1、 本科毕业论文 （ 20 届） 混合 Halpern 迭代序列的强收敛性 所在学院 专业班级 数学与应用数学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 I 摘要 非线性算子方程属于非线性泛函分析的范畴 , 是泛函分析的理论和应用的一个重要组成部分 , 它在微分方程 , 积分方程 , 力 学 , 控制论 , 对策论 , 经济平衡理论 , 交通运输 , 社会和经济模型等许多方面都有着重要的应用 . 目前关于迭代参数限制的放宽和算法改进的研究一直是非线性分析理论研究中的热点问题 , 其中复合 Halpern 迭代序列是一个可以得到强收敛定理的有效算法 . 本文将主要通过构造一致光滑的 Ban
2、ach 空间 中非扩张映像的 Halpern 迭代序列以及 粘滞迭代序列 来研 究修正混合 Halpern 迭代序列的强收敛性 . 全文共分 四 章 , 第一章前言介绍了 非线性算子不动点理论和迭代算法 的简况 以 及本文的主要工作 . 第 二 章 构造了 一步 Halpern 迭代序列 和 两步 Halpern 迭代序列来研究修正混合 Halpern 迭代序列的强收敛定理 . 第三章 构造了 一步 粘滞迭代序列 和 两步 粘滞迭代序列来研究非扩张映像的 修正混合粘滞迭代序列的强收敛定理 . 第 四 章总结了本文的主要工作 . 关键词 : 非扩张映像 ; Banach 空间 ; Halpern
3、 迭代序列 ; 粘滞迭代序列 II Strong Convergence on the Modified Composite Halpern Iterative Process Abstract Nonlinear operator equations are belong to the areas of the nonlinear functional analysis, and have wide applications in the fields of the differential e quations, integral equations, mechanics, control
4、 theory, game theory, economic equilibrium theory, transportation, social, economic models and many other aspects. At present, the study of relaxation of restrictions iterative parameters and algorithm are a very active question in nonlinear functional analysis, and composite halpern iterative algor
5、ithms can be an effective algorithm for strong convergence theorems. In this thesis, strong convergence on the modified composite halpern iterative process for the nonexpansive mappings are considered in Banach space by giving the halpern iterative process and viscosity iterative process. This thesi
6、s includes four chapters. In chapter 1, the history of fixed points of nonlinear operator and iterative process are recalled, a summary of this work are given. In chapter 2, strong convergence of the modified composite halpern iterative process are discussed by giving one-step halpern and two-step h
7、alpern iterative process. In chapter 3, strong convergence of the modified composite viscosity iterative process are considered by giving one-step viscosity and two-step viscosity iterative process. In chapter 4, a summary of this thesis are given. Keywords: Nonexpansive mapping; Banach space; Halpe
8、rn iterative process; Vioscosity iterative process III 目录 摘要 . 错误 !未定义书签。 Abstract . 错误 !未定义书签。 1 前言 .1 2 Halpern 迭代序列的强收敛性 .4 2.1 预备知识 .4 2.2 非扩张映像的一步 Halpern 迭代序列的强收敛性 .5 2.3 非扩张映像的两步 Halpern 迭代序列的强收敛性 .8 3 粘滞迭代序列的强收敛性 .13 3.1 预备知识 .15 3.2 非扩张映像的一步粘滞迭代序列的强收敛性 .15 3.3 非扩张映像的两步粘滞迭代序列的强收敛性 .18 4 小结 .
