1、 本科毕业论文 （ 20 届） 浅谈伴随矩阵的性质及其应用 所在学院 专业班级 数学与应用数学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 II 摘要 伴随矩阵是矩阵理论及线性代数中的一个基本概念 , 是许多数学分支研究的重要工具 . 伴随矩阵作为矩阵中较为特殊的一类 , 它的性质理 论与应用有其自身的特点 . 而在高等代数和线性代数的学习中 , 伴随矩阵只是作为求解逆矩阵的工具出现 , 并没有深入的研究 . 本课题首先根据伴随矩阵的基本性质 , 系统地讨论了伴随矩阵的运算性质、在特征值和特征向量方面的性质及伴随矩阵对原矩阵性质的继承性 , 然后对某些特殊矩阵的伴随矩阵的性质进行了研究
2、, 并将伴随矩阵作了两方面的推广 , 最后探讨了其在线性代数解题中的应用 . 既拓宽了解决线性代数问题的思路 , 又有助于伴随矩阵成为其他学科或尖端技术领域中的重要工具 . 关键词 : 伴随矩阵 ; 特殊矩阵 ; 推广 ; 性质 ; 应用 III Discussion on Properties and Applications of Adjoint Matrix Abstract Adjoint matrix is a basic concept in the matrix theory and linear algebra, and it is an important tool to s
3、tudy many branch of mathematics . As a special matrix, the theory and the application of adjoint matrix have its own character. During Advanced Algebra and Linear Algebra learning, adjoint matrix is only a tool to calculate inverse matrix. It is not studied in depth. In this paper, many properties o
4、f adjoint matrix are firstly discussed in detail: the properties of operation, the properties about characteristic value and characteristic vector, and the inherited properties of adjoint matrix from the original matrix. Then we study the properties about adjoint matrices of some special matrices, a
5、nd promote the adjoint matrix with two ways. Finally, we discuss its applications of solving problems in Linear Algebra. It not only can broaden the idea of solving the problem in Linear Algebra, but also can help the adjoint matrix to be an important tool in other subjects or field of cutting-edge
6、technology. Keywords: Adjoint matrix; Special matrix; Promotion; Properties; Application IV 主要符号表 符号 含义 A 矩阵 A 的行列式 I 单位矩阵 nI n 阶单位矩阵 )(AR 矩阵 A 的秩 A 矩阵 A 的伴随矩阵 1A 矩阵 A 的逆 TA 矩阵 A 的转置 nmija )( nm 阶矩阵 整数集 V 目录 摘要 .I ABSTRACT. III 主要符号表 . IV 1 前言 . 1 2 伴随矩阵的定义与性质 . 2 2.1 伴随矩阵的定义 . 2 2.2 伴随矩阵的基本性质 . 2 2
7、.3 伴随矩阵的运算性质 . 4 2.4 伴随矩阵的继承性 . 11 2.5 伴随矩阵在特征值与特征向量方面的性质 . 13 3 特殊矩阵的伴随矩阵的性质 . 16 4 伴随矩阵的推广 . 18 4.1 m重伴随矩阵的定义与性质 . 18 4.2 nm 矩阵的伴随矩阵的定义与性质 . 23 5 伴随矩阵的应用 . 25 6 小结 . 28 参考文献 . 29 致谢 .错误 !未定义书签。 1 1 前言 矩阵的伴随矩阵是 矩阵理论及线性代数中的一个基本概念 , 灵活地运用伴随矩阵的性质可以解决线性代数中的许多问题 , 比如 , 矩阵间一些关系的证明 , 求矩阵的逆 , 一些复合矩阵的行列式等 .
