1、1平面与空间直线()、平面的基本性质及其推论1、空间图形是由点、线、面组成的。点、线、面的基本位置关系如下表所示：图形 符号语言 文字语言（读法）A a Aa点 在直线 上。Aa A a 点 不在直线 上。A 点 在平面 内。 A A点 不在平面 内。A baA ab直线 、 交于 点。ab a 直线 在平面 内。 a 直线 与平面 无公共点。a aA aA直线 与平面 交于点 。Al平面 、 相交于直线 。l（平面 外的直线 ）表示 或 。aaaA2、平面的基本性质公理 1： 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内 奎 屯王 新 敞新 疆推理模式： 。 如图示：
2、AB应用：是判定直线是否在平面内的依据，也是检验平面的方法。BA2公理 2：如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。推理模式： 且 且 唯一 奎 屯王 新 敞新 疆 如图示： AlAl应用：确定两相交平面的交线位置；判定点在直线上。例 1如图，在四边形 ABCD 中，已知 AB CD，直线 AB， BC， AD， DC 分别与平面 相交于点 E， G， H， F求证： E， F， G， H 四点必定共线解： AB CD， AB， CD 确定一个平面 又 AB E， AB ， E， E，即 E 为平面 与 的一个公共点同理可证 F， G，
3、 H 均为平面 与 的公共点两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线， E， F， G， H 四点必定共线说明：在立体几何的问题中，证明若干点共线时，常运用公理 2，即先证明这些点都是某二平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论例 2如图，已知平面 ，且 l设梯形 ABCD 中， AD BC，且 AB， CD ，求证： AB， CD， l 共点（相交于一点） 证明 梯形 ABCD 中， AD BC， AB， CD 是梯形 ABCD 的两条腰 AB， CD 必定相交于一点，设 AB CD M又 AB ， CD ， M，且 M M 又 l， M l，即 AB， CD， l
4、 共点说明：证明多条直线共点时，一般要应用公理 2，这与证明多点共线是一样的公理 3： 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。推理模式： 不共线 存在唯一的平面 ，使得 。, ABC,ABC应用：确定平面；证明两个平面重合 。例 3已知： a， b， c， d 是不共点且两两相交的四条直线，求证： a， b， c， d共面证明 1 o若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设 a， b， c 相交于一点 A，但 Ad，如图 1直线 d 和 A 确定一个平面 DCBAE FHGbadcGFEA图 1 DCBAl例 2M3又设直线 d 与 a， b， c 分别相交于 E， F， G，则 A，
5、E， F， G A， E， A， E a， a 同理可证 b ， c a， b， c， d 在同一平面 内2o当四条直线中任何三条都不共点时，如图 2这四条直线两两相交，则设相交直线 a， b 确定一个平面 设直线 c 与 a， b 分别交于点 H， K，则H， K又 H， K c， c 同理可证 d a， b， c， d 四条直线在同一平面 内说明：证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是：首先根据公理 3 或推论，由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再根据公理 1 证明其余的线(或点)均在这个平面内本题最容易忽视“三线共点”这一种情况因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话
6、的含义“有且只有一个”的含义分两部分理解， “有”说明图形存在，但不唯一， “只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在， “有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性在数学语言的叙述中， “确定一个” ， “可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证。推论 1： 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面。推理模式： 存在唯一的平面 ，使得 ， AaAl。推论 2： 经过两条相交直线有且只有一个平面。推理模式： 存在唯一的平面 ，使得 。Pb,ab推论 3： 经过两条平行直线有且
7、只有一个平面。推理模式： 存在唯一的平面 ，使得 。/a,练习：1如图，在平行六面体 ABCD A1B1C1D1的中， A1C1 B1D1 O1， B1D 平面A1BC1 P求证： P BO1证明 在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中， B1D 平面 A1BC1 P， P平面a b cdH K图 2A1A BB1DD1CC1O1P4A1BC1， P B1D B1D 平面 BB1D1D P平面 A1BC1，且 P平面 BB1D1D P平面 A1BC1 平面 BB1D1D， A1C1 B1D1 O1， A1C1 平面 A1BC1， B1D1 平面 BB1D1D， O1平面 A1BC1，且 O
