1、 本科 毕业设计 倒立摆系统状态反馈控制器的设计 所在学院 专业班级 电气工程及其自动化 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 I 摘要 倒立摆系统是一种高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合的系统，经常被现代控制理论的研究人员视为典型的研究对象，这是因为倒立摆的控制过程不 仅能有效地反映控制中的许多关键问题，如镇定问题、随动问题以及跟踪问题，并且还可以不断从中发掘出新的控制策略和控制方法。通过 对倒立摆的控制， 我们能 检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。 对倒立摆机理的研究具有重要的理论和实际意义，对系统的研究也比较有实用价值。 本文论述了倒立摆系统的国
2、内外研究动态及意义。接着用牛顿力学分析法建立了一级倒立摆数学模型，用 Lagrange 方程建立了二级倒立摆数学模型。其次介绍了状态能控性与能观性及线性二次型最优控制的概念，分析了一级倒立摆和二级倒立摆的稳定性， 分别基于现代控制理论中的极点配置理论和线性二次型最优控制理论，对一级倒立摆和二级倒立摆分别设计了状态反馈控制器。然后利用 Matlab 对倒立摆进行计算机辅助设计和仿真，并对固高小车一级倒立摆进行了实时控制。在倒立摆系统的仿真实验中，摆角曲线最后收敛于零位置，小车位移曲线最后恒定不变。在实时控制实验中， 一级倒立摆系统运行稳定，达到了理想的控制效果。 关键词 ： 倒立摆；极点配置；最
3、优控制；仿真 II Abstract The inverted pendulum is a typical order instable system, with multivariable, nonlinear, strong-coupling. It is often regarded as a typical research object by the people who research Modern control theory. This is not only because many key problems, such as calmness, robustness, f
4、ollow-up sex and tracking in control can be reflected effectively in the controlling process, but also because some new control strategies and control methods can be explored continuously. The inverted pendulum can be used to test whether the new control methods have strong ability of dealing with n
5、onlinear and instability problems. Researching the mechanism of inverted pendulum is very important in theory and practice. Researching the system also has great value in practice. The developing trend and significance of studying the inverted pendulum system are expounded in the paper. Then the fir
6、st level mathematic model of the inverted pendulum is established by the analytical method of Newton mechanics, and a double level mathematic model of the inverted pendulum is established with the Lagrange equation. Not only the conception of state controllability and state observability, but also t
