1、1毕业论文开题报告数学与应用数学某些度量切丛上的单位球面一、选题的背景与意义FINSLER几何的历史可以追溯到黎曼的著名演讲,黎曼早在1854年的著名就职演讲中试图用空间中的模来定义更广泛的度量空间，也就是后来的被称为FINSLER几何的研究，但是并没有很好的进展。1918年FINSLER在他的一篇论文中讨论了基于变分定义度量的一般原则，研究了一般的正则度量空间中的曲线和曲面的变分问题，正因如此，后来把这样的正则度量空间称之为FINSLER空间。近十几年来，FINSLER几何学家对FINSLER度量的整体性质作了大量研究，并取得了一系列重要结果。如关于常旗曲率FINSLER空间的整体结构，法国
2、籍伊朗裔数学家AKBARZADEH证明了在紧致流形上，任何具有负常数旗曲率的FINSLER度量一定是黎曼度量，任何旗曲率为0的FINSLER度量一定是局部MINKOWSKI度量。进一步，莫小欢与沈忠民证明了在维数大于2的FINSLER流形上，若FINSLER度量具有标量旗曲率且其旗曲率是负的，则FINSLER度量一定是RANDERS度量，这说明了研究RANDERS度量的重要性。黎曼流形的切丛与单位切球丛的几何及黎曼流形上的极小或调和单位向量场已被广泛研究和讨论，并且仍是前沿研究的一个热点之一。但在FINSLER几何情形，相应的内容还没有得到足够的重视，相关结果还很少。因此，FINSLER几何学
3、家将在未来的研究工作中深入研究FINSLER流形的切丛与单切球丛的几何，并深入研究FINSLER流形上的极小或调和单位向量场，探讨极小子流形与调和映照的联系以及它们的几何变分特征，在一定的曲率条件下讨论调和映照的稳定性。这些内容都是十分重要和有趣的课题。切丛是微分流行M上的一种特殊的向量丛，微分几何中研究切丛上的问题将对我们研究度量本身有很大的帮助，比如GAUSSBONNETCHERN公式等。FINSLER度量的切丛上那些长度为1的向量构成的单位球面是否具有特殊的曲率性质是很吸引人的问题。本课题将主要研究2维的FINSLER度量切丛上的单位球面。二、研究的基本内容与拟解决的主要问题21学习FI
4、NSLER几何中切丛上单位球面的含义。11切丛单位球面的定义12切丛单位球面上的一些重要的几何量的介绍2对某些特殊度量的单位切球面进行讨论。21介绍FINSLER度量以及一些特殊的FINSLER度量22分析FINSLER度量的切丛上那些长度为1的向量构成的单位球面3对于RANDERS度量等某些FINSLER度量做出单位切圆的具体图形。31引入相关定理的证明32解出满足FV1的单位圆的方程33做出单位切圆的具体图形4得到相关结果。41根据图形和方程得到FINSLER度量的切丛上那些长度为1的向量构成的单位球面具有特殊的曲率性质5讨论得到结果的具体含义。三、研究的方法与技术路线由导师指导，通过学习
5、和查阅文献，以当前研究的成果入手，了解FINSLER几何中切丛上单位球面的含义,研究2维的FINSLER度量切丛上的单位球面,通过做出单位圆的具体图形得到相关结果。四、研究的总体安排与进度2010年12月1日12月31日收集资料，查阅文献，学习基础相关知识。2011年1月1日2月28日研究FINSLER度量切丛上的单位球面，进行具体计算，分析。2011年3月1日3月31日完成主要定理证明，得到相关结果，完成初稿。2011年4月1日5月1日基本定稿，完成论文，准备答辩。五、主要参考文献1沈忠民，詹华税几何中若干问题之研究1J集美大学学报自然科3学版，1999，4376832伍鸿熙，陈维桓黎曼几何
6、选讲M北京北京大学出版杜，19933沈一兵。整体微分几何初步M北京高等教育出版社，2009。74徐森林，薛春华，胡自胜，金亚东。近代微分几何M合肥中国科学技术大学出版社，2009。65卡尔莫。曲线和曲面的微分几何学。上海上海科学技术出版社,1988。6PFILSLEROBERKURVENUNDMCHERTINPJGEMEINENRNMC,OTTINGENDION，19187ZHONGMINSHEN,TWODIMENSIONALFINSLERMETRICSWITHCONSTANTCURVATURE,TOAPPEAR。8GLUCKH,ZILLERW。ONTHEVOLUMEOFAUNITVECTOR