8、 它既是许多数学分支研究的重要工具 , 又是其他学科或尖端领域内研究的必要工具 , 如量子力学、刚体力学、流体力学、自动控制论等领域 . 因此它既拓宽解决线性代数问题的思路 , 又有助于其他领域更好的发展 .1-2 古今中外对伴随矩阵的研究很多 , 并且已得到了许多重要的成果 . 如杨闻起在文献 3中 , 探讨了伴随矩阵在 对称、反对称、正定、半正定、正交、相似和特征值等方面的性质 ; 文献 4中 , 王航平也在伴随矩阵的定义与基本性质的基础上 , 探讨了伴随矩阵的运算性质 , 特别研究了乘积矩阵的伴随矩阵的性质 , 并提出了自伴随矩阵的定义及其性质 , 归纳了伴随矩阵较强的继承性 ; 郑茂玉
9、在文献 5中提出了伴随矩阵与原矩阵之间的联系 , 探讨了伴随矩阵的性质 , 并且将伴随矩阵推广到了 m 重 ; 文献 6中 , 徐淳宁也探究了 m 重伴随矩阵的定义及其性质 , 得到了一些有意义的结果 . 贾美娥在文献 7中定义了 nm 矩阵的伴随矩阵 , 并初步探讨了它的一些性质 . 其他的文献中探讨伴随矩阵的性质还有很多 , 不胜枚举 . 尽管对伴随矩阵的研究已经很多 , 但是 目前对伴随矩阵的性质研究还不是很完善 . 至今为止 , 在高等代数和线性代数的各种教材中 , 伴随矩阵只是作为求解逆矩阵的工具出现的 8, 并没有进行深入的 研究 . 基于伴随矩阵性质的重要性 , 本课题在伴随矩阵
10、的定义和基本性质的基础上 , 详细归纳讨论了伴随矩阵的运算性质、 在特征值和特征向量方面的性质及伴随矩阵在等价、相似、合同、对称、正交、正定等性质方面对原矩阵的继承性 ; 并且探讨了如上（下）三角矩阵、自伴随矩阵、对角矩阵、幂等矩阵 9等一些特殊矩阵的伴随矩阵的性质 ; 并给出详细的证明 ; 然后 将伴随矩阵作了两方面的推广 , 给出了 m 重矩阵伴随矩阵的定义及其相关的性质和 nm 矩阵的伴随矩阵的定义及其若干性质 , 使伴随矩阵的性质更具有科学性 , 系统性 . 最后探讨了其在线性代数解题中的应用 . 伴随矩阵在线性代数解题中及其各领域中的应用丰富多彩 , 因此掌握了伴随矩阵的性质不仅有利
11、于教师的教学 , 也有利于学生的学习 . 2 2 伴随矩阵的定义与性质 2.1 伴随矩阵的定义 定义 2.18 在行列式 nnnjninijinjaaaaaaaaa111111中划去元素 ija 所在的第 i 行与第 j 列 , 剩下的 2)1( n 个元素按原来的排法构成一个 1n 级的行列式 nnjnjnnnijijiinijijiinjjaaaaaaaaaaaaaaaa1,1,1,11,11,11,1,11,11,11,111,11,111称为元素 ija 的余子式 , 记为 ijM , 则称 ijjiij MA )1( 为 ija 的代数余子式 . 定义 2.2 称由方阵 A 中各个元
12、素的代数余子式构成的矩阵为伴随矩阵 , 记为 A , 即 nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111* . 注 这里定义的只有方阵才有伴随矩阵 . 2.2 伴随矩阵的基本性质 性质 2.1 若 *A 是矩阵 A 的伴随 矩阵 , 则 nIAAAAA * , 且当 A 可逆时 , 有 1* AAA 或 *1 1 AAA . 证明 设 nnijaA )( , 则有 nnijAA )( , A 的行列式为 A , 因为 jninjiji AaAaAa 2211 ij ijA,0 , ),2,1,( nji , 3 所以 nnnnnnnnnnnnnIAAAAAAAAAAAAAaaaaaa
13、aaaAA 000000212221212111212222111211* . 同理 , 有 nnnnnnnnnnnnnIAAAAaaaaaaaaaAAAAAAAAAAA 000000212222111211212221212111* . 所以 nIAAAAA * . 当 A 可逆时 , 即 0A , 由于 nIAAA * , 方程两边同时左乘 1A 得 nIAAAAA 1*1 , 所以 1* AAA , 继而可得 *1 1 AAA . 性质 2.29 设 A 是 n 阶方阵 , 则等式 )2(1* nAA n 成立 . 证明 （ 1）若 0A , 下面分两种情况讨论 1 若 0A , 则 0
