动”。这个原理现在已经被更为明确的假设所代替。例如公理“有尾巴的三角形的固定性”（图12A
25、）126D是三角形ABC的一边BC延长线上的一点，D是类似的另一个三角形ABC的一边BC延长线上的一点，若BCBC，CACA，ABAB，BDBD，那么ADAD。这个公理可以将全等的概念进行拓展，从线段到更加复杂的图形，例如角，因此我们可以通过关系ABCABC明确地说出我们的意思。那么我们就不再需要用于证明EUCLID4的那个有争议的“重合定理”了如果两个三角形两边对应相等，并且这两边的夹角也对应相等，则它们的第三边也对应相等，剩下的两个角也对应相等；事实上，它们是全等的。23“笨人难过的桥”MINOS有人建议采用等腰三角形的方法来证明15，将它翻转，然后覆盖原三角形。EUCLID当然，就像爱尔
26、兰公牛反刍一样，人们会生动地提醒自己在喉咙里消化所学到的14东西，把空间用来存放严格的哲学论文MINOS我想它的辩护者们会说，只是设想留下了它的轨迹，扭转后的三角形覆盖在留下的轨迹上。CLDODGSON18321898DODGSON3,第48页5等腰三角形两底角相等这个著名理论的名字“笨人难过的桥”好像源于欧几里得图形（在他相当复杂的证明过程中所需的辅助线）桥一样的外观，以及那个“过不了这座桥的人是傻瓜”的说法。幸运的是，耶稣纪元后340年，PAPPUSOFALEXANDRIA提供了一个更为简单的证明方法（图13A）在等腰三角形ABC中，ABAC，我们设想三角形ABC为两个重合的三角形，并通过
27、这种方式讨论。既然ABAC，ACAB，那么两边AB、AC分别与AC、AB相等。同样地，BAC也就等于CAB。因此任何相应的部分（对于三角形ABC和三角形ACB）都是相等的。特别地，ABCACB。将等腰三角形ABC同它自己相比较的教学难点，有时可以通过连结顶点A以及底边BC的中点D而避免。中线AD可以看作是一面映射B到C的镜子。因此，我们说等腰三角形是反射对称的或者左右对称的（当然，这面理想化的镜子在几何学中是没有厚度的，并且两面都可以反射）。因此不仅仅C是B的映射，而且B也是C的映射。任何图形，不论它的形状有多么不规则，当我们把它放到一个镜子旁边并且忽略实物与像之间的差别时，将产生一个对称的图
28、形。这种左右对称性是大多数动物的外形所特有的。15给出几何学镜面一边的任意一点P，可以过P点作镜面的垂线并在另一边延长至相等的距离来构造影像点P，因此镜面垂直平分线段PP。在平面上以直线AB代替镜面，我们分别以A和B做圆心，以AP、BP为半径作两个圆，两圆的交点即为P和P。我们将会发现，如果运用对称原理，许多几何证明可以被简化而且更加清晰。但是我们必须记得这个过程仅仅是一个删节每一个这样的争论只能借助涉及全等三角形的一种拐弯抹角的说法来避免。例如，因为三角形ABP与三角形ABP是全等的，所以上述的构造是有根据的。“笨人难过的桥”有许多有用的结论，例如如下五例3如果一个圆的直径二等分一条不过圆心
29、的弦，那么这条直径一定垂直于这条弦；或者，如果一个圆的直径垂直于一条不过圆心的弦，那么这条直径一定二等分这条弦。20圆心角等于圆切角的二倍21在一条弦所对应的劣弧上任取两点，这两点与这条弦的两端点的连线所成的夹角相等。（例如，在图13C中，PQQPPQ）22圆内接四边形的两对角和等于18032在一条弦所对应的劣弧上任取一点，这一点与弦的两端点的连线所成的夹角同圆在弦的端点处的切线与弦所成夹角相等。（例如，在图13C中OTPTPP）16类似地，我们也将有机会在三角形中使用两个类似的定理2在三角形ABC中，若DEAB，则ADAEDBEC若ADAEDBEC，则DEAB4如果两个三角形的对应角相等，那
30、么相应的角的两边成比例。结合21和32的最终结果，我们推断出关于圆的割线的两个重要的性质（如图13C）35两条直线PP与QQ在圆内相交于点O，则OPOPOQOQ36圆的一条切线OT与一条割线PP相交于圆外一点O，则2OPOPOT第六卷还包括一个有关面积的重要性质19相似三角形的面积之比等于对应边长度之比的平方这一结果产生了一下对毕达哥拉斯定理见HEATH1，第353页；第210，232,268页的简单证明47在直角三角形中，斜边长度的平方等于两直角边长度的平方和17在三角形ABC，C是直角，作CF垂直于斜边AB，如图13D。我们得到了三个相似的直角三角形ABC、ACF、CBF，斜边分别为AB、