7、FIELDONTHETHREESPHEREJ。COMMMATHHELV,1986,611771929ZHOUJW,HUANGH。GEOMETRYONGRASSMANNMANIFOLDSG2,8ANDG3,8J。MATHJOKAYAMAUNIV,2002,44171179。10MUSSOE,TRICERRIF。RIEMANIANMETRICSONTANGENTBUNDLESJ。ANN。MAT。PURAAPPL。,1988,150411911BLAIRDE。RIEMANNIANGEOMETRYOFCONTACTANDSYPLETICMANIFOLDSM。BIRKHAUSERBOSTON,INC。,
8、BOSTON,MA,2002。12MAKOTOMATSUMOTO,FOUNDATIONSOFFINSLERGEOMETRYANDSPECIALFINSLERSPACES。KAISEISHAPRESS,1986。4毕业论文文献综述数学与影数学某些度量切丛上的单位球面FINSLER几何就是没有二次型限制的黎曼几何，黎曼在1854年的著名就职演讲中提出了后来被称FINSLER几何的概念。他发现了度量的二次型情况与一般情况的区别，并选择二次型为代表进行研究。1918年，FINSLER研究了一般度量情况下的曲线与曲面的几何。此后，人们习惯地把一般度量情况的几何称为FINSLER几何。FINSLER几何研
9、究的是具有FINSLER度量的空间几何性质。实际上FIMLER空间的切空间是MINKOKI空间，它是最简单的FINSLER流形，就恰似EUELID空间是最简单的RIEMANN流形一样。令M为N维微分流行F光滑，非负实数和1齐次函数作用在切丛M上，使得2F的海赛是非负的。F称为FINSLER流行M,F的一个特征函数。对于一固定点MX，切向量空间MTX可以看成是F产生的一个黎曼度量空间。；YYYX,F21YGGJI22IJIJ而且，MTX是带有规范Y,XF的MINKOWSKI空间。向量集1,FMTYIXXYX被称为单位切球，且被认为是双重的，即超曲面和单位球。作为黎曼超曲面，单位切球是凸的和定向的
10、，它作为纤维含有封闭的切丛。根据超曲面的定理，可以得出单位切球XI是全脐的连同单位平均曲率。在单位切球反映在某些局域架上。共变微分的表示是给定的可积性条件。充分必要条件，对任意与单切球面相似的超曲面，包含单位平均曲率的形状特征。一个单切球的平均曲率可表示为微量的第二特征张量，算术均数和主曲率。在FINSLER几何的几十年发展中，寻找具有特殊性质的特殊FINSLER度量一直是数学家关注的重要的问题。更多生动具体的度量对研究FINSLER几何的一些5基本问题有着重要地作用。，度量这个概念是日本数学家M。MATSUMOTO于1972年在已被物理学家关注的RANDERS度量F（其中表示黎曼度量，表示1
11、阶微分形式）的基础上而提出的。九十年代以前，日本数学家主要采用张量分析的方法研究，度量，但几何的本质往往被张量计算所掩盖，所以这方面的进展缓慢。九十年代以后，Z。SHEN引入新的运算模式并大量应用MAPLE程序运算，为，度量的研究注入了新的活力。到目前为止，RANDERS度量得到了基本上彻底的研究。1933年，法国著名数学家ELIECARTAN18691951发表了他的第一篇关于FINSLER几何的论文，主题是关于FINSLER度量的共性变换的若干注记，同时预告了他的确定一个FINSLER空间联络的公理系统。1934年，CARTAN发表了他关于FINSLER几何的著名论文，详细介绍了他的确定F