8、1平面 BB1D1D又 B平面 A1BC1，且 B平面 BB1D1D，平面 A1BC1 平面 BB1D1D BO1 P BO1说明一般地，要证明一个点在某条直线上，只要证明这个点在过这条直线的两个平面上。（） 、空间两条直线1、空间两直线的位置关系：（1）相交有且只有一个公共点；（2）平行在同一平面内，没有公共点；（3）异面不在任何一个平面内，没有公共点；2、公理 4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。推理模式： 。/,/abca3、等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。4、等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线
9、所成的锐角(或直角)相等。5、异 面 直 线 判 定 定 理 ： 连 结 平 面 内 一 点 与 平 面 外 一 点 的 直 线 ， 和 这 个 平 面 内 不 经 过 此 点 的 直线 是 异 面 直 线 。推理模式： 与 是异面直线。异 面 直 线 的,ABllABl判 定 方 法 ： 判 定 定 理 ； 定 义 法 ； 反 证 法 是 证 明 两 直 线 异 面 的 有效 方 法 。例 1已知不共面的三条直线 、 、 相交于点 ， ， ， ，abcPaABbC，求证： 与 是异面直线cDABC证一：（反证法）假设 AD 和 BC 共面，所确定的平面为 ，那么点P、A、B、C、D 都在平面
10、 内，直线 a、b、c 都在平面 内，与已知条件a、b、c 不共面矛盾，假设不成立，AD 和 BC 是异面直线。证二：（直接证法）ac=P，它们确定一个平面，设为 ，由已知 C 平面 ，B平面 ，AD 平面 ，B AD，AD 和 BC 是异面直线。P ABC Db ca56、异面直线所成的角：已知两条异面直线 ，经过空间任一点 作直线 ，,abO/,ab所成的角的大小与点 的选择无关，把 所成的锐角（或直角）叫异面直线,ab O所成的角（或夹角） 为了简便，点 通常取在异面直线的一条上。异面直线所成的角的范围： 。2,0(7、异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直两
11、条异面直线 垂直，记作 。,abab8、求异面直线所成的角的方法：几何法：（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；（2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求。 向量法：用向量的夹角公式。例 2在正方体 中， 、 分别是棱 和 的中点， 为ABCD MNABP上底面 的中心，则直线 与 所成的角为（ A ）P300 450 600 ()()()()D例 3 一条长为 的线段 夹在互相垂直的两个cm2B平面 、 之间，AB 与 所成角为 ，与 所成角045为 ，且 ， ， ， 、 是0llAClDC垂足，求（1） 的长；（2） 与 所成的
12、角解：（1）连 BC、AD，可证 AC，BD，ABC=30 0，BAD=45 0 ，RtACB 中，BC=ABcos30 0= ，3在 RtADB 中，BD=ABsin45 0= 2在 RtBCD 中，可求出 CD=1cm（也可由 AB2=AC2+BD2+CD2-2ACBDcos900求得）（2）作 BE/l，CE/BD，BECE，则ABE 就是 AB 与 CD 所成的角，连 AE，由三垂线定理可证 BEAE，先求出 AE= ，再在 RtABE 中，求得ABE=60 0。3说明：在（3）中也可作 CHAB 于 H，DFAB 于 F，HF 即为异面直线 CH、DF 的公垂线，利用公式 CD2=C
13、H2+DF2+HF2-2CHDFcos，求出 cos= 。39、两条异面直线的公垂线、距离：和两条异面直线都垂直相交的直线，我们称之为异面直线的公垂线。理解：因为两条异面直线互相垂直时，它们不一定相交，所以公垂线的定义要注意“相交”的含义。两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）AC E GF DB6的长度，叫做两条异面直线间的距离。两条异面直线的公垂线有且只有一条。计算方法：几何法；向量法。例 4在棱长为 的正四面体中，相对两条棱间的距离为_ _ （答案： ）a a2例 5两条异面直线 、 间的距离是 1cm，它们所成的角为 600， 、 上各有b b一点 A、B，距公垂线的