7、he conception of linear quadric optimal control is introduced. And then the stabilities of the first level and double level inverted pendulum systems are analyzed. Respectively based on the theory of pole placement and the theory of linear quadric optimal control in modern control theory, the contro
8、llers for the first level and double level inverted pendulum systems are designed respectively. Then computer-aided design and simulation for inverted pendulum system are done with matlab. In the simulation experiment of controlling over the inverted pendulum system, the curve of pivot angle finally
9、 converges to zero position and the displacement curve of cart finally converges to constant. In the real object experiment, the first level inverted pendulum system ran stably and has satisfactory control effect. Key words: inverted pendulum; pole placement; optimal control; simulation III 目录 第 1 章
10、 绪论 . 1 1.1 本课题国内外研究动态及意义 . 1 1.2 倒立摆的控制方法 . 1 1.3 本文的主要工作 . 2 第 2 章 倒立摆系统的数学建模 . 3 2.1 直线一级倒立摆系统的数学建模 . 3 2.1.1 摆杆的受力分析 . 3 2.1.2 小车的受力分析 . 4 2.1.3 线性化后的微分方程 . 5 2.1.4 直线一级倒立摆系统的状态空间表达式 . 5 2.2 二级倒立摆系统的数学建模 . 7 第 3 章 倒立摆系统的极点配置的状态反馈控制器的设计 . 13 3.1 系统的状态能控性和状态能观性 . 13 3.1.1 系统的能控性判据和能观性判据 . 13 3.1.2
11、 状态反馈和输出反馈 . 14 3.2 极点配置问题 . 14 3.2.1 单输入系统的极点配置 . 14 3.2.2 极点配置算法 . 15 3.2.3 多输入系统的极点配置 . 15 3.3 状态反馈控制器的设计 . 15 3.3.1 直线一级倒立摆系统的极点配置的状态反馈控制器的设计 . 16 3.3.2 直线二级倒立摆系 统的极点配置的状态反馈控制器的设计 . 17 第 4 章 基于线性二次型 LQR 算法的状态反馈控制器的设计 . 20 4.1 二次型最优控制问题 . 20 4.2 Q、 R阵的选择 . 21 4.3.1 直线一级倒立摆 LQR 控制器的设计 . 22 4.3.2 直
12、线二级倒立摆 LQR 控制器的设计 . 22 第 5 章 倒立摆系统的仿真 . 24 IV 5.1 直线一级倒立摆极点配置控制的仿真 . 24 5.2 直线一级倒立摆 LQR 控制的仿真 . 25 5.3 直线二级倒立摆 极点配置控制的仿真 . 26 5.4 直线二级倒立摆 LQR 控制的仿真 . 27 第 6 章 小车 倒立摆系统的实时控制 . 28 6.1 系统概述 . 28 6.1.1 倒立摆本体 . 28 6.1.2 电控箱 . 28 6.1.3 控制平台 . 29 6.1.4 系统框图 . 29 6.2 一级倒立摆的实时控制 . 29 6.2.1 一级倒立摆实时控制结构 . 30 6
13、.2.2 系统子模块介绍 . 30 6.2.3 实时控制结果 . 31 结论 . 33 致谢 . 错误 !未定义书签。 参考文献 . 34 1 第 1 章 绪论 1.1 本课题国内外研究动态及意义 倒立摆系统是一种高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合的系统，经常被现代控制理论的研究人员视为典型的研究对象，而被作为研究控制理论的实验装置。这是因为倒立摆的控制过程不仅能有效地反映控制中的许多关键问题，如镇定问题、随动问题以及跟踪问题，并且还可以不断从中发掘出新的控制策略和 控制方法。许多新的控制理论，都通过倒立摆实验加以验证，如模糊控制、神经网络控制、拟人控制都受到倒立摆的检验。 通过对倒立摆的
