1、 本科毕业论文 （ 20 届） 包含度及其应用 所在学院 专业班级 数学与应用数学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 I 摘要 不确定性推理是人工智能中最为活跃的研究领域 , 粗糙集作为处理不精确、不确定与不完全数据的理论是由波兰数学家 Pawlak 于 1982 年提出的 , 该理论是经典集合论的又一推广形式 . 由于该理论能够处理模糊和不确定性信息 , 因此 , 经过 20 多年的发展 , 粗糙集作为一种有效的知识获取工具受到了人工智能研究者的关注 , 并在专家系统、机器学习、模式识别、决策分析、过程控制和数据库知识发现等获得了成功应用 . 研究概念之间的包含关系是不确定性
2、推理研究的一个重要方向 . 包含度是将 “包含关系 ”度量化 , 从而包容了 “关系 ”的不确定性 . 本文 , 我们主要研究包含度及其在人工智能不确定表示中的一些应用 . 首先 , 用公理化方法定义了包含度的概念 , 给出了一些特殊类型的包含 度及基本性质 . 其次 , 给出了包含度的不同生成方法 . 最后 , 给出了包含度在智能信息系统中不确定性度量 刻画中的一些应用 . 阐述了信息系统中用粗糙集理论导出的很多不确定性度量可以用包含度进行解释 . 关键词 : 包含度 ; 粗 糙集 ; 不确定性 ; 信息系统 II Inclusion degree of its application Ab
3、stract Uncertainty reasoning is one of most active research fields in artificial intelligence. The theory of rough sets, proposed by Pawlak in 1982, is an extension of classical set theory for the study of intelligent systems characterized by insufficient and incomplete information. With more than t
4、wenty years development, rough set theory has been found to have very successful applications in the fields of artificial intelligence such as expert systems, machine learning, pattern recognition, decision analysis, process control, and knowledge discovery in databases. The study of inclusion relat
5、ion between concepts is one of the main important directions in the research of uncertainty reasoning. In this thesis, we mainly investigate inclusion degrees with application to uncertainty representation in artificial intelligence. The axiomatic definition of an inclusion degree is first introduce
6、d. Some important inclusion degrees with their properties are presented. The various generation approaches of different inclusion degrees are then explored. Finally, some applications of inclusion degrees for representing uncertain knowledge in intelligent information systems are developed. It is sh
7、own that many uncertain measures in rough set theory derived from information systems can be interpreted as inclusion degrees. Keywords: Inclusion degrees; Rough sets; Uncertainty; Information systems III 目录 摘要 .I Abstract. .II 1 前言 . 1 1.1 粗糙 集的由来和发展 . 1 1.2 论文的组织结构 . 1 2 包含度的基本概念 . 3 3 包含度的生成方法 .
8、7 3.1 利用模糊关系的生成方法 . 8 3.2 利用模糊概率的生成方法 . 9 3.3 利用模糊测度的生成方法 . 10 3.4 利用条件模糊测度的生成方法 . 11 3.5 利用条件信息的生成方法 . 12 4 包含度在粗糙集中的应用 . 13 4.1 粗糙集的近似精度和 粗糙集的隶属度可表示为包含度 . 14 4.2 近似分类精度和近似分类质量可表示为包含度 . 15 4.3 属性依赖性度量和属性重要性度量可表示为包含度 . 16 4.4 规则决策精度和覆盖度可表示为包含度 . 17 4.5 规则可信度可表示为包含度 . 18 5 小结 . 18 参考文献 . 19 致谢 . 21 1