12、INSLER空间联络（我们称之为CARTAN联络）的公理系统。CARTAN引入了线性元空间（即射影化切丛PTM概念，将他的欧氏联络理论推广到了FINSLER空间。吴教授在FINSLER几何学领域的研究已达到国际领先水平，他在国际上首次提出关于一般FINSLER体积形式的子流形几何学，对已有的FINSLER流形的刚性定理做出了统一处理，以体积形式为主线，对FINSLER几何中的各种比较定理做出了系统研究，得到了它的一些具体应用实例，为进一步用比较几何方法研究FINSLER几何奠定了重要基础。他的系列研究成果很多发表在国际著名刊物，其中一篇发表在国际一流刊物MATH。ANN。上，这在国内FINSL
13、ER几何学研究者中是仅有的一例。吴炳烨教授的上述研究工作对FINSLER几何学的研究产生了积极而深远的影响。FINSLER子流形几何对丰富FINSLER几何理论富有重要价值。这一领域的研究内容是令人向往的。如关于黎曼流形的切丛与单位切球的几何及黎曼流形上的极小或调和单位向量场已被广泛研究和讨论，并且仍是前沿研究的一个热点之一。但在FINSLER几何情形，相应的内容还没有得到足够的重视，相关结果还很少。因此，FINSLER几何学家将在未来的研究工作中深入研究FINSLER流形的切丛与单切球的几何，并深入研究FINSLER流形上的极小或调和单位向量场，探讨极小子流形与调和映照的联系以及它们的几何变
14、分特征，在一定的曲率条件下6讨论调和映照的稳定性。这些内容都是十分重要和有趣的课题。切丛是微分流行M上的一种特殊的向量丛，微分几何中研究切丛上的问题将对我们研究度量本身有很大的帮助，比如GAUSSBONNETCHERN公式等。FINSLER度量的切丛上那些长度为1的向量构成的单位球面是否具有特殊的曲率性质是很吸引人的问题。本课题将主要研究2维的FINSLER度量切丛上的单位球面。参考文献13沈忠民，詹华税几何中若干问题之研究1J集美大学学报自然科学版，1999，43768314伍鸿熙，陈维桓黎曼几何选讲M北京北京大学出版杜，199315沈一兵。整体微分几何初步M北京高等教育出版社，2009。7
15、16徐森林，薛春华，胡自胜，金亚东。近代微分几何M合肥中国科学技术大学出版社，2009。617卡尔莫。曲线和曲面的微分几何学。上海上海科学技术出版社,1988。18PFILSLEROBERKURVENUNDMCHERTINPJGEMEINENRNMC,OTTINGENDION，191819ZHONGMINSHEN,TWODIMENSIONALFINSLERMETRICSWITHCONSTANTCURVATURE,TOAPPEAR。20GLUCKH,ZILLERW。ONTHEVOLUMEOFAUNITVECTORFIELDONTHETHREESPHEREJ。COMMMATHHELV,1986,6
16、117719221ZHOUJW,HUANGH。GEOMETRYONGRASSMANNMANIFOLDSG2,8ANDG3,8J。MATHJOKAYAMAUNIV,2002,44171179。22MUSSOE,TRICERRIF。RIEMANIANMETRICSONTANGENTBUNDLESJ。ANN。MAT。PURAAPPL。,1988,150411923BLAIRDE。RIEMANNIANGEOMETRYOFCONTACTANDSYPLETICMANIFOLDSM。BIRKHAUSERBOSTON,INC。,BOSTON,MA,2002。24MAKOTOMATSUMOTO,FOUNDATI
17、ONSOFFINSLERGEOMETRYANDSPECIALFINSLERSPACES。KAISEISHAPRESS,1986。78本科毕业设计（20届）某些度量切丛上的单位球面摘要本文主要研究了二、三维的FINSLER度量的切丛上的单位球面，通过对FINSLER流行上9的几个特殊的度量，如RANDERS度量、MATSUMOTO度量等的单位球面进行讨论，并对于这些FINSLER度量的单位切圆画出了具体图形，从而得到了相关定理，并证明了这些定理。第一章研究了二、三维的RANDERS度量的切丛上的单位球面，并得出了相关定理。第二、三章分别讨论了二、三维的度量2F和MATSUMOTO度量的切丛上的单