14、控制， 我们能 用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力 ，因此倒立摆具有重要的理论价值。该课题的研究一直受到国内外广大学者的广泛关注，成为控制热门研究课题之一。 对倒立摆机理的研究具有重要的理论和实际意义，成为控制理论中经久不衰的研究课题。倒立摆系统不仅具有结构简单、原理清晰、易于实现等特点，而且可以用与它有关的实验来研究控制理论中许多典型问题，这主要是因为它是一个典型 的多变量系统。许多理论都可以用在这样的非线性系统，这些理论有观测器理论、状态反馈理论和滤波理论等。航天、机器人领域、军工还有一般工业过程基本上都用到了 控制 倒立摆 系统所用到的 方法，如控制火箭发射垂
15、直度 、 控制机器人平衡行走和控制卫星飞行姿态等。 另一方面对系统的研究也比较有实用价值。日常生活中的一些控制问题和倒立摆控制都很相像，如我们所见到的任何重心在上、支点在下的控制问题，控制空间飞行器和各类伺服云台使之稳定的问题。因此对倒立摆的稳定控制在航天、机器人领域、军工还有一般工业过程 领域中都有着广泛的 应 用 ，如稳定控 制卫星发射架、稳定控制海上钻井平台、控制火箭 卫星 姿态、控制机器人双足行走、控制飞机安全着陆和控制化工过程等都是很好的例子。 除此之外，我们可以利用倒立摆系统的非线性、多变量、不稳定等特性来描述线性控制领域中不稳定系统的稳定性和非线性控制领域中的非线性观测器、无源性
16、控制、变结构控制、摩擦补偿、自由行走等控制思想，而且新的控制理论和控制方法也可以被我们发掘出来。相关的成果在机器人和航空航天等方面获得了广阔的应用 1。 1.2 倒立摆的控制方法 对倒立摆的控制，当前有几种控制方法来实现控制。它们有 线性理论控制、 预测控制、变结构控制和智能控制等。 1.线性理论控制 线性理论控制就是近线性化处理倒立摆系统的非线性模型，处理完后，能在系统的平衡点附近获得线性化模型，接着利用各种线性系统控制器的设计方法，获得期望的控制器。像这样的控制方法有常规 PID 控制、状态反馈控制、线性二次型 LQR 控制算法。对于模型简单、非线性较小的直线一、二级倒立摆控制时，这个方法
17、能解决这类倒立摆的稳定性问题。而对于模型复杂、非线性较强的三、四级以及多级倒立摆控制时，线性系统的设计方法就有很大的局限性，因此这需要用更合理、更有效的方法来设计 2。 2.变结构控制和预测控制 因为倒立摆系统是个非线性、多变量系统，这就使得它与线性控制理论之间有很大的矛2 盾。针对这样的非线性、多变量被控对象，人们意识到了要用有非线性特性的多变量控制去解决非线性、多变量系统，于是人们逐渐研究了变结构控制、预测控制和自适应控制。变结构控制是一种非连续控制，当控制对象由任意位置到滑动曲面上时，系统仍可保持稳定性和鲁棒性，不过系统还存在着颤抖。预测控制是一种优化控制方法，它不强调结构，强调的是实模
18、型的功能。变结构控制、预测控制和自适应控制这三种控制在理论上可以取得比较好的控制效果 ，不过因为成本较高，控制方法复杂，在快速变化的系统上不容易实时实现 2。 3.智能控制 倒立摆系统中的智能控制方法主要有模糊控制、神经网络控制、云模型控制、遗传算法、拟人智能控制和仿人智能控制等。 1.3 本文的主要工作 本次设计主要是要完成对直线一级和二级倒立摆的稳定控制。 第 1章 是对倒立摆系统作个简单的描述，主要是论述了倒立摆系统的国内外研究动态及意义。另外也介绍了倒立摆系统的几种控制方法。 第 2章是以倒立摆为控制对象，用牛顿力学分析法建立直线一级倒立摆的数学模型和用Lagrange 方程建立 直线
19、二级倒 立摆的数学模型，同时也简单阐述了 Lagrange 方程建模的一些特点。 第 3 章是介绍了线性系统的能控性和能观性的概念及其判据。接着分析和研究了 直线一、二级倒立摆的稳定性，同时也判别了倒立摆系统的能控性和能观性。然后是基于现代控制理论中的极点配置理论分别设计了直线一级和二级倒立摆的控制器。 第 4 章首先介绍了线性二次型最优控制的概念，接着阐述了 Q、 R 矩阵选择的原则，然后基于线性二次型最优控制理论，分别对一级倒立摆和二级倒立摆设计了状态反馈控制器。 第 5 章是对倒立摆系统的仿真。根据第三章和第四章所设计的状态反馈控制 器，再代入系统进行仿真，并对仿真结果进行了分析与总结。