31、AC、CB。根据19，面积满足222ABCACFCBFABACCB明显地，ABCACFCBF。因此222ABACCB。24中线和形心东方的数学可能是有趣的好奇心，但希腊的数学是真实的东西希腊人，就像LITTLEWOOD对我说过的一样，不是聪明的学生或者“奖学金的候选人”，而是“学院的院士”。所以希腊的数学是持久的，甚至比希腊的文学还要持久。当埃斯库罗斯被众人遗忘时，阿基米德还会被铭记，因为语言会消亡而数学的思想不会。GHHARDY（18771947HARDY2,第21页18三角形的一个顶点与对边中点的连线成为“中线”。假设三条中线中的其中两条BB和CC相交于点G（图14A）。设GB与GC的中点
32、分别为L、M。根据欧几里得2和4（在第8页中引用），CB与LM都平行且等于BC的一半。因此，BCLM是一个平行四边形。又因为平行四边形的两对角线互相平分，我们有BGGLLB，CGGMMC因此两条中线BB和CC在G点三等分。换句话说，若点G被定义为一条中线的三等分点，那它也是另外两条中线的三等分点。这样，我们就证明了通过COURT1，第58页的方法如下的定理141三角形的三条中线交于一点这个三条中线的公共点G称为三角形的“形心”。ARCHIMEDESC287212BC把它作为一个密度均匀的三角形板的重心。25内切圆和外接圆一个人的夜晚，我读圣经比欧几里得要多。ROBERTBUCHANAN（184
33、11901ANOLDDOMINIESSTORY19欧几里得3告诉我们，一个圆可以被任意直径分成两个对称的部分。（然而椭圆只能被两条特殊的直径分成两个对称的部分长轴和短轴）。另外，两条切线所成的夹角可以被两条切线的公共点与圆心的连线平分。通过考虑到三角形ABC一个角两边的距离相等的点的轨迹，我们可以看到，三角形的内、外角平分线相交于四个点I、AI、BI、CI，如图15A，以这四个点为圆心可以作四个圆与三条边BC、CA、AB相切。其中，在三角形内部的内心I是三角形内切圆的圆心（欧几里得4）。其它三个是外心AI、BI、CI是旁切圆（或者外圆）的圆心COURT2，第7288页。内切圆的半径是内半径R，
34、旁切圆的半径是外半径AR、BR、CR。在描述一个三角形ABC时，我们通常令ABC，BCA，CAB，半周长12SABC，角表示为A，B，C，面积为。因为180ABC,我们有201511902BICA这一结论将会在第九节中用到。因为三角形IBC是以A为底，以R为高的三角形，所以它的面积为12AR。综合三个这样的三角形，我们推断12ABCRSR类似地，12AABCARSAR。因此，152ABCSRSARSBRSRR从著名的公式222COS/2ABCABC，我们发现14442222222SIN222/2AABCBCCAABBC由此，1531444222222212121SIN21222414BCAAB
35、CBCCAABABCABCABCABCSSASBSC这个著名的表达式将在第18章第4节备用稿，它是属于HERONOFALEXANDRIA（公元60年）的，但是是ARCHIMEDES发现的（见BLVANDERWAERDEN，科学新知，牛津大学出版社，纽约，1961年，第228277页）。结合HERON的公式和152，我们得到153122SASBSCRSS，22ASSBSCRASASA21另一个有关圆的对称性的结果是，三角形的三条边的垂直平分线都通过外心O，点O是外接圆的圆心（欧几里得IV5）。这是过三个顶点A、B、C的唯一的一个圆。它的半径R称为三角形的外接圆半径。因为圆心角BOC（图15B），
36、等于两倍的角A，所以全等直角三角形OBA和直角三角形OCA在点O处有一个等于角A的角，因此1SIN2RABAA，1542SINSINSINABCRABC过A作AD垂直于BC，连接A与圆心并延长，交外接圆于点K，如图15C。根据欧几里得21，直角三角形ABD和直角三角形AKC是相似三角形，因此ADACABAK,2BCADR因为12BCAD,所以有1554RABC2222ABCSSBSCSSCSASSASBSASBSCSASBSCSRRRR因此五个半径通过一个公式联系在一起1564ABCRRRRR现在我们考虑相切于6个不同点的4个圆1E、2E、3E、4E。每个圆IE都有一个曲度22I，定义为半径的