9、23 参考文献 .24 致谢 .26 1 1 前言 非线性算子方程属于非线性泛函分析的范畴 , 是泛函分析的理论和应用的一个重要组成部分 , 它的理论和方法不仅是线性最优化的一个重要部分 , 而且在微分方程 , 积分方程 , 力学 , 控制论 , 对策论 , 经济平衡理论 , 交通运输 , 社会和经济模型等许多方面都有着重要的应用 . 因此 , 研究非线性算子方程解的存在性及迭代算法理论不仅具有重要的理论意义 , 而且 也具有重要的应用价值 . 非扩张映像是压缩映像的一种推广 , 在求解方程的不动点的问题上起到很重要的作用 , 它在近代数学许多分支都有应用 , 遍历定理和单调算子理论方面有着重
10、要的应用 . Mann 迭代序列对于非扩 张映像即使在 Hilbert 空间框架下也没有强收敛定理 , 但是用 Halpern 迭代序列逼近非扩张映像不动点是一个有效的算法 , 可以得到强收敛定理 . 这 不仅具有重要的理论意义 , 而且也具有重要的应用价值 . 1967年 , Halpern1 首次引进了如下迭代格 式 0 1 , 1.n n n nxCx u T x (1.1) Halpern 指出 如果迭代序列 (1.1)收敛于 T 中的不动点 . 则 n 满足以下两个条件 lim 0nn , 1 nn . 1977 年 , Lions 2 研究了在 Hilbert 空间中满足下列条件
11、lim 0nn , 1 nn , 211()lim 0nnn n , 则迭代序列 (1.1)强收敛于 T 在 C 中一个不动点 . 然而 , Lions 的条件在参数的选择上是更加严格 , 但是排除了 1n n的这种自然选择 . 1980 年 , Reich3 提出如果空间 E 是一个一致光滑的 , 并且 01n n , 则迭代序列 (1.1)强收敛于 T 的一个不动点 . 最近 Chang 4 继续研究 Halpern 迭代格式 , 证明了 当 E 是一致光滑 Banach 空间 , 并且n 满足条件 2 lim 0nn , 1 nn , 0nnTx x, 则 nx 强收敛于 T 的一个不动
12、点 . 张石生教授 5 在最近的 文章中也继续研究了上述问题 . 同时 , 关于迭代参数限制的放宽和算法的改进 研究一直是该领域的重要课题 . 引入两步Halpern 迭代程序得到了非扩张映像的强收敛定理 不仅具有重要的理论意义 , 而且也具有重要的应用价值 . 2008 年 , 秦小龙 6 等人给出如下两步 Halpern 迭代格式 11,1.n n n n nn n n ny x T xx u y (1.2) 其中 u 是 C 中任一给定的一个点 , ,nn是 0,1 中的实序列 . 在参数 n 和 n 满足一定条件下 , 证明了由 (1.2)定义的 nx 强收敛于 T 的一个不动点 .
13、2008 年 , Qin, Su 和 Shang7 引入了复合 Halpern 迭代更一般的具误差项的 p -步复合Halpern 新迭代 , 在一致光滑 Banach 空间框架下 , 对迭代参数作适当的假定 , 证明了此算 法强收敛于非扩张映射的不动点 . 与此同时 , 姚永红 6 等人提出两步 Halpern 迭代 , 而秦小 龙等 人 6 提出了复合粘滞迭代序列 , 证明了 nx 强收敛到 T 的不动点 , 其中 T 是非扩张映像 . 近几年来 , 粘滞迭代方法也是众多学者关注的对象 , 不仅利用这种方法研究非线性算子方程的不动点 , 而且用来研究变分不等式解的问题 . 2000 年 ,
14、 Moudafi8 引入粘滞迭代方法逼近给定非扩张映像的不动点 , 并提出了一步粘滞迭代序列 0 1 C, 1 , 0 .n n n n nxx f x T x n 其中 E 是一致光滑的 Banach 空间 , C 是 E 的闭凸子集 , 映像 :T C C 是具有非空不动点集的非扩张映像 , Cf 是一收缩 . 0,1n , 并且证明了当 n 满 足下列条件时 ()i lim 0nn ; ()ii1 nn ; 3 ()iii 1lim 1nn n 或11 nnn . 则序列 nx 强收敛到映像 T 的不动点 . 2004 年 , Xu9 改进了 Moudafi 的结果 , 在一致光滑的 B
15、anach 空间中给出了粘滞迭代的强收敛定理 . 2005 年 , Song 和 Chen10 对 Xu9 的结果进行了推广与改进 . 2006 年 , Marino11和 Xu 研究了 Hilbert 空间中非扩张映像的不动点的迭代逼近问题 . 同年 , Martinez 和 Xu 在Hilbert 框架下借助于度量投影 , 针对非扩张映像修正了 Ishikawa 迭代程序 . 2010 年 , 杨柳 , 王元恒 12 研究了两步粘滞迭代 11 1,n n n n nn n n n ny x T xx f x y 0n . （ 1.3） 其中 E 是一致光滑的 Banach空间 , C 是