18、位球面及其图形。关键词FINSLER度量；RANDERS度量；单位切球；切丛10ABSTRACTTHISPAPERMAINLYSTUDIESTHEUNITSPHEREONTHETANGENTBUNDLEOFTWOANDTHREEDIMENSIONFINSLERMETRICSBYMEANSOFTHEDISCUSSIONOFSOMEUNITSPHERESONSEVERALSPECIALMETRICSINFINSLERMANIFOLD,SUCHASRANDERSMETRIC,SUCHASMATSUMOTOMETRICETCANDDRAWTHEGEOMETRICFIGUREOFUNITTANGENTS
19、PHERE,THUSGETSOMERELATEDTHEOREMANDPROOFTHESETHEOREMSTHEFIRSTCHAPTERDISCUSSESTHEUNITTANGENTSPHEREONTHETWOANDTHREEDIMENSIONFINSLERMETRICSANDGETSOMERELATEDTHEOREMTHESECONDANDTHIRDCHAPTERDISCUSSESTHEUNITTANGENTSPHEREANDTHEREGEOMETRICFIGUREINTHE2FMETRICANDMATSUMOTOMETRICKEYWORDSFINSLERMETRICRANDERSMETRIC
20、UNITTANGENTSPHERETANGENTBUNDLE11目录摘要ABSTRACT引言12第一章FINSLER度量切丛上的单位球面1411FINSLER几何中切丛上单位球面的定义1412FINSLER度量以及一些特殊的FINSLER度量14第二章RANDERS度量及单位球面1721二维球面1722三维球面2023椭圆椭球面23第三章2F及其单位球面2531二维N22532三维N326第四章MATSUMOTO度量2F及其单位球面2841二维N22842三维N329参考文献31致谢错误未定义书签。附录2412引言FINSLER几何的背景与发展FINSLER几何的历史可以追溯到黎曼的著名演讲,
21、黎曼早在1854年的著名就职演讲中试图用空间中的模来定义更广泛的度量空间，也就是后来的被称为FINSLER几何的研究，但是并没有很好的进展。1918年FINSLER在他的一篇论文中讨论了基于变分定义度量的一般原则，研究了一般的正则度量空间中的曲线和曲面的变分问题，正因如此，后来把这样的正则度量空间称之为FINSLER空间。近十几年来，FINSLER几何学家对FINSLER度量的整体性质作了大量研究，并取得了一系列重要结果。如关于常旗曲率FINSLER空间的整体结构，法国籍伊朗裔数学家AKBARZADEH证明了在紧致流形上，任何具有负常数旗曲率的FINSLER度量一定是黎曼度量，任何旗曲率为0的
22、FINSLER度量一定是局部MINKOWSKI度量。进一步，莫小欢与沈忠民证明了在维数大于2的FINSLER流形上，若FINSLER度量具有标量旗曲率且其旗曲率是负的，则FINSLER度量一定是RANDERS度量，这说明了研究RANDERS度量的重要性。黎曼流形的切丛与单位切球丛的几何及黎曼流形上的极小或调和单位向量场已被广泛研究和讨论，并且仍是前沿研究的一个热点之一。但在FINSLER几何情形，相应的内容还没有得到足够的重视，相关结果还很少。因此，FINSLER几何学家将在未来的研究工作中深入研究FINSLER流形的切丛与单切球丛的几何，并深入研究FINSLER流形上的极小或调和单位向量场，
23、探讨极小子流形与调和映照的联系以及它们的几何变分特征，在一定的曲率条件下讨论调和映照的稳定性。这些内容都是十分重要和有趣的课题。本文通过研究得出了以下结论；在二维欧式空间上RANDERS度量切丛上的单位球面121212211YBXBYAXAF是椭圆。在三维欧式空间上RANDERS度量切丛上的单位球面1321213212211ZBYBXBZAYAXAF是椭球面。而且在二、三维欧氏空间上的椭圆或椭球面在切丛上一定是RANDERS度量的单位球面。在二维欧氏空间上的度量2F12222122YXYBXBYX的单位球面和YXYX,22的系数有关。当22,YX的系数取1，YX,取一定值时它的单位球面为椭圆。