37、倒数与一个未知符号的乘积，即如果所有的切点都在外部（像在图15D中“轻圆”的情况），则曲度都是正的；但如果有一个圆绕其他三个（像“重圆”的情况），则最大圆的曲度取负值；并且把点看做是曲度为0的圆。不管怎样，四个曲度的和是正的。在1643年11月给波西米亚的伊丽莎白公主的一封信中，RENEDESCARTES详尽地阐述了有关四个相互相切的圆的半径的公式。“曲度”的注释是1572222212341234223这个笛卡儿圆定理在1842年被一个英国业余爱好者PHILIPBEECROFT重新发现，他观察到，四个圆IE决定了另外四个圆IH相切于6个相同的点1H经过2E、3E、4E的三个切点，等等。用I来表
38、示IH的曲度。假如圆1E、2E、3E的圆心构成了一个三角形ABC,4H既是内切圆又是旁切圆。在前一种情况中（图15E），15811SA，21SB，31SC，41R在后一种情况中（图15F），11S，21SC，31SB，41AR不论哪一种情况，我们从1531中发现22331121234123111类似地，22331124，当然我们可以置换下标1,2,3,4。因此2222214123422III因为表达式中I与I是对称的，所以它也等于（2I）；因此123412340并且，因为22123412341234222221234422324341312124214243444123422222159123
39、442结合四个这样的等式，并且两边加平方，我们推论出22II，因此22222IIII这样157就被证明出来了。在1936年，这个定理被SIRFREDERICKSODDY重新发现，他在1921年因为发现了核素而获得过诺贝尔奖。他以诗歌的形式表达了这个定理，THEKISSPRECISE，中间的诗句是这样24写的FOURCIRCLESTOTHEKISSINGCOME,THESMALLERARETHEBENTERTHEBENDISJUSTTHEINVERSEOFTHEDISTANCEFROMTHECENTRETHOUGHTHEIRINTRIGUELEFTEUCLIDDUMBTHERESNOWNONEE
40、DFORRULEOFTHUMBSINCEZEROBENDSADEADSTRAIGHTLINEANDCONCAVEBENDSHAVEMINUSSIGN,THESUMOFTHESQUARESOFALLFOURBENDSISHALFTHESQUAREOFTHEIRSUM26欧拉线和垂心尽管古希腊不论在几何学还是在最多变的算术领域都有很多的成就，然而今天的我们不论在哪些领域都远远超越了他们，几何学也是如此。FKLEIN（18491925）KLEIN2,第189页从现在开始，我们将会经常提到LEULER（17071783）的名字，一个在俄国度过了她大部分人生的瑞士人，对数学所有的分支都做出了重要贡献。他
41、的一些最简单的发现都有这样一种特点，你可以想象欧几里得的灵魂在对你说“为什么我完全不这样认为”25如果一个三角形的外接圆圆心O与形心G重合，每一条中线都垂直于对应的边，即三角形以三种方式等腰，即等边。因此，若三角形ABC不是等边三角形，则它的外接圆圆心与形心在唯一的一条直线OG上，在这条所谓的欧拉线上，取一点H使得3OHOG，那么2GHOG（如图16A）。因为又有GAAG，欧几里得2后半部分告诉我们AH平行于AO，而AO垂直平分BC。因此AH垂直于BC。类似地，BH垂直于CA，CH垂直于AB。从一个顶点引出的垂直于对边的直线叫做“高线”，以上论述说明任意三角形的三条高线都相交于欧拉线上的一点。
42、三条高线的这个公共点H称为三角形的“垂心”。27九点圆这个圆是所有初等几何课程中出现的第一个真正令人兴奋的东西。DANIELPEDOE（1910）PEDOE1,第1页26垂线与对应边的交点（就像图17A中与D类似的三个点）形成了三角形ABC的“正交三角形”（或“垂足三角形”）。正交三角形的外接圆称为原始三角形的“九点圆”（或者“费尔巴哈圆”）。因为它不仅仅包含了三条垂线的垂足，还包含了另外六个重要的点。事实上，171三角形三条边的中点，顶点与垂心连线的中点，还有三条高线的垂足都在同一个圆上。证明COXETER2，第29页令A、B、C、A、B、C为BC、CA、AB、HA、HB、HC的中点，D、E