14、垂足都是 10cm，则 A、B 两点间的距离为_答案： cm301或练习：1如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1的中，求证： B1D 被平面 A1BC1分成 12 的两段证明：如图 1，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，连结 B1D1， A1C1， BD， AC设 B1D1 A1C1 M， BD AC N M， N 分别是 B1D1， AC 的中点连结 BM， D1N BB1 DD1，且 BB1 DD1， 四边形 BDD1B1是平行四边形在平面 BDD1B1中，设 B1D BM O， B1D D1N O1，在平行四边形 BDD1B1中， D1M NB，且 D1M NB， 四边形 B
15、ND1M 是平行四边形 BM ND1，即 OM O1D1， O 是 BO1的中点，即 O1O OB1同理， OO1 O1D O1O OB1 O1D综上， OB1 OD1122如图，已知平面 、 交于直线 ， AB、 CD 分别在平面 ， 内，且与l分别交于 B， D 两点若 ABD CDB，试问 AB， CD 能否平行？并说明理由l证明：直线 AB， CD 不能平行否则，若 AB CD，则 AB CD 共面，记这个平面为 AB， CD AB ， D由题知， AB ， D，且 DAB，根据过一条直线及这条直线外一点，有且仅有一个平面， 与 重合同理， 与 重合 与 重合，这与题设矛盾 AB， C
16、D 不能平行A1A BB1DD1CC1OB CDA lA1A BB1DD1CC1图 1MONO173平行六面体 ABCD A1B1C1D1中，求证： CD1所在的直线与 BC1所在的直线是异面直线证明：假设 CD1所在的直线与 BC1所在的直线不是异面直线设直线 CD1与 BC1共面 C， D1 CD1， B， C1 BC1， C， D1， B， C1 CC1 BB1， CC1， BB1确定平面 BB1C1C， C， B， C1平面 BB1C1C不共线的三点 C， B， C1只有一个平面，平面 与平面 BB1C1C 重合 D1平面 BB1C1C，矛盾因此，假设错误，即 CD1所在的直线与 BC
17、1所在的直线是异面直线基础巩固训练1、 下列推断中，错误的是（ ） 。 CA lBll, BABC All, D C,，且 A、B、C 不共线 ,重合2、判断下列命题的真假，真的打“” ，假的打“” 。（1）空间三点可以确定一个平面 （ ） 。 （2）两条直线可以确定一个平面 （ ） 。（3）两条相交直线可以确定一个平面（ ） 。 （4）一条直线和一个点可以确定一个平面（ ） 。（5）三条平行直线可以确定三个平面（ ） 。 （6）两两相交的三条直线确定一个平面 （ ） 。 （7）两个平面若有不同的三个公共点，则两个平面重合（ ） 。 （8）若四点不共面，那么每三个点一定不共线（ ） 。 。3、
18、如下图，正四面体 SABC 中，D 为 SC 的中点，则 BD 与 SA 所成角的余弦值是（ ） 。A 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j B 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 3 C 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j D 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j解析：取 AC 的中点 E，连结 DE、BE，则 DESA，BDE 就是 BD 与 SA 所成的角 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j设 SA=a，则 BD=BE= 23a DE=21a，cosBDE= DEB22= 6。答案：CSEDCBAAA1D1D CC1B1B
19、8异面直线题型：异面直线的判定或求异面直线所成的角及距离例 4、A 是BCD 平面外的一点，E、F 分别是 BC、AD 的中点， （1）求证：直线 EF 与 BD 是异面直线；（2）若 ACBD，AC=BD，求 EF 与 BD 所成的角。（1）证明：用反证法。假设 EF 与 BD 不是异面直线，则 EF 与 BD 共面，从而 DF 与 BE 共面，即 AD 与 BC 共面，所以 A、B、C、D 在同一平面内，这与 A 是BCD 平面外的一点相矛盾 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j故直线 EF 与 BD 是异面直线。（2）解：取 CD 的中点 G，连结 EG、FG，则 EGBD，
20、所以相交直线 EF 与 EG 所成的锐角或直角即为异面直线 EF 与 BD 所成的角 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j在 RtEGF 中，求得FEG=45，即异面直线 EF 与 BD 所成的角为 45。反思归纳 证明两条直线是异面直线常用反证法；求两条异面直线所成的角，首先要判断两条异面直线是否垂直，若垂直，则它们所成的角为 90；若不垂直，则利用平移法求角，一般的步骤是“作（找）证算” 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j注意，异面直线所成角的范围是（0， 。2例 5、长方体 中，已知 AB=a，BC=b， =c，且 ab，求：1ABCD1A（1）下列异面直线之间
