1、直线的 一般式 方程 及综合 【学习目标】 1 掌握直线的一般式方程 ； 2 能将直线的点斜式、两点式等方程化为直线的一般式方程，并理解这些直线的不同形式的方程在表示直线时的异同之处 ； 3 能利用直线的一般式方程解决有关问题 . 【 要点梳理 】 要点 一 ： 直线方程的一般式 关于 x和 y的一次方程都表示一条直线我们把方程写为 Ax+By+C=0， 这个方程 (其中 A、 B 不全为零 )叫做直线方程的一般式 要点诠释： 1 A、 B不全为零才能表示一条直线，若 A、 B全为零则不能表示一条直线 . 当 B0时， 方程 可变形为 ACyxBB ，它表示过点 0, CB，斜率为 AB 的直
2、线 当 B=0， A0时，方程 可变形为 Ax+C=0，即 Cx A ，它表示一条与 x轴垂直的直线 由上可知，关于 x、 y的二元一次方程，它都表示一条直线 2在平面直角坐标系中，一个关于 x、 y的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于 x、 y的一次方程（如斜率为 2，在 y轴上的 截距为 1的直线，其方程可以是 2xy+1=0 ，也可以是 11022xy ，还可以是 4x2y+2=0 等 ） 要点 二：直线方程的不同形式间的关系 直线方程的五种形式的比较如下表： 名称 方程的形式 常数的几何意义 适用范围 点斜式 yy 1=k(xx 1) （ x1， y
3、1）是直线上一定点， k是斜率 不垂直于 x轴 斜截式 y=kx+b k是斜率， b是直线在 y轴上的截距 不垂直于 x轴 两点式 112 1 2 1y y x xy y x x （ x1， y1），（ x2， y2）是直线上两定点 不垂直于 x轴和 y轴 截距式 1xyab a 是直线在 x 轴上的非零截距， b 是直线在 y轴上的非零截距 不垂直于 x轴和 y轴，且不过原点 一般式 Ax+By+C=0（ A2+B20） A、 B、 C为系数 任何位置的直线 要点诠释： 在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这两种形式中都要求直线存在斜率，两点式是点斜式的特
4、例，其限制条件更多（ x1x2， y1y2），应用时若采用(y2y 1)(xx 1)(x 2x 1)(yy 1)=0 的形式，即可消除局限性 截距式是两点式的特例，在使用截距式时，首先要判断是否满足 “直线在两坐标轴上的截距存在且不为零 ”这一条件 直线方程的一般式包含了平面上的所有直线形式 一般式常化为斜截式与截距式 若一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同，得到的方程也不同 要点 三：直线方程的综合应用 1 已知所求 曲线是直线 时，用 待定系数法 求 2 根据 题目所给条件， 选择适当的直线方程的形式，求出直线方程 对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同 ，考虑的方向也不同 （ 1）
5、 从斜截式考虑 已知直线 111 : bxkyl , 222: bxkyl , 1 2 1 2 1 2 1 2/ / ( )l l k k b b ； 1 2 1 2 1 2 1 1 221ta n c o t 12l l k k kk 于是与直线 y kx b平行的直线可以设为 1y kx b；垂直的直线可以设为21y x bk （ 2） 从一般式考虑： 1 1 1 1 2 2 2 2: 0 , : 0l A x B y C l A x B y C 1 2 1 2 1 20l l A A B B 1 2 1 2 2 1/ 0l l A B A B 且 1 2 2 1 0AC A C或 1 2
