1、2014 年成人高考-数学知识提纲数学复习资料 1.集合：会用列举法、描述法表示集合，会集合的交、并、补运算，能借助数轴解 决集合运算的问题，具体参看课本例 2、4、5. 2.充分必要条件 要分清条件和结论，由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可 推出条件，则条件是结论成立的必要条件。从集合角度解释，若 ，则 A 是 B 的 充分条件；若 ，则 A 是 B 的必要条件；若 A=B，则 A 是 B 的充要条件。B 例 1：对“充分必要条件”的理解.请看两个例子： （1） “ ”是“ ”的什么条件？29x3x （2） 是 的什么条件？5 我们知道，若 ，则 A 是 B 的充分条件，若
2、 “ ”，则 A 是 B 的必要条 件，但这种只记住定义的理解还不够，必须有自己的理解语言：“若 ，即是 A 能推出 B”，但这样还不够具体形象，因为“推出”指的是什么还不明确；即使借助数 轴、文氏图，也还是“抽象”的；如果用“A 中的所有元素能满足 B”的自然语言去 理解，基本能深刻把握“充分必要条件”的内容.本例中， 即集合 ，当中29x3, 的元素 不能满足或者说不属于 ，但 的元素能满足或者说属于 .假设33 ，则满足“ ”，故“ ”是“ ”的必要非|,9|2xBxAAB2xx 充分条件，同理 是 的必要非充分条件. 5 3.直角坐标系 注意某一点关于坐标轴、坐标原点、 的坐标的写法。
3、如,y 点（2，3）关于 轴对称坐标为（2，-3） ， 点（2，3）关于 轴对称坐标为（-2，3） ，y 点（2，3）关于原点对称坐标为（-2，-3） ， 点（2，3）关于 轴对称坐标为（3，2） ，x 点（2，3）关于 轴对称坐标为（-3，-2） ， 4.函数的三要素：定义域、值域、对应法则，如果两个函数三要素相同，则是相同 函数。 5.会求函数的定义域，做 21 页第一大题 6.函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性性、周期是重要的研究内容，尤 其是定义域、一次和二次函数的解析式，单调性最重要。 7. 函数的奇偶性。 （1）具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确
4、定函数的 奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。 （2）确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断 其奇偶性）： 定义法：利用函数奇偶性定义的等价形式： 或 （()0fx()1fx ） 。图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于 轴对称。()0fx y 常见奇函数： ，指数是奇数 1335,sin,tayxyxy 常见偶函数： 220,cosykxyxy 一些规律：两个奇函数相加或者相减还是奇函数，两个偶函数相加或者相减还是 偶函数，但是两种函数加减就是非奇非偶，两种函数乘除是奇函数，例如 是奇函数.sintacoxy （3）函数奇偶性的性质：
5、奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于 原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反. 如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数. 若 为偶函数，则 .()fx()(|)fxfx 奇函数 定义域中含有 0，则必有 .故 是 为奇函数的既不充0f()0f()fx 分也不必要条件。 8.函数的单调性：一般用来比较大小，而且主要用来比较指数函数、对数函数的大 小，此外，反比例函数、一次函数、二次函数的单调性也比较重要，要熟记他们的图 像的分布和走势。熟记课本第 11 页至 13 页的图和相关结论。 一次函数、反比例函数 p17 例 5 p20 例 8 9.二
6、次函数表达形式有三种：一般式： ；顶点式：2()fxabc ；零点式： ，要会根据已知条件的特点，灵活地选用2()fxamn12()fxa 二次函数的表达形式。 课本中的 p17 例 5（4） 例 6、例 7，例 10 例 11；习题 p23 8、9、10、11 10.一元一次不等式的解法关键是化为 ，再把 的系数化为 1，注意乘以或者xbx 除以一个负数不等号的方向要改变；一元一次不等式组最后取个不等式的交集，即数 轴上的公共部分。做 p42 4、5、6 大题 11.绝对值不等式只要求会做： 和|acac 或者 ，一定会去绝对值符号。做 p43 7|axbcaxb 12.一元二次不等式是重点
7、，阅读课文 33 至 34 的图表及 39 至 42 页的例题。做 43 页 8、9、10、11、12 设 , 是方程 的两实根，且 ，则其解集如下表：012x20xc12x0abcabx0abc20axbc 或|2或1|21|12|0|xa R |xa R R 对于方程 有实数解的问题。首先要讨论最高次项系数 是否为 0，02cba 其次若 ，则一定有 。042c 13. 数列的同项公式与前 n 项的和的关系 ( 数列 的前 n 项的和为 ).1,2nnsaa12nnsa 等差数列的通项公式 ；*11)()dN 其前 n 项和公式为 .1()2nnas1()2d21()nadn 等比数列的通
8、项公式 ；*1qN 其前 n 项的和公式为 或 .1 (),nnas1,nnqsa 14. 等差数列的性质： （1）当 时,则有 ，特别地，当 时，则有mpqqpnma2mnp2na (2) 若 、是等差数列， ，也成等差数列232,nnnSS （3）在等差数列 中，当项数为偶数 时， ；项数为奇数 时，a2nSnd偶 奇 21n ， （这里 即 ） ； 。奇 偶 中 21()n中 a中 :(1):奇 偶 k (4)如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列， 且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究 .