21、的距离：AB 与 ；AB 与 ；AB 与 。1C1BC（2）异面直线 与 AC 所成角的余弦值。1（1）解：BC 为异面直线 AB 与 的公垂线段，故 AB 与 的距离为 b。1 1为异面直线 AB 与 的公垂线段，故 AB 与 的距离为 c。A1AC1AC过 B 作 BE ，垂足为 E，则 BE 为异面直线 AB 与 的公垂线，BE= CB1=1 1B2cb，即 AB 与 的距离为 2cb。1BC（2）解法一：连结 BD 交 AC 于点 O，取 的中点 F，连结 OF、AF，则1DOF ，AOF 就是异面直线 与 AC 所成的角。1DAO= 2ba，OF=1= 2cba，BAF=4c，在AO
22、F 中，GFE DCBAOF ED1 C1B1A1D CBA9cosAOF= OFA22= )(22cba。解法二：建立空间直角坐标系，写出坐标，用向量的夹角公式计算。反思归纳1、 两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离。两条异面直线的公垂线有且只有一条。计算方法：几何法；向量法。2、求异面直线所成的角的方法：几何法：（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；（2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求。 向量法：用向量的夹角公式。空间中的平行关系（） 、直线与平面平行1直线和平面的位置关
23、系：（1）直线在平面内（无数个公共点） ；符号表示为:， （2）直线和平面相交（有且只有一个公共点） ；符号表示为: ， （3）直a aA线和平面平行（没有公共点）用两分法进行两次分类符号表示为: /2线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行推理模式： ,/lmll3. 直线与平面平行证明方法：证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；证明这条直线的方向量和这个平面内的一个向量相互平行；证明这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂直。4 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 线面平行的性质定 理 ： 如 果 一 条 直 线 和
24、 一 个 平 面 平 行 ， 经 过 这 条 直 线 的 平 面 和 这 个 平 面 相交 ， 那 么 这 条 直 线 和 交 线 平 行 推理模式： /, /lml（） 、平面与平面平行1平行平面：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行2图形表示：画两个平面平行时，通常把表示这两个平面的平行四边形的相邻两边分别画成平行的3平行平面的判定定理： 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行推理模式： ， ， ， ，abaP/b/平行平面的判定定理推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行推理模式： ,/ab
25、PabPab4. 证明两平面平行的方法：（1）利用定义证明。利用反证法，假设两平面不平行，则它们必相交，再导出矛盾。（2）判定定理：一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行，这10个定理可简记为线面平行则面面平行。用符号表示是：ab，a ，b ，a，b，则 。（3）垂直于同一直线的两个平面平行。用符号表示是：a，a 则 （4）平行于同一个平面的两个平面平行。 /,/。5两个平面平行的性质有五条：（1）两个平面平行，其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面，这个定理可简记为：“面面平行，则线面平行” 。用符号表示是：，a ，则 a。（2）如果两个平行平面同时与第三个平面相交
26、，那么它们的交线平行，这个定理可简记为：“面面平行，则线线平行” 。用符号表示是：，=a，=b，则 ab。（3）一条直线垂直于两平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面。这个定理可用于证线面垂直。用符号表示是：，a，则 a。（4）夹在两个平行平面间的平行线段相等。（5）过平面外一点只有一个平面与已知平面平行。（） 、线线平行、线面平行、面面平行间的相互转换（三） 、基础巩固训练1、若两条直线 m, n 分别在平面 、 内，且 /，则 m, n 的关系一定是（ ）。 D（A）平行 （B） 相交 （C）异面 （D）平行或异面2、一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是( ). CA 异面 B 相交 C 平行 D 不能确定3、a、b 是两条异面直线，A 是不在 a、b 上的点，则下列结论成立的是（ ） 。 （如图） DA 过 A 有且只有一个平面平行于 a、b B 过 A 至少有一个平面平行于 a、bC 过 A 有无数个平面平行于 a、b D 过 A 且平行 a、b 的平面可能不存在5、a、b、c 为三条不重合的直线，、 为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题：其中正确的