6、 2 1 0BC B C，记忆式（ 1 1 12 2 2ABC） 1l 与 2l 重合， 1 2 2 1 0AB A B， 1 2 2 1 0AC A C， 1 2 2 1 0BC B C 于是与直线 0Ax By C 平行的直线可以设为 0Ax By D ；垂直的直线可以设为0Bx Ay D . 【典型例题】 类型一：直线的一般式方程 例 1根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程 （ 1）斜率是 12 ，经过点 A（ 8， 2 ）； （ 2）经过点 B（ 4， 2），平行于 x轴； （ 3）在 x轴和 y轴 上的截距分别是 32 ， 3 ； （ 4）经过两点 P1（ 3， 2 ），
7、 P2（ 5， 4 ） 【答案】 （ 1） x+2y4=0 （ 2） y2=0 （ 3） 2xy3=0 （ 4） 10xy 【解析】 （ 1）由点斜式方程得 1( 2 ) ( 8)2yx ，化成一般式得 x+2y4=0 （ 2）由斜截式得 y=2，化为一般式得 y2=0 （ 3）由截距式得 13 32xy，化成一般式 得 2xy3=0 （ 4）由两点式得 234 ( 2) 5 3yx ， 化成一般式方程为 10xy 【总结升华】 本题主要是让学生体会直线方程的各种形式，以及各种形式向一般式的转化，对于直线方程的一般式，一般作如下约定： x的系数为正， x， y的系数及常数项一般不出现分数，一般
8、按含 x项、 y项、常数项顺序排列 求直线方程的题目，无特别要求时，结果写成直线方程的一般式 举一反三： 【变式 1】 已知直线 l 经过点 (3, 1)B ， 且 倾斜角是 30 ，求直线的点斜式方程和一般式方程 . 【 答 案 】 31 ( 3)3yx 3 3 3 3 3 0xy 【 解析 】 因为直线 倾斜角是 30 ，所以直线的斜率 3ta n ta n 3 0 3k ，所以直线的点斜式方程为： 31 ( 3)3yx ，化成一般式方程为： 3 3 3 3 3 0xy . 例 2 ABC 的一个顶点为 ( 1, 4)A ， B 、 C 的平分线在直线 10y和 10xy 上，求直线 BC
9、的方程 . 【答案】 2 3 0xy 【解析】由角平分线的性质知，角平分线上的任意一点到角两边的距离相等 ，所以可得 A点关于 B 的平分线的对称点 A 在 BC上， B点关于 C 的平分线 的对称点 B 也在 BC上 写出直线 AB 的方程，即为直线 BC的方程 . 例 3 求与直线 3x+4y+1=0平行且过点（ 1， 2）的直线 l 的方程 【答案】 3x+4y11=0 【解析】 解法一：设直线 l 的斜率为 k， l 与直线 3x+4y+1=0平行， 34k 又 l 经过点（ 1， 2），可得所求直线方程为 32 ( 1)4yx ，即 3x+4y11=0 解法二：设与直线 3x+4y+
10、1=0平行的直线 l 的方程为 3x+4y+m=0， l 经过点（ 1， 2）， 31+42+m=0，解得 m=11 所求直线方程为 3x+4y11=0 【总结升华】 （ 1）一般地，直线 Ax+By+C=0中系数 A、 B 确定直线的斜率，因此，与直线 Ax+By+C=0平行的直线可设为 Ax+By+m=0，这是常采用的解题技巧 我们称 Ax+By+m=0是与直线 Ax+By+C=0平行的直线系方程 参数 m 可以取 mC 的任意实数，这样就得到无数条与直线 Ax+By+C=0 平行的直线 当m=C 时， Ax+By+m=0 与 Ax+By+C=0 重合 （ 2）一般地，经过点 A（ x0，
11、 y0），且与直线 Ax+By+C=0平行的直线方程为 A(xx 0)+B(yy 0)=0 （ 3）类似地有： 与直线 Ax+By+C=0 垂直的直线系方程为 BxAy+m=0 （ A， B不同时为零） 举一反三： 【变式 1】 已知直线 1l ： 3mx+8y+3m-10=0 和 2l ： x+6my-4=0 .问 m为何值时 : （ 1） 1l 与 2l 平行（ 2） 1l 与 2l 垂直 . 【答案】（ 1） 23m （ 2） 0m 【 解析 】当 0m 时， 1l ： 8y-10=0； 2l ： x-4=0， 12ll 当 0m 时， 1l ： 3 1 0 388mmyx ； 2l ：