9、nmab 15.等比数列前 项和公式有两种形式，为此在求等比数列前 项和时，首先要判n 断公比 是否为 1，再由 的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比 是否为 1 时，qq q 要对 分 和 两种情形讨论求解。 16.等比数列的性质： （1）当 时，则有 ，特别地，当 时，则有mnpmnpqaA2np . 2naA (2) 若 是等比数列，且公比 ，则数列 ，也是等比数列。1232,nnnSS 当 ，且 为偶数时，数列 ，是常数数列 0，它不是等比数1q23,nnS 列. (3) 在等比数列 中，当项数为偶数 时， ；项数为奇数 时，naSq偶 奇 21n .1Sa奇 偶 (4)数列 既成
10、等差数列又成等比数列，那么数列 是非零常数数列，故常数数列n na 仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。n 这一章主要是找数字的规律，写出数列通项公式，但对等差和等比数列要求比较高， 会有较大的比重，出解答题，48 页起的例 2、3、4、5 是基础题，例 6、7、8、9 是中 档题目，例 10、11、12 是综合题。最要紧做 55 页的题目。 17. 导数的几何意义：曲线 yf（x）在点 P（ x0,f(x0)）处的切线的斜率是 相应地，).(0xf 切线方程是 );(00xfy 18.导数的应用： （1）利用导数判断函数的单调性：设函数 yf（x）在某个区间内可导， 如果 那
11、么 f(x)为增函数；如果 那么 f(x)为减函数；,0)(xf ,0)( 如果在某个区间内恒有 f(x)为常数；,0)(xf （2）求可导函数极值的步骤：求导数 ；求方程 的根；检验)(xf 0)(xf 在方程 根的左右的符号，如果左正右负，那么函数 y=f(x)在这个根处取)(xf)(xf 得最大值；如果左负右正，那么函数 y=f(x)在这个根处取得最小值。 19.本章重点是求曲线在一点处的 切线方程和多项式的导数，会求函数最 大值最小值和极值。课本 61 页例 1、3、4、5 和 64 页习题要过一过关。 20.三角函数 本章出 2 个小 题，1 个大题，不是重点内容 1 象限角的概念：
12、如果角的终边在 坐标轴上，就认为这个角不属于任何象 限。 2.弧长公式： ，扇形面积公式：|lR ，1 弧度(1rad) .2S573 3、任意角的三角函数的定义：设 是任意一个角，P 是 的终边上的任意一点(,)xy （异于原点） ， 它与原点的距离是 ，那么 ， ，20rxysin,cosyxrrtan,0yxcotxy(0) 4.特殊角的三角函数值： 1 0 -1 0 cos32262430 45 60 0 90 180 270 15 75sin1230 1 0 1 624ta31 0 0 2-32+ 3 性质 sinxcosxtanx 图像 的来 源 及图 像 95 页图 3.1 95
13、 页图 3.1 95 页图 3.1 定义 域 96 页表格 96 页表格 96 页表格 值域 96 页表格 96 页表格 96 页表格 5.三角函数的恒等变形的基本思路是：一角 二名三结构。即首先观察角与角之间的关系， 注意角的一些常用变式，角的变换是三角函 数变换的核心！第二看函数名称之间的关系， 通常“切化弦” ；第三观察代数式的结构特点。 6.基本公式: 1常见三角不等式 （1）若 ，则(0,)2x .sinta (2) 若 ，则(,) .1icosx (3) .|1 2.同角三角函数的基本关系式 ， = ，22sintancosi .tacot 3.正弦、余弦的诱导公式（参看课本 77
14、-78 页） 注意规律：横不变名竖变名，正负看象限 （1）负角变正角，再写成 2k + , ；02 (2)转化为锐角三角函数。 4.和角与差角公式 ; ;sin()sicosincos()csosin . = (辅助角 所在象限由点tanta1tab2i)ab 的象限决定, ).()b 5.二倍角公式 ，sin2icos2222cosincos1sin .2tata1 6.三角函数的周期公式 函数 ，xR 及函数 ，xR( A, 为常数，且 A0，0)的周期si()yxcs()yx ；T 函数 ， (A, 为常数，且 A0，0)的周期 .tan(),2kZT 重要例题：96 至 101 的例
15、1 到例 5 21.解三角形就完成模拟试题的相关习题即可。 22.平面向量 看 125 页例 1、2、4、5、6 及习题 1、2、3 实数与向量的积的运算律：设 、 为实数，那么(1) 结合律：(a)=()a; (2)第一分配律：(+)a=a+a; (3)第二分配律：(a+b)=a+b. 2.向量的数量积的运算律： (1) ab= ba （交换律）; 单调 性及 递增 递减 区间 96 页表格 96 页表格 96 页表格 周期 性及 奇偶 性 95、96 页表格 95、96 页 表格 9596 页表 格 对称 轴 不要求 不要求 不要求 对称 中心 不要求 不要求 不要求 最值 及指 定区 间