43、、F为高线的垂足，如图17A。再次根据欧几里得2和4，CB和BC都平行于BC且BC和CB都平行于AH。因为AH是垂直于BC的，可以得到BCBC是一个矩形。类似地，CACA也是一个矩形。因此AA、BB、CC是一个圆的三条直径。因为这些直径在点D、E、F对向直角，所以同一个圆也经过这些点。如果平面上四个点被六条不同的直线两两连结，则它们成为一个完全四边形的顶点，并且这些直线是他的六条边。如果两条边没有共同的顶点，则称它们是相对的。任意两条相对的边的交点称为“对角线点”。应该有三个这样的点（见图17B）。27如果三角形ABC不是直角三角形，它的顶点和垂心构成了一个特殊的四边形，她的相对边是互相垂直的
44、。用这个术语，三条垂线共点可以表述如下172如果一个完全四边形的两对相对边是相互垂直的，那么余下的一对相对边也同样是相互垂直的。这样的四边形ABCH被称为中心正交四边形。它的六条边BC、CA、AB、HA、HB、HC是三角形ABC的边和垂线，并且对角线点D、E、F为高线的垂足。在四边形的四个顶点中，我们批注给顶点H一个特殊的角色。明显地，173一个中心正交四边形的每个顶点时另外三个顶点构成的三角形的垂心。这四个三角形（只有一个锐角三角形）都有相同的正交三角形，因而有相同的九点圆。在有关仿射几何学的著述中例如COXETER2,871，证明了任意完全四边形六条边的中点和三个对角线点在一条圆锥曲线上。
45、以上论述说明，当四边形是中心正交四边形时，这个“九点圆锥曲线”变成了一个圆。28两个极值问题很多人都有自己对数学的欣赏，就像很多人都有自己喜欢的调调一样。但是可能喜欢数学的人比喜欢音乐的人要多。GHHARDY2第26页如果我们可以消除人们在而同时到所形成的对数学的厌恶感，那么就可以进一步激发他们的兴趣。28HANSRADEMOCHER（1892）RADEMACHERANDTOEPLITZ1，第5页我们将详尽地描述FAGNANO问题和FERMAT问题，因为解决这两个问题的方法相当有趣。第一次提出FAGNANO问题的人是JFTOSCHIDIFAGNANO，也是他解决了微分问题。这里给出的方法是由L
46、FEJDR提供的，虽然当时他还只是个学生。RADEMACHERANDTOEPLITZ1，第3032页281FAGNANO问题在一个给定的锐角三角形ABC中，做出内接三角形UVW，使得三角形UVW的周长最小。首先假设任意三角形UVW，U在BC上，V在CA上，W在AB上。U、U分别是U关于CA和AB的对称点，则有UVVWWUUVVWWU，这是一条从U到U的连线，通常是在V点和W点处有弯折的。当这条连线是直线时最短，如图18A。因此，在给定的三角形的BC边上的特殊点U与UU上的V和W就构成了具有最小周长的三角形。这样，我们就可以直接在BC上明确选择一个点让三角形UVW的周长最小且等于线段UU的长。因
47、为AU和AU是AU关于AC与AB的对称线，那么他们全等并且角2UAUA。因此三角形AUU是一个等腰三角形，并且角A的角度是不因为U的变化而变化的。当AU是最小并且两边也是相等的基线UU也是最小的。也就是说从一个给定的A点到边BC的最短距离是AU。由于直角三角形的斜边大于两个直角边，因此这29个给定的点就是A在BC边上的垂点。因此垂线AU就是A垂直高度。U的位置的选择决定了一个最小周长的三角形UVW的位置，这个三角形比其他任何的位置的三角形周长都小。由于我们可以把A换成B或者C，因此我们可以知道BV于CW也是B跟C的垂直高度。因此锐角三角形ABC的周长最小的内接三角形是三角形ABC的正交三角形。
48、同样的方法可以用来证明球形三角形也有类似的结果。另外一个问题，是由FERMAT16011665提出来的。也是同样的目的，也是为了减少三个点的距离的总和。在这里给出的方案是由JEHOFMANN提出来的。282FERMAT问题在给出的锐角三角形ABC中，取点P使得P点到A、B、C三点的距离之和最小。首先考虑三角形中任意一点P。连结AP、BP、CP，将内部三角形APB绕B点旋转60得到新的三角形CPB，因此三角形ABC和三角形PBP都是等边三角形，如图18B。并且APBPCPCPPPPC。这是C到C的连线，通常在点P和P弯折。当这条连线是直线时最短，在这种情况下180120BPCBPP且180120APBCPBPPB
