1、求解问题 D.E.： , 2=(,)0B.C.: u(0,t)=0 , u(l,t)=0I.C.: ,(,0)=()(,0)=()解：为非齐次波方程。利用 Duhamel 原理求解。而为应用 Duhamel 原理，要求 I.C.中项为 0.应用叠加原理将原式拆成 2 个问题：1. 2.D.E. D.E.=2 , 0 2=(,) , 0 B.C. B.C.(0,)=0, (,)=0 (0,)=0 , (,)=0I.C. I.C.(,0)=(), =() (,0)=0 , (,0)=0问题 1：设存在乘积解 ，则代入 D.E.，有(,)=()()=2 “=12“= 为 任意 实 数， |=2则由上
2、式可得常微分方程组 “=0“2=0则由常微分解法，判定方程为 12=0 及 222=0(1) c0,则 1=0,2=0有 =1+2=1+2所以 (,)=(1+2)(1+2)(2) c=0, = (,)=(1+2)(1+2)(3) c0 时 (0,)=(1+2)(1+2)=0(,)=(1+2)(1+2)=0上述方程无非平凡解，舍。（2）c=0, (0,)=1(1+2)=0(,)=(1+2)(1+2)=0上述方程亦无非平凡解，舍。（3）cs 的时间各分段作用引起的位移变化为 。而 ds 为一常量，(,;)=0 (,;)而此时 I.C.从时刻 s 开始，我们无法解决。所以设 可使 I.C.从时刻 0
3、 开(,;)=(,)始。可以验证上述转换无任何问题。所以有D.E.=2 0B.C.(0,;)=0,(,;)=0,I.C. ( 通过物理上的冲量定理可以导出)(,0;)=0,(,0;)=(,),(,;)=(,)则与问题 1 解法相同，可知:(,;)=1(cos +sin )sin。其中 为 足 够 大而又小于 +的正整数，且假定可以使和式收 敛 于 (,)而由 I.C.知：=0=20(,)sin 上述结果 只是 f(x,t)在时间段（s，s+ds）内作用结果，对整体个时域 t0 有：(,;)(,)=0(,;)再由线性系统的可叠加性，可知 (,)=(,)+(,)问题得解。老师：因为我学习偏微分方程
4、的时间实在太短，所以能力也极其有限，上述过程中难免有错误。而且 Duhamel 原理实际就是冲量定理法，并非老师未见过的新方法。希望老师指正。（我今天花了一上午的时间才数到电脑里）我就说一下关于上述问题求解的观点：我认为我们现在所面对的线性偏微分方程求解的根本思想是分离变量，其光辉不应为任何灵巧的技巧所掩盖。（似是原因他人的话）而线性偏微分方程求解过程中用得最多也最重要的东西应该是线性系统的可叠加性。所以 Duhamel 之所以成功的关键就是线性系统的可叠加性。课本上称此方法为冲量定理法实是有些欠妥。且 Duhamel 原理是Duhamel 在解决非齐次热方程时引入的。司陈关于初值条件的导出， =, 而在新方程中， 可 认为 是常量，所以 设 =
