1、大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家.www.TopS知识内容1 离散型随机变量及其分布列离散型随机变量如果在试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量 来表示，并且 是随着试验的XX结果的不同而变化的，我们把这样的变量 叫做一个随机变量随机变量常用大写字母 表示,XY如果随机变量 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称 为离散型随机变量离散型随机变量的分布列将离散型随机变量 所有可能的取值 与该取值对应的概率 列表表示：ixip(1,2,)nX12 ix nxPp i我们称这个表为离散型随机变量 的概率分布，或称为离散型随机变量 的分布列X2几类典型的随机分布两点分布如果随机变量 的分布列
2、为XX10Ppq其中 ， ，则称离散型随机变量 服从参数为 的二点分布01pqpXp二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为 ，不合格记为 ，已知产品的合格率10为 ，随机变量 为任意抽取一件产品得到的结果，则 的分布列满足二点分布8%X10P.82两点分布又称 分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验，所以这种分01布又称为伯努利分布超几何分布一般地，设有总数为 件的两类物品，其中一类有 件，从所有物品中任取 件NMn，这 件中所含这类物品件数 是一个离散型随机变量，它取值为 时的概率()nN nXm为， 为 和 中较小的一个 C()mMNnPX(0l n)我们称离散型随机变
3、量 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称 服从参数为 ，X XN离散型随机分布列的计算大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家.www.TopS， 的超几何分布在超几何分布中，只要知道 ， 和 ，就可以根据公式求出Mn NMn取不同值时的概率 ，从而列出 的分布列X()PXmX二项分布1独立重复试验如果每次试验，只考虑有两个可能的结果 及 ，并且事件 发生的概率相同在相AA同的条件下，重复地做 次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为 次n n独立重复试验 次独立重复试验中，事件 恰好发生 次的概率为k()C(1)kknnPp(0,12,)n2二项分布若将事件 发生的次数设为 ，事
4、件 不发生的概率为 ，那么在 次独立重复AXA1qpn试验中，事件 恰好发生 次的概率是 ，其中 于k()CknkP0,12,是得到 的分布列X01 PCnpqn knkpq 0Cnpq由于表中的第二行恰好是二项展开式 01 0() Cnnnknknqpq 各对应项的值，所以称这样的散型随机变量 服从参数为 ， 的二项分布，X记作 ,XBp二项分布的均值与方差：若离散型随机变量 服从参数为 和 的二项分布，则np， ()En()Dxnq(1)正态分布1 概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时，直方图上面的折线所接近的曲线在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变量 ，
5、则这条曲线称为 的概率密度曲线XX曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是 ，而随机变量 落在指定的两1X个数 之间的概率就是对应的曲边梯形的面积ab，2正态分布定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量正态变量概率密度曲线的函数表达式为 ，2()1()xfxe，其中 ， 是参数，且 ， xR0式中的参数 和 分别为正态变量的数学期望和标准差期望为 、标准差为 的正态分布通常记作 2(,)N正态变量的概率密度函
6、数的图象叫做正态曲线标准正态分布：我们把数学期望为 ，标准差为 的正态分布叫做标准正态分布01重要结论：正态变量在区间 ， ， 内，取值的概率(,)(2,)(3,)分别是 ， ， 68.3%95.4.7 x= Oy x大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家.www.TopS正态变量在 内的取值的概率为 ，在区间 之外的取值的概()， 1(3)，率是 ，故正态变量的取值几乎都在距 三倍标准差之内，这就是正态分布的0.3%x原则若 ， 为其概率密度函数，则称 为概率分2()N， (fx()()xFxPftd布函数，特别的， ，称 为标准正态分布函数201)N， 21()txed()()xP标准正
7、态分布的值可以通过标准正态分布表查得分布函数新课标不作要求，适当了解以加深对密度曲线的理解即可3离散型随机变量的期望与方差1离散型随机变量的数学期望定义：一般地，设一个离散型随机变量 所有可能的取的值是 ， ， ，这些X1x2nx值对应的概率是 ， ， ，则 ，叫做这个离散型随1p2np12()nExpp机变量 的均值或数学期望（简称期望） X离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平2离散型随机变量的方差一般地，设一个离散型随机变量 所有可能取的值是 ， ， ，这些值对应的X1x2nx概率是 ， ， ，则 叫1p2np2 21()()()()nDxEpEpEp做这个离散型
8、随机变量 的方差离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小（离散程度） 的算术平方根 叫做离散型随机变量 的标准差，它也是一个衡量离散型随()DX()xX机变量波动大小的量3 为随机变量， 为常数，则 ；ab， 2()()()()EabbDaX，4 典型分布的期望与方差：二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量 的期望取值为 ，在 次二pn点分布试验中，离散型随机变量 的期望取值为 Xnp二项分布：若离散型随机变量 服从参数为 和 的二项分布，则 ，()E()Dxnpq(1)超几何分布：若离散型随机变量 服从参数为 的超几何分布，NM，则 ， ()MEXN2(