14、A . 从而 0*A , 所以等式 )2(1* nAA n 成立 . 2 若 0A , 下面用反证法证明 若 0*A , 则 A 可逆 . 由此得 1*1* )()( AAAAAAAIA n . 由性质 2.1, 得0)( 1* AIAA n , 这与 0A 矛盾 , 故 0*A . 所以等式 )2(1* nAA n 成立 . （ 2） 若 0A , 由性质 2.1 有 nIAAA * . 方程两边取行列式且根据对角阵行列式的性质 , 得 nn AIAAA * , 故有 )2(1* nAA n . 性质 2.310 若 A 是 n阶方阵 )2( n , 则 （ 1） nAR )( * 的充要条
15、件是 nAR )( ; 4 （ 2） 0)( * AR 的充要条件是 1)( nAR ; （ 3） 1)( * AR 的充要条件是 1)( nAR . 证明 （ 1）充分性 由于 nAR )( , 则 0A . 由性质 2.2 得 01* nAA , 所以 *A 可逆 , 因此有 nAR )( * . 必要性 用反证法证明 若 0A , 由性质 2.1得 0* nIAAA . 又因为 nAR )( * , 则 A 可逆 . 将 nIAAA *两边同时右乘 1)( A , 有 0)()( 11* AIAAAA n, 即得 0 , 所以 0A , 这与nAR )( * 矛盾 , 所以 0A , 即
16、 nAR )( . （ 2）充分性 若 1)( nAR , 则矩阵 A 的所有的 1n 阶子式全为零 , 而矩阵 A 的 1n阶子式全为零当且仅当 *A 的每个元素全为零 , 所以 0*A , 故 0)( * AR . 必要性 由于 0)( * AR , 那么 0A , 所以矩阵 A 的 1n 阶子 式全为零 , 因此1)( nAR . （ 3）充分性 因为 1)( nAR , 所以矩阵 A 有一个 1n 阶子式不等于零 , 根据伴随矩阵的定义 , 那么 *A 至少有一个元素不等于零 , 所以有 1)( * AR . 另一方面 , 若 A 、 B 均为 n阶方阵 , 当 0AB 时 , 则 n
17、BRAR )()( . 事实上 , 因为0A , 所以 0* nIAAA , 那么有 0)()( * ARAR . 因为 1)( nAR , 所以又得到1)( * AR , 从而有 1)( * AR . 必要性 由于 1)( * AR , 则 *A 至少有一个元素不等于零 , 所以 A 至少有一个 1n 阶子式不等于零 , 所以 1)( nAR . 另外 , 若 nAR )( , 则 nAR )( * , 这与 1)( * AR 矛盾 , 所以 nAR )( . 因此 1)( nAR . 说明 以上性质是伴随矩阵性质研究的基础 , 其他性质的研究主要是围绕它们展开的 . 2.3 伴随矩阵的运算
18、性质 一、乘积矩阵的伴随矩阵的运算性质 性质 2.44 若 A 为可逆方阵 , k 为非零常数 , 则 *1*)( AkkA n . 5 证明 由可逆矩阵的性质得 11 1)( AkkA , 又由性质 2.1 得 1* AAA , 所以 1* )()( kAkAkA 11 AkAkn *111 AkAAk nn . 性质 2.5 若 A 、 B 为 n阶可逆方阵 , 则 *)( ABAB . 证明 因为 A 、 B 均为可逆阵 , 所以由性质 2.1 和可逆阵性质得 111* )()( ABBAABABAB *11 ABABB . 说明 事实上 , 当 A 或 B 不可逆和 A 、 B 都不可
19、逆时结论都成立 . 推论 2.1 若 mAAA , 21 均为 n阶方阵 , 则方阵乘积的伴随矩阵等于每个方阵的伴随矩阵的倒序乘积 , 即 *1*2*21 )( AAAAAA mm . 二、分块矩阵的伴随矩 阵的运算性质 性质 2.6 设有 n阶可逆阵 B 、 C 及分块矩阵 CBA 0 0, 则有 CBBCA 0 0. 证明 因为 B 与 C 为 n 阶可逆阵 , 所以矩阵 A 可逆且 1110 0CBA, 又可知CBA , 由于 nn ICBIAAA 22* , nIBBB , 故有 CBBCCBCBACBA 0 00 0 111 . 推论 2.2 设有 n阶可逆方阵 ),2,1( niBi 及分块矩阵nBBBA00000021, 则有 niniiiiiBBBBBBA0000002211. 根据性质 2.6, 同理可得