12、 1466yxmm 由 3186m m ，得 23m ，由 10 3 486m m 得 2833m 或 而 31( ) ( ) 186m m 无解 综上所述（ 1） 23m ， 1l 与 2l 平行 （ 2） 0m ， 1l 与 2l 垂直 【变式 2】 求经过点 A（ 2， 1），且与直线 2x+y10=0 垂直的直线 l 的方程 【答案】 x 2y=0 【 解析 】 因为直线 l 与直线 2x+y10=0 垂直，可设 直线 l 的方程为 20x y m ，把点 A（ 2， 1）代入直线 l 的方程得： 0m ，所以直线 l 的方程为： x 2y=0 类型二 ： 直线与坐标轴形成三角形问题
13、例 4已知直线 l 的倾斜角的正弦值为 35 ，且它与坐标轴围成的三角形的面积为 6，求直线 l 的方程 【思路点拨】 知道直线的倾斜角就能求出斜率，进而引进参数 直线在 y 轴上的截距 b，再根据直线与坐标轴围成的三角形的面积为 6，便可求出 b也可以根据直线与坐标轴围成的三角形的面积为 6，设截距式直线方程，从而得出 1| | 62 ab ，再根据它的斜率已知，从而得到关于 a， b的方程组，解之即可 【答案】 3 34yx或 3 34yx 【 解析 】 解法一：设 l 的倾斜角为 ，由 3sin 5 ，得 3tan 4 设 l 的方程为 34y x b ，令 y=0，得 43xb 直线
14、l 与 x轴、 y轴的交点分别为 4 ,03b，（ 0， b） 21 4 2| | 62 3 3S b b b ，即 b2=9， b=3 故所求的直线方程分别为 3 34yx或 3 34yx 解法二：设直线 l 的方程为 1xyab，倾斜角为 ，由 3sin 5 ，得 3tan 4 1 | | | | 6234abba ，解得 43ab 故所求的直线方程为 143xy 或 143xy 【总结升华】 （ 1）本例中，由于已知直线的倾斜角（与斜率有关）及直线与坐标轴围成的三角形的面积（与截距有关），因而可选择斜截式直线方程，也可选用截距式直线方程，故有 “题目决定解法 ”之说 （ 2） 在求直线方
15、程时，要恰当地选择方程的形式，每种形式都具有特定的结论，所以根据已知条件恰当地选择方程的类型往往有助于问题的解决 例如：已知一点的坐标，求过这点的直线方程，通常选用点斜式，再由其他条件确定该直线在 y 轴上的截距；已知截距或两点，选择截距式或两点式 在求直线方程的过程中，确定的类型后，一般采用待定系数法求解，但要注意对特殊情况的讨论，以免遗漏 举一反三： 【变式 1】 （ 2015春 启东市期中）已知直线 m： 2x y3=0 ， n： x+y3=0 （ 1）求过两直线 m， n交点且与直线 l： x+2y1 =0平行的直线方程； （ 2）求过两直线 m， n交点且与两坐标轴围成面积为 4的直
16、线方程 【思路点拨】 （ 1）求过两直线 m， n交点坐标，结合直线平行的斜率关系即可求与直线 l： x+2y1=0平行的直线方程； （ 2）设出直线方程，求出直线和坐标轴的交点坐标，结合三角形的面积公式进行求解即可 【答案】 （ 1） x+2y4=0 ；（ 2） 【解析】 （ 1）由 2 3 030xyxy ，解得 21xy ， 即两直线 m， n交点坐标为（ 2， 1）， 设与直线 l： x+2y1=0 平行的直线方程为 x+2y+c=0， 则 2+21+c=0，解得 c=4 ， 则对应的直线方程为 x+2y4=0 ； （ 2）设过（ 2， 1）的直线斜率为 k，（ k0）， 则对应的直线