9、)1nN4事件的独立性如果事件 是否发生对事件 发生的概率没有影响，即 ，AB(|)(PBA这时，我们称两个事件 ， 相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件如果事件 ， ， 相互独立，那么这 个事件都发生的概率，等于每个事件发12nAn生的概率的积，即 ，并且上式中任意多个1212()()()n nPPA 事件 换成其对立事件后等式仍成立i大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家.www.TopS5条件概率对于任何两个事件 和 ，在已知事件 发生的条件下，事件 发生的概率叫做条件ABAB概率，用符号“ ”来表示把由事件 与 的交（或积） ，记做 （或(|)PBDA） DAB典例分析离散型随机
10、分布列的性质【例 1】 袋中有大小相同的 5 个球，分别标有 1，2，3，4，5 五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量 ，则 所有可能取值的个数是（ ）A5 B9 C10 D25【例 2】 下列表中能成为随机变量 的分布列的是A 1 0 1P03 04 04B1 2 304 07 01C 1 0 1P03 04 03D1 2 303 04 04大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家.www.TopS【例 3】 设离散型随机变量 的分布列为X0 1 2 3 4P02 01 01 03 03求 的分布列； 的分布列21【例 4】 已知随机变量 的分布列为：
11、X21023P4316分别求出随机变量 的分布列21,YX【例 5】 袋中有 个大小规格相同的球，其中含有 个红球，从中任取 个球，求取出1223的 个球中红球个数 的概率分布3X大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家.www.TopS【例 6】 某人参加一次英语口语考试，已知在备选的 10 道试题中，能答对其中的 6 道题，规定每次考试都从备选题中随机抽出 3 道题进行测试，求答对试题数 的概率分布【例 7】 盒中的零件有 9 个正品和 3 个次品，每次取一个零件，如果取出的次品不放回，求在取得正品前已取出的次品数 的概率分布【例 8】 有六节电池，其中有 2 只没电，4 只有电，每次随机
12、抽取一个测试，不放回，直至分清楚有电没电为止，所要测试的次数 为随机变量，求 的分布列【例 9】 在 10 件产品中有 2 件次品，连续抽 3 次，每次抽 1 件，求：不放回抽样时，抽到次品数 的分布列；放回抽样时，抽到次品数 的分布列【例 10】 设随机变量 所有可能取值为 ，且已知概率 与 成正比，1234， ， ， ()Pk求 的分布大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家.www.TopS【例 11】 某一随机变量 的概率分布如下表，且 ，则 的值为（ 21.mn2n）A B C D0.20.20.0.【例 12】 设随机变量 的分布列为 ，则 的值为（ ）1(),2,33iPiaaA
13、 1 B C D913 71【例 13】 设 是一个离散型随机变量，其分布列如下表，求 的值 q-1 0 1P122q2q【例 14】 随机变量 的概率分布规律为 ，其中 是1aPn,234na常数，则 的值为（ ）152PA B C D33445560 1 2 3P.mn.大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家.www.TopS【例 15】 一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量 ，则（ ）153P A B C D7273747【例 16】 某一射手射击所得的环数 的分布列如下：4 5 6 7 8 9 10P
14、002 004 006 009 028 029 022求此射手“射击一次命中环数 ”的概率_【例 17】 设随机变量 X 的分布列是求 ； 1P3【例 18】 随机变量 的分布列 ， 为常数，则X()(1234)pPkk，p（ ）152PA B C D3344556X 1 2 3P 1/3 1/2 1/6大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家.www.TopS【例 19】 设随机变量 的概率分布列为 ，其中 为常X()126kcPX， ， ， ， c数，则 的值为（ ）(2)PA B C D3416634643【例 20】 设随机变量 的分布列为 ，求 的取X123kPXn ， ， ， ，
15、， 值【例 21】 已知 为离散型随机变量的概率分布，求 的取(12)kpk， ， 值【例 22】 若 ， ，其中 ，则 等于()1PXna ()1mPXb n()PmXn （ ）A B C D(1)ab()1()ab1()ba【例 23】 甲乙两名篮球运动员轮流投篮直至有人投中为止，设每次投篮甲投中的概大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家.www.TopS率为 ，乙投中的概率为 ，而且每次不受其他次投篮结果的影响，甲投0.40.6篮的次数为 ，若甲先投，则 _XPXk【例 24】 某 人的兴趣小组中，有 名三好生，现从中任意选 人参加竞赛，用1256表示这 人中三好生的人数，则 _X6(3)PX【例 25】 设随机变量的分布列如下：X123 nPkk4k 12k求常数 的值【例 26】 设随机变量 等可能的取值 ，如果 ，那么（ X123n， ， ， ， (4)0.3PX）A B C D3n4n91n【例 27】 设随机变量 的概率分布列为 ，则 的值是（ X2()133iPXia， ， ， a）