24、当1322,YX的系数取小于1的数，YX,取一定值时它的单位球面不为椭圆。在三维当欧式空间上的度量12222321222ZYXZBYBXBZYXF的单位球面和ZYXZYX,222的系数有关。当222,ZYX的系数取1，ZYX,取一定值时它的单位球面为椭球面。当222,ZYX的系数取小于1的数时，ZYX,取一定值时不为椭球面。在二维欧氏空间上的MATSUMOTO度量2F的单位球面和YXYX,22的系数有关。12122222YBXBYXYXF当22,X的系数取1，YX,取一定值时它的单位球面为椭圆。当22,YX的系数取小于1的数，YX,取一定值时它的单位球面不为椭圆。在三维欧氏空间上的MATSUM
25、OTO度量2FZBYBXBZYXZYX32122222221的单位球面和ZYXZYX,222的系数有关。当222,ZYX的系数取1，ZYX,取一定值时它的单位球面为椭球面。当222,ZYX的系数取小于1的数时，ZYX,取一定值时不为椭球面。14第一章FINSLER度量切丛上的单位球面11FINSLER几何中切丛上单位球面的定义FINSLER几何,简单地讲,就是具有FINSLER度量的微分几何。虽然1985年就引进了FINSLER度量，并且后来也有所进展；但近几十年才真正引起数学家特别是几何家门的重视。原因很简单，80年代末人们发现了FINSLER几何生物、物理等方面有许多应用。著名数学家SSC
26、HERN殷切期望华人尤其是中国大陆本身的数学研究在FINSLER几何方面能处于世界领先的地位。目前在日本人、法国、罗马尼亚、加拿大等国家已经广泛地开展了这一领域的研究，但在中国国内的有关成果报道却很少。切丛是微分流行M上的一种特殊的向量丛，一般记为TM，它的秩就等于流行M的维数。设M是一个N维流行,HAM上的一个FINSLER结构是一个具有下列性质的映射FTM,0AF在TM0上是严格正的、光滑的；BMTYTYXTFTYXFX,0,C在M上的任何局部坐标系NNFX,）（矩阵（YYF22）对所有的0XYY都是正定的。令（11）JIJIIJYFYFFYYFYXG2221,，则对每一MX。（12）JI
27、IJDYDYYXGDS,2是去心切空间0MTX上的黎曼度量。在MX处的单位切球MIX定义为（13）1,YXFMTYMIXX12FINSLER度量以及一些特殊的FINSLER度量在FINSLER几何的几十年发展中，寻找具有特殊性质的特殊FINSLER度量一直是数学家关注的重要的问题。更多生动具体的度量对研究FINSLER几何的一些基本问题有着重要地作用。15在FINSLER度量中，度量是我们知道和了解的最多的度量，这一直是FINSLER几何学家们研究的热点。九十年代以前，日本数学家主要采用张量分析的方法研究，度量，度量这个概念是日本数学家MMATSUMOTO于1972年在已被物理学家关注的RAN
28、DERS度量F（其中表示黎曼度量，表示1阶微分形式）的基础上而提出的。但几何的本质往往被张量计算所掩盖，所以这方面的进展缓慢。九十年代以后，ZSHEN引入新的运算模式并大量应用MAPLE程序运算，为，度量的研究注入了新的活力。若TM上的函数FFXYTMR，满足以下条件，则称它为M上的一个FINSLER度量1FXY，在0TM上是C函数；20FXY，0Y；3FXYFXY，R；4基本张量222IJIJFGXYYY，正定。由定义可见当IJGXY，只与X有关时，它就是一个黎曼度量；1972年，在已被物理学家广泛关注的RANDERS的度量F的基础上，日本数学家MMATSUMOTO提出了，度量这个概念设M为
