1、2011 年中考数学试题汇编之压轴题（一）（黄冈市 2011）24 （14 分）如图所示，过点 F（0，1）的直线 y=kxb 与抛物线交于 M（x 1，y 1）和 N（x 2，y 2）两点（其中 x10，x 20） 214y求 b 的值求 x1x2 的值分别过 M、N 作直线 l：y =1 的垂线，垂足分别是 M1、N 1，判断M 1FN1 的形状，并证明你的结论对于过点 F 的任意直线 MN，是否存在一条定直线 m，使 m 与以 MN 为直径的圆相切如果有，请法度出这条直线 m 的解析式；如果没有，请说明理由答案：24 解：b=1显然 和 是方程组 的两组解，解方程组1xy2xy214yk
2、x消元得 ，依据“根与系数关系”得 =42104xk12AM 1FN1 是直角三角形是直角三角形，理由如下：由题知 M1 的横坐标为 x1，N 1 的横坐标为 x2，设 M1N1 交 y 轴于 F1，则F1M1F1N1=x 1x2=4，而 FF1=2，所以F1M1F1N1=F1F2，另有M 1F1F=FF 1N1=90，易证 RtM 1FF1RtN 1FF1，得M 1FF1=FN 1F1，故M 1FN1=M 1FF1F 1FN1=FN 1F1F 1FN1=90，所以M 1FN1 是直角三角形存在，该直线为 y=1理由如下：直线 y=1 即为直线 M1N1如图，设 N 点横坐标为 m，则（黄石市
3、 2011 年）24.（本小题满分 9 分）已知 与 相交于 、 两点，点 在1O2AB1O 上， 为 上一点（不与 ， ， 重合） ，直线 与 交于另一点 。2OC2ABC1D（1）如图（8） ，若 是 的直径，求证： ；2OD（2）如图(9)，若 是 外一点，求证： ；11（3）如图（10） ，若 是 内一点，判断（2）中的结论是否成立。CFMNN1M1 F1Oyxl第 22 题图FMNN1M1 F1Oyxl第 22 题解答用图PQ答案：24 （9 分）证明：（1）如图（一） ，连接 ，AB1CO 为 的直径 AC2ODB 为 的直径 在 上D11又 ， 为 的中点A 是以 为底边的等腰三
4、角形AC （3 分）（2）如图（二） ，连接 ，并延长 交 与点 ，连1O1OED四边形 内接于 EDBABC又 AC1 1/O又 为 的直径 EEDA （3 分）1CAD（3）如图（三） ，连接 ，并延长 交 与点 ，连1O1OED 又1BEEB C 又1/ODDA （3 分）A（黄石市 2011 年）25.（本小题满分 10 分）已知二次函数 248yxm（1）当 时，函数值 随 的增大而减小，求 的取值范围。2xyx（2）以抛物线 的顶点 为一个顶点作该抛物线的内接正三角形248yxmA（ ， 两点在抛物线上） ，请问： 的面积是与 无关的定值吗？若是，AMNMNm请求出这个定值；若不是
5、，请说明理由。（3）若抛物线 与 轴交点的横坐标均为整数，求整数 的值。2yxx答案：25 （10 分）解：（1） 22()48yxm由题意得， （3 分）2m（2）根据抛物线和正三角形的对称性，可知 轴，设抛物线的对称轴与 交于MNyMN点 ，则 。设BAM(,)ab ()a又 248)BAybm2(2()a 23m3am ，BMA 112323AMNSB定值 （3 分）xy0Axy0ANBM（3）令 ，即 时，有0y2480xm22()4x由题意， 为完全平方数，令2()422n即 nm 为整数， 的奇偶性相同, 2,nm 或2n解得 或2m综合得 （2011 年广东茂名市）如图，P 与
6、轴相切于坐标原点 O（0，0） ，与 轴相交于点yxA（5，0） ，过点 A 的直线 AB 与 轴的正半轴交于点 B，与P 交 于点C（1）已知 AC=3，求点的坐标； （分）（2）若 AC= , D 是 O的中点问：点 O、P、C、D 四点a是否在同一圆上？请说明理由如果这四点在同一圆上，记这个圆的圆心为 ，函数 的图象经过点 ，求 的值1xky1k（用含 的代数式表示） （分） 解：第 24 题图y第 24 题备用图y六、 （本大题共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分）24、解：（1）解法一：连接 OC，OA 是P 的直径， OCAB，在 RtAOC 中， ，149252ACO分在