9、 1 前言 1.1 粗糙集的由来及发展 粗糙集作为处理不精确、不确定与不完全数据的理论是由波兰数学家 Pawlak1,2 于 1982年提出的 , 该理论是经典集合论的又一推广形式 . 从 20 世纪 90 年代起 , 粗糙集理论逐渐 成为信息科学的一大研究热点 , 受到越来越多国内外学者的关注 . 在一个复杂系统中 , 有许多不确定的来源 . 首先 , 人们提出的问题常常是不精确的 , 不精确的问题导致不精确的结果 ; 第二 , 获取的信息不完全 , 知识获取的过程也是不精确的 ; 第三 , 推理的过程也是不确定的 , 不确定性的推理过程导致不确定性的结论 . 随着人们研究范围的扩大 , 研
10、究的系统越来越复杂 , 系统的复杂性与经典数学的精确描述越来越不协调 . Zadeh3 引入的模糊集合 , 将经典集合模糊化 , 使具 有分明边界的集合变为具有不分明边界的模糊集合 . 模糊集合理论 4 在复杂系统中得到了成功的应用 , 特别是在模糊控制中 , 取得了显著成果 . 包含度是将 “包含关系 ”度量化 , 从而包容了 “关系 ”的不确定性 . 由于在复杂系统中 , 不确定性越来越占有主要地位 . 不确定性推理的研究方法不断出现 , 如概率推理方法、证据推理方法、模糊推理方法5 等都属于不确定性推理方法 . 由于推理中的蕴涵关系 , 实质上是一种包含关系 , 不确定 性推理方法都可以
11、归结为一种特殊的包含度 . 同时 , 知识获取是从大量案例中寻求某些规则 , 而规则的前件与后件实质上也是一种包含关系 . 因此可以用包含度理论研究不确定性规则的获取 , 两个规则是协调的 , 是指两个规则的前件的相似度不超过规则后件的相似度 . 因此可以用包含度建立两个规则之间的协调度 . 解决矛盾规则的排除问题 . 包含度理论与模糊集理论一起 . 将 “对象 ”与 “关系 ”不确定化 . 成为研究不确定性的重要工具 . 提供了研究复杂系统的重要方法 . 基于上述认识 , 张文修 6 等于 20 世纪 90 年代初提出了包含度的概念 . 经过多年的深入研究 . 包含度的概念进一步明确 . 初
12、步建立了包含度理论体系 . 在逻辑上与实践上都证明了包含度理论是对已有的各种不确定推理的概括与抽象 . 包含度给出了不确定关系的定量描述 . 将确定性关系的研究推到不确定关系的研究 . 进一步扩展了关系的研究范围 . 包含度理论 是对已有的不确定性推理方法 . 如概率推理方法 . 证据推理方法与模糊推理方法等的概括 . 因而为不确定性推理提供了一个一般性原理 ; 同时 , 它还便于进行信息的合成、 传播和修2 正， 特别地在何种关 系数据中有着直接的应用 . 此后， 梁吉业 7 教授等将包含度理论引入到粗糙集理论的数据分析中， 用包含度概念对粗糙集理论中的基本度量给予了统一的描述， 揭示了它们
13、的本质 . 分析了包含度与粗糙包含之间的关系， 建立了包含度与粗糙集理论中各种已知度量的关系 . 钱宇华等则研究了完备、非完备以及极大相容块意义下三类决策表的包含度问题， 并建立了与其协调度、模糊度之间的关系 . 此外 . 包含度理论的研究为有序结构的数学理论 (如赋范 Riesz 空间、模糊逻辑等 )提供一种定量 分析方法 . 在人工智能、专家系统和模糊理论等领域有着重要的应用 . 包含度理论不仅是研究不确定性现象的工具， 而且是研究不确定性的方法学 . 1.2 论文的组织结构 本文主要研究了包含度及其应用 . 包含度给出了不确定关系的定量描述 , 将确定性关系的研究推到不确定关系的研究，进
14、一步扩展了关系的研究范围 . 本文在粗糙集的基础上介绍了包含度的基本概念 , 包括包含度的定义和性质以及它的几种生成 . 同时也简单介绍了包含度在粗糙集中的一些应用 . 3 2 包含度的基本概念 在专家系统中有两类问题 : 一是检索问题 , 需要 相似度的概念 ; 一是不确定推理问题 , 需要蕴含度的概念 . 相似度与蕴含度的共性即是包含度 . 在经典逻辑推理中 , 要么 “蕴涵 ”要么 “不蕴涵 ”, 只有真与假两个绝对的概念 . 在经典逻辑推理基础上的检索 , 要么 “相等 ”要么“不相等 ”, 也只有真与假两个绝对的概念 . 而在专家系统中 . 由于信息的不完全性 , 经常出现的并不是
15、“蕴涵 ”与 “不蕴涵 ”, 而是蕴涵的程度 . 也不是 “相等 ”与 “不相等 ”, 而是相似的程度 . 这样就产生了包含度理论 . 设 X 是一个普通集合 , ()X 表示 X 中的经典集合的全体 . ()FX 表示 X 中模糊集合的全体 . 定义 2.18 设 0 ( ) ( )F X F X , 对于任意 0, ( )A B F X 有数 ()DA B 对 应 , 且满足 (1) 0 ( ) 1D A B ; (2)对于任意 0, ( )A B F X , 当 AB 时有 ( ) 1D A B; (3)对于 0, , ( )A B C F X , 当 A B C时有 ( ) ( )D
16、C A D B A , 称 D 为 0()FX上的包含度 . 在定义 2.1 中 , 若 ()DB A 满足定义 2.1 中的 (1)与 (3), 且满足 (2)对于任何 0, ( ) ( )A B F X X, 即对于 0()FX中的经典集合 A 与 B , 当 AB时 , ( ) 1D A B. 称 D 为 0()FX上的弱包含度 . 在定义 2.1 中 , 若 D 对于任意 ()C F X , AB , 有 ( ) ( )D C A D C B , 称 D为强包含度 . 例 2.1 设 X 是有限集合 , ,AB X , 用 ()NA表示 A 中元素个数 , ()N A B 表示 A与