29、一个N维流形，称FINSLER度量F为M上的，度量若FXYF，为1阶正齐次函数，即FF，0，其中IJIJAXYY为黎曼度量，IIBXY为1阶微分形式，即1形式下列是文献中常见的，度量RANDERS度量F；MATSUMOTO度量2/F；PARKLEE度量2/F；KROPINA度量2/F；广义KROPINA度量1/MMF，01M，1623FINSLER度量的切丛上那些长度为1的向量构成的单位球面令1,1YYGTMYMT是单位切球在M上且MMT11是正投影。明显MT1是TM的全脐和一个局部的表达1JIIJYYXG在一个局部坐标JIYX,在TM上。17第二章RANDERS度量及单位球面21二维球面定理
30、11；在维数为二的欧式空间上RANDERS度量的单位球面一定是椭圆。证明解出满足FV1的单位圆的方程令YBXBYX2122,RANDERS度量FYBXBYX2122当1VF时解出方程的根；即YBXBYX21221则X的解为；Y的解为；122B22B1XB22X2B12X212B1XB22X21B22,122B22B1XB22X2B12X212B1XB22X21B22以下将求12122YBXBYXF的标准方程122B12B1B2Y2Y22B2Y1B22Y2B12Y21B12,122B12B1B2Y2Y22B2Y1B22Y2B12Y21B1218解；YBXBYX21221两边平方并合并得；0122
31、2112121222221XYBBYBXBYBXB写出它的系数矩阵A1B12B1B2B1B1B21B22B2B1B21计算不变量2221122211211BBIBBI42212121000422121210001111111412242212241224221223212222112121322212222121212BBBBBBBBBBIBBBBBBBBBBIBBIBBBBBBI解得13I解特征方程012222122212BBBB2221211,1BB得二次曲线的标准方程为11222221YXBB由于02I，所以此二次曲线为椭圆。19下面将画出当21,BB取不同值时此椭圆的图当21,BB05
32、,33,33YX时1505022YXYX当21,BB01,22,22YX时1101022YXYX当360,318,150303022YXYXYXF时20从以上三个例子可以看出在二维欧氏空间上RANDERS度量的单位球面一定为椭圆。22三维球面定理21；在维数为三的欧式空间上RANDERS度量的单位球面一定是椭球面三维ZBYBXBZYX321222,RANDERS度量FZBYBXBZYXF321222令1VF时，解出方程的根1321222ZBYBXBZYXFX的解为、122B1B2Y2B1B3Z2B122B2YB3ZY2Z2B22Y212B2YB32Z22B3ZB12Y2B12Z21B12122
33、B1B2Y2B1B3Z2B1,22B2YB3ZY2Z2B22Y212B2YB32Z22B3ZB12Y2B12Z21B12Y的解为21122B22B1XB22B2B3Z2X22B1XB3ZZ2B12X212B1X2B3ZB32Z2B22X2B22Z21B22122B22B1XB22B2B3Z,2X22B1XB3ZZ2B12X212B1X2B3ZB32Z2B22X2B22Z21B22Z的解为122B1XB32B32B2YB322B1XB12X2X2Y2B22Y212B1XB2Y2B2YB32X2B32Y21B32122B1XB32B32B2YB3,22B1XB12X2X2Y2B22Y212B1XB
34、2Y2B2YB32X2B32Y21B32以下将写出1321222ZBYBXBZYXF的标准方程解ZBYBXBZYX3212221两边平方并合并得0121221222132232322213121221ZBZBYBYZBBYBXBZBBXYBBXB则它的系数矩阵为1111321323323123222211312121BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBA计算其不变量22141214121214141214121214111000100011111113111422322432122214142232243212221414212322321232232332313222213121213