7、RtAOC 和 RtABO 中，CAO=OABRtAOCRtABO，2 分 ，即 ， OBAC5433 分 ， 4 分30B)20,(解法二：连接 OC，因为 OA 是P 的直径， ACO=90在 Rt AOC 中，AO=5 ，AC=3，OC=4， 1 分过 C 作 CEOA 于点 E，则： ，OCAE2121即：， ，432155C2 分 ，3 分16)2(2EO)512,(C设经过 A、C 两点的直线解析式为： bkxy把点 A（5，0） 、 代入上式得：)512,6(， 解得： ，5126bk3204bk ， 点 4 分3204xy)320,(OB（2）点 O、P、 C、D 四点在同一个
8、圆上，理由如下：连接 CP、CD、DP，OCAB，D 为 OB 上的中点， ，B13=4，又OP=CP ， 1=2，1+3=2+4=90，PC CD，又DOOP，RtPDO 和 RtPDC 是同以 PD 为斜边的直角三角形，PD 上的中点到点 O、P、C、D 四点的距离相等，点 O、P、C、D 在以 DP 为直径的同一个圆上； 6 分由上可知，经过点 O、P 、C、D 的圆心 是 DP 的中点，圆心 ，1 )2,(1ODP由（1）知：RtAOCRt ABO ， ，求得：AB= ，在 RtABO 中，ABOa5，OD= ，aAB225 252AP ，点 在函数 的图象上，)45,(21O1Oxk
9、y ， 2ka ak16258 分（2011 年广东茂名市）如图，在平面直角坐标系 中，已知抛物线经过点(0，4) ，xoyB(1，0)，C（5，0） ，抛物线对称轴 与 轴相交于点 Ml（1）求抛物线的解析式和对称轴； （3 分）（2）设点 P 为抛物线（ ）上的一点，若以 A、O 、 M、P 为顶点的四边形四条边的5x长度为四个连续的正整数，请你直接写出点 P 的坐标； （2 分）（3）连接 AC探索：在直线 AC 下方的抛物线上是否存在一点 N，使NAC 的面积最大？若存在，请你求出点 N 的坐标；若不存在，请你说明理由 （3 分）解：25、解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为，1
10、 分)5(xay第 25 题图把点 A（0，4）代入上式得： ，54a ，2y 16)3(52)(154 2xxx分抛物线的对称轴是：33 分（2）由已知，可求得 P（6，4） 5 分提示：由题意可知以 A、O、M、P 为顶点的四边形有两条边 AO=4、OM=3，又知点 P 的坐标中 ，所以，MP2,AP2 ；因此以 1、2、3、4 为边或以 2、3、4、5 为边都不符5x合题意，所以四条边的长只能是 3、4、5、6 的一种情况，在 RtAOM 中，因为抛物线对称轴过点 M，所以在抛物线222OMA的图象上有关于点 A 的对称点与 M 的距离为 5，即 PM=5，此时点 P 横坐标为 6，5x
11、即 AP=6；故以 A、O、M、P 为顶点的四边形的四条边长度分别是四个连续的正整数3、4、5、6 成立，即P（6，4） 5 分（注：如果考生直接写出答案 P（，） ，给满分 2 分，但考生答案错误，解答过程分析合理可酌情给 1 分） 法一：在直线 AC 的下方的抛物线上存在点 N，使 NAC 面积最大设 N 点的横坐标为 ，此时点 N （ ，过点t )45,(2tt )50tN 作 NG 轴交 AC 于 G；由点 A（0，4）和点 C（5，0）可求出直y线 AC 的解析式为： ；把 代入得： ，5xt4ty则 G ，)45,(t此时：NG= -（ ） ， 42tt= tt5204分 25)(
