1、毕业论文 文客久久 本科 毕业设计 (论文 ) 题 目： 模糊集合的粗糙包含及其性质 学 院： 学生姓名： 专 业： 信息与计算科学 班 级： 指导教师： 起 止 日期： 毕业论文 文客久久 摘要 模糊集粗糙集都可以用来描述信息和知识的不确定性 , 但各自的特点和优势不同 , 二者有很强的互补性 . 我们应该将模糊集理论和粗糙集理论有机地整合起来 , 以便增强它们在智能信息处理中的能力 . 本文首先回顾了模糊集和粗糙集的由来和发展 . 其次介绍了模糊集合的基本概念及其运算与粗糙集的基本概念及其性质 . 然后介 绍了模糊粗糙集的定义及在模糊近似空间下模糊粗糙集的性质 , 并给出证明 . 最后部分
2、是本文的核心 , 介绍了经典集合的粗糙相等与粗糙包含及在近似空间下集合粗糙包含的性质 , 以及模糊集合的粗糙相等与粗糙包含及在模糊近似空间下模糊集合粗糙包含的性质 . 关键字： 模糊集 ; 粗糙集 ; 模糊粗糙集 ; 粗糙包含 毕业论文 文客久久 Rough Inclusion of Fuzzy Sets and Properties Abstract Rough set and fuzzy sets all can be used to describe the information and knowledge uncertainty, however, their features an
3、d advantages of different, the two are highly complementary. We should integrate fuzzy set theory and rough set theory to organic, in order to enhance their capacity in the intelligent information processing. The paper first reviews the origin and development of fuzzy sets and rough sets. Second, it
4、 introduces the basic concepts and computing of fuzzy sets, the basic concepts and properties of rough sets. And then introduces the definition of fuzzy rough sets and under Fuzzy approximation space, the fuzzy rough set properties, and all are proved. The final part is the core of this article, int
5、roduces the rough equivalent of the classical set and the rough inclusion of the classical set, then, introduces the rough inclusion properties of sets under the approximation space. And then introduces the rough equivalent of the fuzzy set and rough inclusion of the fuzzy set. Then, introduces the
6、rough inclusion properties of fuzzy sets under the fuzzy approximation space . Keywords: Fuzzy sets; Rough sets; Fuzzy rough sets; Rough inclusion毕业论文 文客久久 目录 摘要 . 0 Abstract. II 1 前言 . 1 1.1 模糊集的由来和发展 . 1 1.2 粗糙集的由来和发展 . 1 1.3 论文的组织结构 . 1 2 模糊集合的基本概念及其运算 . 3 2.1 模糊集合的基本概念 . 3 2.2 模糊集合的运算及其运算性质 . 5
7、3 粗糙集的基本概念及其性质 . 7 3.1 粗糙集的基本概 念 . 7 3.2 上下近似集及其性质 . 7 4 模糊粗糙集的定义及其性质 . 9 4.1 模糊近似空间中的模糊粗糙集 . 9 4.2 模糊粗糙集的上下近似的基本性质 . 10 5 模糊集合 的粗糙包含及其性质 . 12 5.1 集合的粗糙相等 . 15 5.2 集合的粗糙包含 . 15 5.3 模糊集合的粗糙相等 . 17 5.4 模糊集合的粗糙包含 . 17 6 小结 . 22 参考文献 . 23 致谢 . 24 毕业论文 文客久久 1 前言 1.1 模糊集的由来和发展 美国控制论专家 L.A.Zadeh, 他于 1965年在
