1、类型一：利用柯西不等式求最值例 1求函数 的最大值解： 且 ， 函数的定义域为 ，且 ，即 时函数取最大值，最大值为法二： 且 ， 函数的定义域为由 ，得即 ，解得 时函数取最大值，最大值为 .当函数解析式中含有根号时常利用柯西不等式求解【变式 1】设 且 ，求 的最大值及最小值。利用柯西不等式得 ,故最大值为10，最小值为-10【变式 2】已知 ， ，求 的最值.法一：由柯西不等式于是 的最大值为 ，最小值为 .法二：由柯西不等式于是 的最大值为 ，最小值为 .【变式 3】设 2x+3y+5z=29，求函数 的最大值根据柯西不等式 ，故 。当且仅当 2x+1=3y+4=5z+6，即 时等号成
2、立，此时，变式 4：设 (1，0， 2)， (x，y，z)，若 x2 y2 z2 16，则 的最大值为 ab ab。【解】 (1，0， 2)， (x，y，z) x 2zab由柯西不等式1 2 0 ( 2)2(x2 y2 z2) (x 0 2z)2 5 16 (x 2z) 2 4 x 45 4 4 ，故 的最大值为 4 :abab5变式 5：设 x，y，z R，若 x2 y2 z2 4，则 x 2y 2z 之最小值为 时，(x，y，z) 解(x 2y 2z)2 (x2 y2 z2)12 ( 2) 2 22 49 36 x 2y 2z 最小值为 6， 公式法求 (x，y，z) 此时 ， ，32)(
3、621zy 3xy34z变式 6：设 x, y, z R，若 ，则 之最小值为_，又zyx22)1(此时 _。y解析： 1436)()32(1)3(2)1( 2222 zyxzyxzx最小值 78, ,()1)3231yztxyztt t2变式 7：设 a，b，c 均为正数且 a b c 9，则 之最小值为 cba64解： ( )(a b c)2)432( 1 ( )9 (2 3 4)2 81 9cba164cba16948变式 8：设 a, b, c 均为正数，且 ，则 之最小值为_32解：: 22222 )1()()1(3)() cbac ，最小值为 1818ba变式 9：设 x，y，z
4、R 且 ，求 x y z 之最大、小值:14)3(5)2(6)( 22zyx【解】 由柯西不等式知14)3(5)(16)( 222z42（ )2 22 222)()()(zyx 25 1 (x y z 2)2 5 |x y )5()41(yx2)3(zz 2| 5 x y z 2 5 3 x y z 7故 x y z 之最大值为 7，最小值为 3类型二：利用柯西不等式证明不等式基本方法：（1）巧拆常数 （例 1） （2）重新安排某些项的次序（例 2）（3）改变结构 （例 3） （4）添项（例 4）例 1设 、 、 为正数且各不相等，求证：又 、 、 各不相等，故等号不能成立 。例 2 、 为非
5、负数， + =1， ，求证：即例 3若 ，求证：解： ， ， ，所证结论改为证 例 4 ，求证：左端变形 ，只需证此式 即可。【变式 1】设 a,b,c 为正数，求证： ，即 。同理 ， 将上面三个同向不等式相加得，【变式 2】设 a,b,c 为正数，求证： 于是 即【变式 3】已知正数 满足 证明 。解： 又因为在此不等式两边同乘以 2，再加上 得：，故 。类型三：柯西不等式在几何上的应用6ABC 的三边长为 a、b、c，其外接圆半径为 R，求证： 证明：由三角形中的正弦定理得 ，所以 ，同理 ，于是左边= 。【变式】ABC 之三边长为 4，5，6，P 为三角形内部一点，P 到三边的距离分別
6、为 x，y，z，求 的最小值。且4x+5y+6z=由柯西不等式(4x+5y+6z) 2(x 2+y2+z2)(42+52+62)(x 2+y2+z2)77 x2+y2+z2 。柯西不等式221nbaba 221221 nnbba niRai2,1等号当且仅当 或 时成立（k 为常数， ）021 ii ,利用柯西不等式可处理以下问题：1） 证明不等式例 2:已知正数 满足 证明 ,abc1c2233abcabc证明： 2331222ab222333abc33abcc又因为 在此不等式两边同乘以 2，再加上 得：22abc 22abc3c故223322ababcabc2233cabc2） 解三角形
7、的相关问题例 3 设 是 内的一点， 是 到三边 的距离， 是 外接圆的半pABC,xyzp,RABC径，证明 221xyzabcR证明： 1xyzc 1axbyczabcA记 为 的面积，则SABC242abcSRA12cxyz abcR221abc3） 求最值例 4 已知实数 满足 ， 试求 的最值,abcd3abcd22365d解： 即22166 222bcbc由条件可得， 2253a解得， 当且仅当 时等号成立，12a36121bcd代入 时， ,36bcdmax时 1in5）利用柯西不等式解方程例 5在实数集内解方程2294863xyz解： 22222 864xyzxy429139又 ,.286439xy22222 864xyzxyz即不等式中只有等号成立从而由柯西不等式中等号成立的条件，得，它与 联立，可得z86439613x92y1z