17、方程为 y1= k(x2) ， 令 x=0， y=12 k，即与 y轴的交点坐标为 A（ 0， 12 k） 令 y=0，则 1 2 12 kx kk ，即与 x轴的交点坐标为 21( ,0)kB k ， 则 AOB的面积 121| | 1 2 | 42 kSkk ， 即 2(2 1) 8kk， 即 24 4 8 1 0k k k ， 若 k 0，则方程等价为 24 12 1 0kk ， 解得 3 2 22k 或 3 2 22k ， 若 k 0，则方程等价为 24 4 1 0kk ， 解得 12k 综上直线的方程为 11 ( 2)2yx ，或 3 2 21 ( 2 )2yx ，或 3 2 21
18、( 2 )2yx 即 1 22yx ，或 3 2 2 2 2 22yx ，或 3 2 2 2 2 22yx 类型三：直线方程的实际应用 例 6 （ 2015春 湖北期末）光线从点 A（ 2， 3）射出，若镜面的位置在直线 l： x+y+1=0上，反射光线经过 B（ 1， 1），求入射光线和反射光线所在直线的方程，并求光线从 A到 B所走过的 路线长 【思路点拨】 求出点 A 关于 l 的对称点，就可以求出反射光线的方程，进一步求得入射点的坐标，从而可求入射光线方程，可求光线从 A到 B所走过的路线长 【答案】 41 【解析】 设点 A关于 l的对称点 A（ x0， y0）， AA被 l垂直平分
19、， 000023 10223 12xyyx ，解得 0043xy 点 A（ 4 ， 3 ）， B（ 1， 1）在反射光线所在直线上， 反射光线的方程为 341 3 1 4yx ，即 4x5 y+1=0， 解方程组 4 5 1 010xyxy 得入射点的坐标为 21( , )33 由入射点及点 A的坐标得入射光线方程为1233123233yx，即 5x4 y+2=0， 光线从 A到 B所走过的路线长为 22| | ( 4 1 ) ( 3 1 ) 41AB 【总结升华】 本题重点考查点关于直线的对称问题，考查入射光线和反射光线，解题的关键是利用对称点的连结被对称轴垂直平分 举一 反三： 【变式 1
20、】 （ 2016春 福建厦门期中）一条光线从点 A（ 4， 2）射出，到直线 y=x上的 B点后被直线 y=x反射到 y轴上的 C点，又被 y轴反射，这时反射光线恰好过点 D（ 1， 6）求 BC所在直线的方程 【答案】 10x 3y+8=0 【解析】 如图， A（ 4， 2）， D（ 1， 6）， 由对称性求得 A（ 4， 2）关于直线 y=x的对称点 A（ 2， 4）， D关于 y轴的对称点 D（ 1， 6）， 则由入射光线和反射光线的性质可得：过 A D的直线方程即为 BC所在直线的方程 由直线方程的两点 式得： 426 4 1 2yx 整理得： 10x 3y+8=0 例 7 如图，某房
21、地产公司要在荒地 ABCDE上划出一块长方形土地（不改变方向）建造一幢 8层的公寓，如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积 （精确到 1 m2） 【答案】 6017 【 解析 】 建立坐标系，则 B（ 30， 0）， A（ 0， 20） 由直线的截距方程得到线段 AB 的方程为 130 20xy（ 0x30） 设点 P 的坐标为（ x， y），则有 220 3yx 公寓的占地面积为 2( 1 0 0 ) ( 8 0 ) ( 1 0 0 ) ( 8 0 2 0 )3S x y x x 22 2 0 600033xx （ 0x30） 当 x=5， 503y 时， S 取最大值，最大值为 222 2 05 5 6 0 0 0 6 0 1 7 ( m )33S 即当点 P 的坐标为 50(5, )3 时，公寓占地面积最大，最大面积为 6017 m2 【总结升华】 本题是用坐标法解决生活问题，点 P 的位置由两个条 件确定，一是 A、 P、 B 三点共线，二是矩形的面积最大 借三点共线寻求 x 与 y 的关系，利用二次函数知识探求最大值是处理这类问题常用的方法