8、 Information and Control杂志上发表了著名论文 Fuzzy Sets1 , 提出了模糊集的概念 , 从此 奠定了模糊性的理论基础 . 由于模糊性理论 在某种程度上弥补了经典数学与统计数学的 不足 , 特别是 在处理复杂系统系统方面 变得 简捷与有力 , 从而很快 受到 了 广泛 地 重视 , 30多年来 , 这个 领域 无论 从理论到应用 , 还是 从软技术到硬技术都取得 了较为 丰硕 的 成果 . 到 20世纪 90年代 , 已形成模糊拓朴学 , 模糊逻辑学模糊分析学 , 模糊控制 , 模糊模式识别 系统 等理论 . 在应用方面 , 以模糊控制为代表的模糊工程技术获得突
9、破性进展 , 应用研究从工业控制 的 领域进入 到了例如家用电器 等生活消费品领域 , 采用模糊控制技术的 一系列家用电器如模糊空调 , 模糊洗衣机等也纷纷 出现 . 近年来在图书情报学领域 , 模糊集理论的应 用也越来越多 . 其次 在美国 , 福特公司在软悬挂控制系统 , 发动机废气排放 , 虚拟传感器 , 动力系统控制等 等 都使用了这一 新兴 技术 . 1.2 粗糙集的由来和发展 1982年 , Z. Pawlak2,3 针对 G. Frege4 的边界线的思想提出了粗糙集 (Rough sets)的概念 . 粗糙集理论是一种处理不精确和有效的分析 , 不完整和不一致等不完备信息的一种
10、新型的数学工具 . 因为最开始关于粗糙集理论的研究主要是用 波兰语进行发表的 , 因此当时并没有引起国际数学界以及计算机学界的广泛重视 , 研究地域仅仅局限于东欧的一些国家 . 从 20世纪 90年代起 , 粗糙集理论渐渐成为信息科学的一大研究热点 , 并 受到越来越多国内外学者的关注 . 1992年 , 在波兰召开了第一届关于粗糙集理论的国际学术会议 . 1995年 , ACM Communication将粗糙集的研究列为新浮现的计算机科学的研究课题 . 1998年 , 国际信息科学杂志 (Information Sciences)还特地出版关于粗糙集理论研究方面的专辑 . 20多年以来，随
11、着粗糙集理论研究的逐步深入 , 粗糙集理论已经成功的应用到知识发现 5 与机器学习 , 数据挖掘 6 , 决策支持 7 与分析 8 等领域 . 目前 , 粗糙集已成为人工智能领域中一个较新的学术热点 , 在机器学习 , 知识获取 , 决策分析 , 过程控制等 众 多领域 都 得到了广泛应用 . 毕业论文 文客久久 粗糙集还能助于处理以下问题 : 经验的学习并从经验 的学习中获取知识 ; 不精确或不确定知识的表达 ; 根据不完整 , 不确定的知识进行推理 ; 不一致信息的分析 ; 在保留信息的前提下进行数据化简 ; 识别并评估数据之间的依赖关系 ; 近似模式分类 . 粗糙集理论延拓了经典的集合论
12、 , 把分类的知识嵌入集合内 , 作为集合组成的一部分 . 粗糙集能够处理各种数据 , 如能够处理数据的不精确性和模棱两可 (ambiguity); 不完整(incomplete)数据以及具有众多变量的数据 ; 能从数据中揭示出概念简单 , 容易 操作的模式(pattern); 能 得知 知识的各种不同颗粒 (granularity) 层次 和 求得知识的最小表达 ( reduct). 1.3 论文的组织结构 本文主要研究了模糊集合的粗糙包含及其性质 . 本文第一部分回顾了模糊集和粗糙集的由来和发展 . 第二部分介绍了模糊集合的基本概念及其运算 . 第三部分介绍了粗糙集的基本概念及其性质 .
13、第四部分介绍了模糊粗糙集的定义及其性质 . 第五部分是本文的核心 , 介绍了模糊集合的粗糙包含及其性质 . 毕业论文 文客久久 2 模糊集合的基本概念及其运算 粗糙集理论是一种处理模糊和不确定性知识的数学工具 . 主要思想是将不确定或不精确的知识用已知的知 识库中的知识来近似刻画 , 在不损失信息的前提下 , 约简信息属性及属性值 , 获得相应的决策规则 . 目前 , 粗糙集理论已被成功地应用于就机器学习与知识发现 , 数据挖掘 , 决策支持与分析 . 2.1 模糊集合的基本概念 每一个概念都有一定的内涵和外延 . 所谓外延 , 是指概念反映的那一类对象 , 而内涵是指概念反映的客观对象的本质
14、 . 用集合的观点来看 , 一个概念的内涵就是集合的定义 , 外延则是组成该集合的所有元素 . 这表明集合可以描述概念 . 例如 , 集合 1,2,3,4, 描述了 “自然数 ” 这一概念 . 然而 , 假如我们对周围的事物细加观察的话 , 就会发现 , 普通集不能描述像 “成绩不错 ”, “身体好 ”, “漂亮 ”, “质量好 ” 等这一些经常遇到的模糊概念 . 普通集合描述概念的特点为 : 一对象要么符合这个概念 , 要么不符合这个概念 , 没有含混不清的情况 . 然而对模糊概念来讲 , 一对象是不是符合它 , 不能简单地用 “是 ” 或者 “不是 ” 来回答 , 因为对象既不是完全地符合