16、的 最值 95 页表格 95 页表格 95 页表格 简单 三角 方程 和不 等式 不要求 不要求 不要求 (2)（ a）b= （ ab）= ab= a（ b）; (3)（ a+b）c= a c +bc. 切记：两向量不能相除(相约)；向量的“乘法”不满足结合律， 4.向量平行的坐标表示 设 a= ,b= ，且 b 0，1)xy2(,) 则 a b(b 0) .A11xy 5.a 与 b 的数量积(或内积) ab=|a|b|cos 6. ab 的几何意义 数量积 ab 等于 a 的长度| a|与 b 在 a 的方向上的投影| b|cos 的乘积 7.平面向量的坐标运算 (1)设 a= ,b= ，
17、则 a+b= .1()xy2(12(,)xy (2)设 a= ,b= ，则 a-b= . ) (3)设 A ，B , 则 .21()Oy (4)设 a= ，则 a= .(,)xyR(,x (5)设 a= ,b= ，则 ab= .1)12)y 8.两向量的夹角公式 (a= ,b= ).2121cosxy1)2( 9.平面两点间的距离公式(A ，B ).xy =,ABd| 2211() 10.向量的平行与垂直 设 a= ,b= ，且 b 0，1()xy2, 则 A|b b=a .121xy a b(a 0) ab=0 . 11.“按向量平移”：点 按向量 a= 平移后得到点 .(,)P(,)hk(
18、,)Pxhyk 23. 直线方程（重点章节） 看 132 至 135 页例 1、2、3 1.直线的五种方程 （1）点斜式 1()ykx (直线 过点 ，且斜率为 )l, （2）斜截式 (b 为直线 在 y 轴上的截距).bl （3）两点式( )( 、 ( ).12y1(,Px2,)x12x112yx (4)截距式 ( 为直线横纵截距， （5）一般式 (其中 A、B 不同时为 0).xab、 0ab、 0AC 2两条直线的平行和垂直 (1)若 ，11:lyk22:lykx ; .2|,11l (2)若 , ,且 A1、 A2、B 1、B 2 都不为零,:0lAxBC:0AByC ； ；11122
19、| 212l 3.点到直线的距离 0|xd (点 ,直线 ： ).0)Pxyl0AxByC 4. 圆的四种方程 做一做第 153 页练习 1、2、3 （1）圆的标准方程 .22()()abr （2）圆的一般方程 DEF ( 0).24DEF 5.直线与圆的位置关系 直线 与圆 的位置关系有三种:0CByAx 22)(rbyax ;交rd ; .其中 .交 2BACd 二基础知识: (一)椭圆及其标准方程 p159 例 1、例 2 1.椭圆的定义： 椭圆的定义中，平面内动点与两定点 、 的距离的和大于| |这个条件不可忽视.若这个F1F2 距离之和小于| |，则这样的点不存在；若距离之和等于|
20、|，则动点的轨迹是线段 .1F2 1F2 2.椭圆的标准方程：（ 0）ab 2byax2x 3.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果 项的分母大于 项的2x2y 分母，则椭圆的焦点在 x 轴上，反之，焦点在 y 轴上. 3 椭圆的简单几何性质（ 0）.ab 椭圆的几何性质：设椭圆方程 12 线段 、 分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于 2a 和 2b，1A21B2 离心率： 0e1.e 越接近于 1 时，椭圆越扁；反之，e 越接近于 0 时，椭圆ace2 就越接近于圆. 4 双曲线及其标准方程 p167 例 1、例 2 双曲线的定义：平面内与两个定点 、 的距
21、离的差的绝对值等于常数 2a（小于| |）1F1F2 的动点 的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件 2a| |，这一条件可以用“三角形M1F2 的两边之差小于第三边”加以理解.若 2a=| |，则动点的轨迹是两条射线；若 2a| |，2 则无轨迹. 若 时，动点 的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若 时，轨迹为双1F2 1M2 曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”. 双曲线的标准方程判别方法是：如果 项的系数是正数，则焦点在 x 轴上；如果 项的系数2x y 是正数，则焦点在 y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于 b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大 小
22、来判断焦点在哪一条坐标轴上. 5.双曲线的简单几何性质 双曲线 实轴长为 2a，虚轴长为 2b，离心率 离心率 e 越大，开口12bx ace21b 越大. 双曲线 的渐近线方程为 或表示为 .若已知双曲线的渐近线2yaxaby02y 方程是 ，即 ，那么双曲线的方程具有以下形式： ，其xnmy0ny kynxm22 中 k 是一个不为零的常数. 双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1）若双曲线方程为 渐近线方程： .12ba20xyabxab (2)若渐近线方程为 双曲线可设为 .xy0y2 (3)若双曲线与 有公共渐近线，可设为 （ ，焦点在 x 轴上，12ba 2byax0 ，焦点在 y 轴上）.0 抛物线 p175 页表格，176 页例 1、例 2、例 4