35、222122212121223222112322211BBBBBBBBBBBBBBBBAIBBBIBBBIBBBBBBBBBBBBBBBIBBBBBBBBIBBBIBBBI特征方程为0113212322222122322213BBBBBBBB所以标准方程为011232221232221BBBZYX所以此二次曲面为椭球面。下面将画出321,BBB取不同值时此椭球面的图形66,50,321ZYXBBB，时22,10,321ZYXBBB，时23可以看出在三维欧氏空间上RANDERS度量的单位球面为椭球面。23椭圆椭球面下面我们将证明定理11的逆定理定理23在二维欧氏空间上的椭圆一定是RANDERS度
36、量上的单位球面。证设椭圆的一般方程为CYBXBXYAYAXAYXF21122222112,由坐标变换定理可知；存在线性变换21221211112111DYHXHYDYHXHX使得1,212221YBXBYAXAYXF即YXF,是RANDERS度量上的单位球面。例如ARIEMANN度量1222211YAXAF；当CYBXBXYAYAXAYXF21122222112,中21,BB为零时CXYAYAXAYXF122222112,可以通过线性变换21221211112111DYHXHYDYHXHX化为1222211YAXAF，即为RIEMANN度量B0,1,YXFYXF；2402221122211,0
37、22211211,212122222221212222221212222122212122222221221212222212222XYBBYBXBYBXBXYBBYBXBYBXBYXYBXBYXYXFXYBBYBXBYBXBYBXBYBXBYXYBXBYXYXF即0,1,YXFYXF依然是RANDERS度量。本章得出的结论是，在二维欧式空间上RANDERS度量切丛上的单位球面121212211YBXBYAXAF是椭圆。在三维欧式空间上RANDERS度量切丛上的单位球面1321213212211ZBYBXBZAYAXAF是椭球面。而且在二、三维欧氏空间上的椭圆或椭球面在切丛上一定是RANDER
38、S度量的单位球面。25第三章2F及其单位球面31二维N2将YBXBYX2122,代入12F中得12222122YXYBXBYXF22122222222212212222222212212122222222YBXBYXYXYBXYBBXBYXYXYBXYBBXBYBXBYXYX22122212222443321323122222132132142242144244122222221444446442222YBXBYXYBXBYXYXYXXYBBYXBBYXBBXYBBYXBBYBXBYBXBYXBYXB04444411221421444414122222122222122212122322212
39、132121213231422222421221YXYXBXYBYXBBBBBBXYBBBBBYXBBBBBYBXBYBBXBB下面画出当55,55,30,3021YXBB时以上方程的图可以看出当N2时12F的单位球面为斜椭圆。但是当22YAXAJI时情况就不同26如，66,33,1303022222YXYXXYXF时画出图形可以看出，在以上情况下12F的单位球面不是椭圆。32三维N3将ZBYBXBZYX321222,代入12F中得12222321222ZYXZBYBXBZYXF下面将画出当55,55,3350,321ZY。XBBB，时方程的图；可以看出当N3时12F的单位球面为椭球面。但当2