12、1025)04(21 ttttOCNGSAC当 时，CAN 面积的最大值为 ，25t由 ，得： ，N （ ， -3） 8 分3452tty2法二：提示：过点 N 作 轴的平行线交 轴于点 E，作 CFEN 于点 F，则xyFCAEFCANCSS梯 形（再设出点 N 的坐标，同样可求 ,余下过程略）（重庆市潼南县 2011 年）26.（12 分）如图,在平面直角坐标系中，ABC 是直角三角形,ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4，抛物线 经过 A，B 两点，抛物线的顶点为 D2yxbc（1）求 b,c 的值；（2）点 E 是直角三角形 ABC 斜边 AB 上一动点( 点 A、B 除外)，
13、过点 E 作 x 轴的垂线交抛物线于点 F，当线段 EF 的长度最大时，求点 E 的坐标；（3）在（2）的条件下：求以点、为顶点的四边形的面积；在抛物线上是否存在一点 P，使EFP 是以 EF 为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点 P 的坐标；若不存在，说明理由.26. 解：（1）由已知得：A（ -1，0） B（4，5）-1 分二次函数 的图像经过点 A（-1 ，0）B(4,5)2yxbcAOCBDxy26题 备 用 图AOCBDxy6题 图 -2 分10645bc解得：b=-2 c=-3 -3 分（2 如题图：直线 AB 经过点 A（-1，0） B(4,5)直线 AB 的解析式为：y=
14、x+1二次函数 23yx设点 E(t， t+1),则 F（t， ） -4 分2tEF= -5 分2(1)= 354t当 时，EF 的最大值=2t点 E 的坐标为（ ， ） -6 分2（3）如题图：顺次连接点 E、B、F、D 得四边形 可求出点 F 的坐标（ ， ）,点 D 的坐标为（1，-4） 354S = S + SEBD四 边 行 BEFAEFA= 1223()()= -9 分758如题备用图：)过点 E 作 aEF 交抛物线于点 P,设点 P(m, )23则有： 解得: , 253m126m 26 , 16()p 26(,)p）过点 F 作 bEF 交抛物线于 ，设 （n， ）3P23则
15、有： 解得： ， （与点 F 重合，舍去）21543n12 3P1（ ， ）综上所述：所有点 P 的坐标： ， （ . 能1265(,)p 265(,)p3P1524（ ， ） 题备用图使EFP 组成以 EF 为直角边的直角三角形 -12 分（江苏省宿迁市 2011 年）26 （本题满分 10 分）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，P 是反比例函数 y （x 0）图象上的任意一点，以 P 为圆心，PO 为半径的圆与6x、y 轴分别交于点 A、B（1）判断 P 是否在线段 AB 上，并说明理由；（2）求AOB 的面积；（3）Q 是反比例函数 y （x0）图象上异于点 P 的另一点，请以
16、Q 为圆心，QO6半径画圆与 x、y 轴分别交于点 M、N，连接 AN、MB求证：ANMB解：（1）点 P 在线段 AB 上，理由如下：点 O 在P 上，且 AOB90AB 是P 的直径点 P 在线段 AB 上（2）过点 P 作 PP1x 轴，PP 2y 轴，由题意可知 PP1、 PP2是AOB 的中位线，故 SAOB OAOB 2 PP1PP2P 是反比例函数 y （x 0）图象上的任意一点6S AOB OAOB 2 PP12PP22 PP 1PP21221（3）如图，连接 MN，则 MN 过点 Q，且 SMON S AOB 12OAOB OMON OBNMAAONMOBAONMOBOANO
17、MBANMB（江苏省宿迁市 2011 年）27 （本题满分 12 分）如图，在边长为2 的正方形 ABCD 中，P 为 AB 的中点，Q 为边 CD 上一动点，设DQt（0t2） ，线段 PQ 的垂直平分线分别交边 AD、 BC 于点 M、N ，过 Q 作 QEAB于点 E，过 M 作 MFBC 于点 F（1）当 t1 时，求证： PEQ NFM；（2）顺次连接 P、M、 Q、N ，设四边形 PMQN 的面积为 S，求出 S 与自变量 t 之间的函数关系式，并求 S 的最小值解：（1）四边形 ABCD 是正方形AB D90，ADABQEAB，MFBCAEQMFB90QPNM FED CBA（第 27 题）yxQPABO（第 26 题）NMyxQPABO