16、E 的闭凸子集 , 映像 :T C C 是具有非空不动点集的非扩张映像 , Cf 是一收缩 . , 0,1nn , 并且证明了 (1.3)中的序列 nx强收敛到 T 的不动点 . 本文将主要通过构造 一 致光滑的 Banach 空间 中非扩 张映像的一步 Halpern 迭 代序列 和两步 Halpern迭代序列 , 以及 一致光滑的 Banach空间 中非扩 张映像的 一步 粘滞 迭 代 序列和 两步 粘滞 迭代 序列来研 究非扩张映像的修正混合 Halpern 迭代序列的强收敛性 . 4 2 Halpern 迭代序列的强收敛性 2.1 预备知识 Halpern 迭代序列逼近非扩张映像不动点
17、是一个有效的算法 , 可以得到强收敛定理 . 同时 , 关于迭代参数限制的放宽和算法的改进研究一直是该领域的重要课题 . 引入复合Halpern 迭代程序得到了非扩张映像的强收敛定理 不仅具有重要的理论意义 , 而且也具有重要的应用价值 . 对此很多学者都做出了研究 . 本章主要 通过构造 一致光滑的 Banach 空间 中非扩张映像的一步 Halpern 迭代格式 和两步 Halpern 迭代格式 , 来研 究非扩张映像的修正混合 Halpern 迭代序列的强收敛性 . 定义 2.113 设 E 是一实 Banach 空间 , C 是 E 的闭凸子集 , :T C C , 且 T 满足 |
18、| | |Tx Ty x y , ,x y C. 则称 T 是一非扩张映像 . 定义 2.21 设 C 是 Banach 空间 E 的闭凸子集 , uC 是任意给定的点 , 实序列 0,1n , 则下面的序列 01, 1.n n n nxCx u T x 称为一步 Halpern 迭代序列 . 定义 2.314 设 C 是 Banach 空间 E 的闭凸子集 , uC 是任意给定的点 , 实序列n , 0,1n , 则下面的序列 11,1.n n n n nn n n ny x T xx u y 称为两步 Halpern 迭代序列 . 定义 2.413 设 C 和 D 是 Banach 空间
19、E 中非空子集 , 集合 C 是一闭凸的 , 且 DC 对于映像 :Q C D , 如果 Q x t x Q x Q x , 对所有的 xC , 0t , 只要有 x t x Q x C 成立 , 则称映像 Q 是 太阳的 . 若 E 是光滑的 Banach 空间 , 那么映像 :Q C D 是太阳非扩张收缩当且仅当如下不等5 式成立 ,0x Q x J y Q x , xC , yD . 定义 2.512 设 E 是一个实 Banach 空间 , X 的光滑模定义为 sup 1 , 1 ,2x x y x yt x y t , 如果 0lim 0Xttt , 则称 Banach 空间 E 是
20、一致光滑的 . 引理 2.19 设 E 是一 Banach 空间 , 则有下列不等式成立 22 2,x y x y j x y , ,xy E , 其中 j x y J x y . 引理 2.213 设 E 是一致光滑的 Banach空间 , :T C C 是具不动点的非扩张映像 . 对任一固定的 txC 和每 一 0,1t , 并且当 0t 时 , 收缩 C 1x tu t tx . 当0t 时 , tx 强收敛到 T 的不动点 . 由 0limttQu x 定义映像 :Q C F T , 则 Q 是唯一的从 C 到 FT 的太阳非扩张收缩 , 即 Q 满足 ,0u Q u J z Q u
21、, uC , z F T . 引理 2.313 设 n 是一个非负实序列满足 1 1n n n n n , 0n , 其中 0 0,1n n , 0n n 满足 ()i lim =0nn , 0 nn , ()ii lim sup 0nn , 或者0 nnn . 则 lim 0nn . 2.2 一步 Halpern 迭代序列的强收敛性 定理 2.1 设 E 是一致光滑的 Banach空间 , C 是 E 中非空闭凸子集 , :T C C 是非6 扩张映像 , 并且 FT , uC , 给定一点 0xC 是任一初始点 , nx 如下定义迭代序列 1 1n n n nx u Tx , 其中 n 是
22、 0,1 中的实数列 , 并且 满足条件 ()i0 nn ; ()ii 0n , n ; ()iii 10 nnn . 则 1n nx 强收敛于 T 的一个不动点 . 证明 首先证明序列 0n nx 是有界的 , 取 T 的一个不动点 p , 则有 1 1n n n nx p u p Tx p 1n n nu p x p m a x ,nu p x p , 所以 0m a x ,nx p u p x p , 0n 则 nx 是有界的 . 接下来证明 1 0nnxx . (2.1) 用一步 Halpern迭代格式来证明 (2.1) 111n n n n nx x Tx Tx 11( )( )n n nu Tx , 所以 1 1 1 11n n n n n n n nx x Tx Tx u Tx , 因此 111n n n n nx x x x 11n n nu Tx ,