15、 , 也不是完全地不符合 , 符合与不符合之间没有一条明确的分界线 , 不具有非此即彼的特性 , 而是在某种程度上是符合这个概念 , 所 以无法用普通集合来描述 . 模糊现象大量存在于客观世界中 , 是无法回避的 . 因此 , 将普通集合加以推广 , 使它可以表达模糊概念 , 以解决具有模糊性现象的实际问题就十分必要了 . 那么该如何对普通集合进行推广呢 ? 在普通集合中 , 我们用特征函数 ()Zu 表示集合 Z . ( ) 1Zu 表明元素 u 属于集合 Z , 而 ( ) 0Zu 则表明元素 u 不属于集合 Z , 在这里特征函数只取 0 和 1 , 两个值就足够 . 换言之 , 普通集
16、合 Z 可用由它到集合 0,1 上的 映射 ()Zu 来描述 . 由此我们可以推理 : 如果不用二值逻辑的规定 , 把特征函数值的范围 , 从集合 0,1 扩充到 0,1 区间上的连续取值 , 那么一个对象符合某个概念的程度 , 就可以用 0,1 区间上的数来表示 , 对象对应的数值越是靠近 1, 表示该对象符合某概念的程度就越大 , 反 之越小 . 因此 , 普通集合 Z 就相应地扩充成为一个带有不明确边界线的模糊集 , 从而模糊概念也就能用模糊集表达了 . 毕业论文 文客久久 基于上述想法 , 下面给出模糊集定义 . 定义 2.1 设在论域 U 上给定了映射 : 0,1A U | Auu
17、则称 确定了 U 上的一个模糊子集 , 记为 A . 称为模糊子集 A 上的隶属函数 , 记为 A . A 在 uU 点处的值 A u 称为 u 对 A 的隶属度 , 它表示 u 属于 A 的程度 . 为方便起见 , 通常将模糊子集简称为模糊集 , 且把 A u记为 Au . 模糊集 A 由其隶属函数来描述 , 即若给定隶属函数 Au , 则完全确定了模糊集 A , 不同的模糊集由不同的隶属函数确定 . 多个模糊集可以在同一个论域 U 上 . 任意 uU 及 U 上的模糊集 A, 我们只能说 u 在多大程度上隶属于 A , 而不能说 u 是否隶属于 A , 模糊集和普通集合的本质区别就在此处
18、. 特别地 , 当 Au 的值只取 0,1 的两个端点 (即 0,1 两个值 )时 , 隶属函数就退化成为特征函数了 , 模糊集 A 就退化为一个普通集了 . 由此我们可以认为普通子集为模糊 子集的一种特殊的形态 . 此外 , 若 uU , 0Au , 则 A 称为空集 ; 若 uU , 1Au , 则 A 称为全集 U . 记 U 上的模糊集合的全体为 FU . 例 2.1 讨论实数集 X 上的映射 20 , 01 ,01001xAx xx 所确定的模糊集 A . 解 (1) 当 0x 时 , 0Ax , 表明不大于 0 的数与 A 无隶属关系 , 也即与 A 有隶属关系的数都是大于 0 的
19、数 ; (2) 当 10x 时 , 10 0.5A , 即 10x 隶属于 A 的程度为 0.5 ; (3) 当 100x 时 , 100 0.99A , 即 100x 以程度 0.99 隶属于 A . 很明显 , x 比 0 大得很多 , 隶属于 A 的程度就越大 , 当 0x 时 , Ax 就充分接近于 1 , 这表明模糊集 A 描述的是 “所有比 1大得多的实数 ” 这一模糊概念 . 隶属函数是模糊集合论赖以建立的基石 . 毕业论文 文客久久 2.2 模糊集合的运算及其运算性质 定义 2.2 设 ,A B F U , 若 uU , 有 A u B u 成立 , 则称 A 包含 B , 记
20、作AB . AB 的实质就是 U 中的任一元素 u 隶属于 A 的程度都大于隶属于 B 的程度 . 定义 2.3 设 ,A B F U , 若 uU , 都有 A u B u , 则称 A 与 B 的相等 , 记作 AB . AB 的含义是 U 中任一元素隶属于 A 与 B 的程度是相同的 . 容易证明 , A B A B 且 AB . 定义 2.4 设 ,A B C F U , 若 uU , 有 C u A u B u , 则 C 称为 A 与B 的并 , 记为 C A B ; 若 uU , C u A u B u , 则 C 称为 A 与 B 的交 , 记为 C A B . 定义 2.5
21、设 ,A B F U , 若 uU , 有 1B u A u , 则称 B 为 A 的余集 , 记为 BA . 模糊集的运算满足以下性质 9 : 设 ,A B C F U , 则有 (1) 幂等律 A A A , A A A . (2) 交换律 A B B A , A B B A . (3) 结合律 A B C A B C , A B C A B C . (4) 分配律 A B C A B A C , A B C A B A C . 毕业论文 文客久久 (5) 吸收律 A B A A , A B A A . (6) 0-1律 AA , A . A U U , A U A . (7) 对偶律 A B A B , A B A B . (8) 复原律 AA . 3 粗糙集的基本概念及其性质