40、020,2020,1010,1202030202222222ZYXZYXYXZYXF时27可以看出，在以上情况下12F的单位球面不是椭球面。本章主要得出的结论是，在二维欧氏空间上的度量2F12222122YXYBXBYX的单位球面和YXYX,22的系数有关。当22,YX的系数取1，YX,取一定值时它的单位球面为椭圆。当22,YX的系数取小于1的数，YX,取一定值时它的单位球面不为椭圆。在三维当欧式空间上的度量12222321222ZYXZBYBXBZYXF的单位球面和ZYXZYX,222的系数有关。当222,ZYX的系数取1，ZYX,取一定值时它的单位球面为椭球面。当222,ZYX的系数取小于
41、1的数时，ZYX,取一定值时不为椭球面。28第四章MATSUMOTO度量2F及其单位球面MATSUMOTO度量IIJIIJYBYYF,/2是FINSLER几何中一个重要的度量。41二维N2将YBXBYX2122,代入12F中得；12122222YBXBYXYXF2212222YBXBYXYX012222212222232421212222221314YBYBYXYBBXYBYXYXBXBXBX下面将画出方程的图形；当,22,2220,21YXBB，时29可以看出当N2时12F的单位球面为椭圆。但，当88,22,120203022222YXYXYXYXF时可以看出，在以上情况下12F的单位球面不
42、是椭圆。42三维N3将ZBYBXBZYX321222,代入12F中得；13212222222ZBYBXBZYXZYXF2321222222ZBYBXBZYXZYX下面画出方程的图形；当22,22,2220,321ZYXBBB，时30可以看出N3时，当321BBB、并ZYX、取相同值时12F为椭球面。当44,55,3340,40,50321ZYXBBB，时可以看出N3时，当321BBB、并ZYX、取不同值时12F的单位球面不是椭球面。本章主要得出结论；在二维欧氏空间上的MATSUMOTO度量2F的单位球面和YXYX,22的系数有关。12122222YBXBYXYXF当22,X的系数取1，YX,取
43、一定值时它的单位球面为椭圆。当22,YX的系数取小于1的数，YX,取一定值时它的单位球面不为椭圆。在三维欧氏空间上的MATSUMOTO度量2FZBYBXBZYXZYX32122222221的单位球面和ZYXZYX,222的系数有关。当222,ZYX的系数取1，ZYX,取一定值时它的单位球面为椭球面。当222,ZYX的系数取小于1的数时，ZYX,取一定值时不为椭球面。31参考文献25沈忠民，詹华税几何中若干问题之研究1J集美大学学报自然科学版，1999，43768326伍鸿熙，陈维桓黎曼几何选讲M北京北京大学出版杜，199327沈一兵。整体微分几何初步M北京高等教育出版社，2009。728徐森林
44、，薛春华，胡自胜，金亚东。近代微分几何M合肥中国科学技术大学出版社，2009。629卡尔莫。曲线和曲面的微分几何学。上海上海科学技术出版社,1988。30PFILSLEROBERKURVENUNDMCHERTINPJGEMEINENRNMC,OTTINGENDION，191831ZHONGMINSHEN,TWODIMENSIONALFINSLERMETRICSWITHCONSTANTCURVATURE,TOAPPEAR。32GLUCKH,ZILLERW。ONTHEVOLUMEOFAUNITVECTORFIELDONTHETHREESPHEREJ。COMMMATHHELV,1986,6117719233ZHOUJW,HUANGH。GEOMETRYONGRASSMANNMANIFOLDSG2,8ANDG3,8J。MATHJOKAYAMAUNIV,2002,44171179。34MUSSOE,TRICERRIF。RIEMANIANMETRICSONTANGENTBUNDLESJ。ANN。MAT。PURAAPPL。,1988,150411935BLAIRDE。RIEMANNIANGEOMETRYOFCONTACTANDSYPLETICMANIFOLDSM。BIRKHAUSERBOSTON,INC。,BOSTON,MA,2002。36M