20、 第 6 章是首先对倒立摆系统作简单的介绍，再根据第五章的仿真结果进行一级倒立摆的实物控制实验。 3 第 2 章 倒立摆系统的数学建模 在分析和设计控制系统时，首先需要做的是建立其数学模型，即描述这一系统运动规律的数学表达式，因为 建模是研究系统的重要手段和前提。凡是用模型描述系统的因果关系或相互关系的过程都属于建模。 建立数学模型有两种基本方法：机理分析法和实验辨识法。 机理分析是根据对现实对象特性的认识、分析其因果关系，找出反映内部机 理的规律 ， 建立的模型常有明确的物理或现实意义 。实验辨识法是根据系统运行和实验数据建立其数学模型。 而控制系统模型的建立也是有两种方法。一种是分析系统各
21、个部分的机理运动规律，根据这些规律再列写出运动方程，这种方法就是分析法。一种是人为地给定某种测试信号，记录其输出响应，再用恰当的数学模型去逼近，这种方法就是实验法。 倒立摆系统适合用分析法。目前，人们对倒立摆系统的建模有牛顿力学法和 Lagrange 方程法。牛顿力学分析法是把注意力集中在与系统的各个部分相互联系的力和运动以及各部分之间的相互作用，这种方法适用于一 级倒立摆的建模。 Lagrange 方程法是把系统看成一个整体，并用像动能、势能之类的量来描述函数，这种方法适用于二级倒立摆的建模。本章就讨论用这两种方法分别对一、二级倒立摆进行建模。 2.1 直线一级倒立摆系统的数学建模 对于小车
22、倒立摆系统，在实际中，系统总存在着一些 摩擦，如摆杆与支点之间的摩擦以及小车与导轨之间的摩擦，而这些摩擦都非常小。 为了简化系统的模型，我们可以忽略 这些摩擦。并假设摆杆为刚体。 对小车倒立摆系统进行受力分析，其系统如图 2.1 所示。 图 2.1 直线一级倒立摆系统 小车和摆杆是小车倒立摆系统的两个部分。这里，我们可以采用隔离的方法，对小车倒立摆系统进行受力分析。 2.1.1 摆杆的受力分析 首先把摆杆从系统中隔离出来，然后对其进行受力分析。其受力分析图如图 2.2 所示。在摆杆的水平方向上，由受力分析可以得到下面等式： 22( sin )d x lmNdt （ 2-1） M F m l x
23、 4 图 2.2 摆杆隔离 受力分析图 再转化一下，即： 2c o s s i nm x m l m l N （ 2-2） 在摆杆的垂直方向上，由受力分析可以得到下面等式： 22( c o s )dlm P m gdt （ 2-3） 再转化一下，即： 2s i n c o sm l m l P m g （ 2-4） 在 摆杆的转动方向上，设 是摆杆与垂直向上方向之间的夹角。则有 ，cos cos ， sin sin ，故可得力矩平衡方程如下： s in c o sJ P l N l （ 2-5） 2.1.2 小车的受力分析 再把小车从系统中隔离出来，对其进行受 力分析。其受力分析图如图 2.3
24、 所示。在小车 图 2.3 小车隔离受力分析图 的水平方向上，有： Mx bx F N （ 2-6） 这里我们不考虑小车的垂直方向的受力情况，故不作受力分析。由上述几个方程联立，可得一组非线性方程组，如下： M F bx P x xN mg N JP 5 22c o s sinsin c o ssin c o sm x m l m l Nm l m l P m gJ P l NlM x b x F N （ 2-7） 式中， m：摆杆的质量； M：小车的质量； b：小车的滑动摩擦系数； l：摆杆转动轴心到杆质心的长度； J：摆杆的惯量； ：摆杆与垂直向下方向的夹角； N：小车与摆杆相互作用力的水
25、平方向的分量； P：小车与摆杆相互作用力的垂直方向的分量； F：加在小车上的力； x ：小车的相对基准位移。 2.1.3 线性化后的微分方程 消去式 （ 2-7） 中的 N 与 P ，可得下列两个方程： 22c o s s ins in c o sb x m l m l m M x FJ m l m g l m lx （ 2-8） 式（ 2-8） 是关于 的非线性方程组，为了分析方便并得到解析解，我们有必要对方程 组进行线性化处理。由于控制的目的是保持摆稳定于竖直位置附近，小车稳定于轨道中心位置附近，故当摆杆与垂直向上方向之间的夹角 与 1(弧度 )相比很小，即 1 ，则此时我们可以对系统进行线性化处理。由于 ，可令： sin ， cos 1 ， 2 0d dt 我们在表达控制理论时，通常有这个习惯，就是用 u 表示控制量。因此在这里，被控对象的输入力 F 就用 u 表示。则线性化后，得到两个线性微分方程如下： 2M m x b x m l uJ m l m g l m lx （ 2-9） 2.1.4 直线一级倒立摆系统的状态空间表达式 选取摆杆与垂直向上方向之间的夹角 ，角速度 ，小车位移 x ，小车速度 x 为状态变量，并令： 1234X xX xXXX由 得， ， ，则可将上述线性微分方程改写成如下代数方程组：