17、B 公共元素个数 , 则 4 ()() ()N A BD A B NA . (2.1) 为 ()X 上的强包含度 . 当 A 时记 ( ) 1D A B. 定义 2.1 中的 (1)与 (2)显然成立 . 当 A B C 时有 ( ) ( )N A B N A , ( ) ( )N A C N A , 于是 ()()()NAD C A NC, ()()()NAD B A NB, 而 BC 时 ( ) ( )N B N C , 于是( ) ( )D C A D B A . 因此 (2.1)式是 ()X 上的包含度 . 对于 (2.1)式可以验证 : 对于任意 , , ( )A B C X , A
18、B 时有 ( ) ( )D C A D C B . (2.2) ( ()DC 是一个模糊测度 . 进一步可以证明 ( ()DC 是概率测度 . 例 2.2 设 *()FX表示 X 上正则模糊集全体 ,定义 ( ) s u p ( ( ) ( ) )xA B A x B x , , ( )A B F X (2.3) ( ) i n f ( ( ) ( ) )cxN A B A x B x , , ( )A B F X (2.4) 则 为强包含度 , 而 N 为弱包含度 . 首先 , 易见 0 ( ) 1AB , 0 ( ) 1N A B . 对于 *, ( )AB F X , AB 时 , (
19、) s u p ( ) 1xA B A x , 但 ( ) 1N A B不一定成立 . 比如 ( ) ( )( )A x B x x X, 显然有 AB . 这时 ( ) i n f ( ( ) ( ) )CxN A B A x A x , 若存在某 0xX , 使 ( ) 0.5Ax , 则有 ( ) 0.5N A B. 如果 *, ( )A B F X , 那么 ( ) in f ( ) 1xN A B X x , 其中 ( ) 1Xx . 若 A B C时 , 有 ( ) s u p ( ) 1xB A A x , 5 ( ) s u p ( ) 1xB A A x , 则 ( ) (
20、)C A B A , 易证 是强包含度 . 又因 ( ) i n f ( ( ) ( ) )CxN C A C x A x , ( ) i n f ( ( ) ( ) )CxN B A B x A x , 及 BC , 则 CCCB , 从而 ( ) ( )N C A N A B , 于是 N 为弱包含度 . 由上述方法易证 , 用 *()FX表示 X 上全体正则模糊集，有 ( ) , ( ) 0 . 5 ,()( ( ) 0 . 5 ) ( ) , ( ) 0 . 5 .A B N A BM A BN A B A B N A B (2.5) 则 M 是 *()FX的包含度 . 定理 2.1
21、设 *()FX是 X 上的正 则模糊集合的全体 . 则由 (2.3), (2.4)和 (2.5)确定的包含度 , N 和 M 满足下列性质 , 对于任意 *, , ( )A B C F X , 若 AB . 有 ( ) ( ),C A C B (2.6) ( ) ( ),N C A N C B (2.7) ( ) ),M C A M C B (2.8) 且 M 也是强包含度 . 证明 (2.6)和 (2.7)式显然成立 . 设 AB . 若 ( ) ( ) 0 .5N C A N C B , 则 ( ) ( ( ) 0 . 5 ) ( )M C A N C A C A ( ( ) 0 . 5
22、) ( )N C B C B ()M C B. 当 ( ) 0.5N C A时 , ( ) 0.5N C B. 于是 ( ) ( ) ( ) ( )M C A C A C B M C B . 6 若 ( ) 0 . 5 , ( ) 0 . 5N C A N C B , 则 ( ) ( ( ) 0 . 5 ) ( )M C A N C A C A ( ) ( ) ( )C A C B M C B , 从而 (2.8)式成立 .综上可知 M 是强包含度 . 定理 2.2 对于任意 *()C F X , ( ()C 以及 ( ()MC 都是 *()FX上的条件模糊测度 . 证明 由 (2.3)和 (
23、2.5)易证 ( ) ) 0C M C (, 1C X M C X ( ) ( ). 再由 (2.6)式及 (2.8)式即证 ( ()C 及 ( ()MC 为 *()FX上的条件模糊测度 . 一般来说 , 包含度未必形成一个条件模糊测度 . 例 2.3 ()FX为 X 上的经典集合的全体 , 设 P 为 X 上的概率测度 , 在 ()X 上定义为 ( / ) ( ) ( ) , ( ) 1 ,1 ( )()1 , ( ) 1 .P B A P B P B PBPBD A BPB (2.9) 则 D 为 ()X 上的包含度 , 但未必是条件模糊测度 . 首先易见 0 ( ) 1D C A , AB 时 , ( ) 1D A B. 现假定 A B C , 则( ) ( ) ( )P A P B P C, 于是 ( ) ( )( / ) ( / )( ) ( )P A P AP A C P A BP C P B . 若 ( ) 1PA , ( / ) ( ) ( )()1 ( )P A C P A P AD C A PA ( / ) ( ) ( ) ()1 ( )P A B P A P A D B APA . 若 ( ) 1PA , 显然 ( ) ( ) 1D C A D B A , 从而 (2.4)式定义的 D 为 ()X 上的包
