1、抽象函数单调性与奇偶性 特殊模型 抽象函数 正比例函数 f(x)=kx (k0) f(x+y)=f(x)+f(y) 幂函数 f(x)=x n f(xy)=f(x)f(y) 或 )y(fx 指数函数 f(x)=a x (a0且 a1) f(x+y)=f(x)f(y) 或 对数函数 f(x)=log ax (a0且 a1) f(xy)=f(x)+f(y) )y(fx)y(f或 正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosx f(x+T)=f(x) 正切函数 f(x)=tanx )(fx1)x(f 余切函数 f(x)=cotx yy 1.已知 ,对一切实数 、 都成立，且 ,求证 为偶函数。(
2、)()2()fxyffxyx(0)f()fx 证明：令 =0, 则已知等式变为 ()2(0)ffy 在中令 =0则 2 =2 0 =1 为偶002y()fyfx 函数。 2.奇函数 在定义域（-1，1）内递减，求满足 的实数 的取值范围。()fx 2(1)()0fmfm 解：由 得 ， 为函数，2()mf2()fx2(1)(1)ff 又 在（-1，1）内递减，()f 201 3.如果 = (a0)对任意的 有 ,比较 的大小()fx2abct()ftft(1)2(4)ff、 、 解：对任意 有 =2为抛物线 = 的对称轴t()2)ftfxy2axbc 又其开口向上 (2)最小， (1)= (3
3、)在2，)上， 为增函数x (3)1,且对于任意实数 x、y，有 f(x+y)=f(x)f(y)， 求证：f(x)在 R上为 增函数。 证明：设 R上 x11， f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)f(x1),(注意此处不能直接得大于 f(x1)，因为 f(x1)的正负还没确定) 。 取 x=y=0得 f(0)=0或 f(0)=1;若 f（0）=0,令 x0,y=0，则 f(x)=0与 x0时，f(x)1 矛盾，所以 f(0)=1，x0 时， f(x)10,x0，f(-x)1,由 ，故 f(x)0，从而 f(x2)f(x1).0)()()( xfxf得 即 f(x)在 R上是增
4、函数。 17. 已知偶函数 f(x)的定义域是 x0 的一切实数，对定义域内的任意 x1,x2都有 ，且当1212()()fxffx 时 ，1x()0,21f （1） f(x)在(0,+)上是增函数； （2）解不等式 2()fx 解： （1）设 ，则1211()ff 221()()ffxx ， ， ，即 ，21021x1x02(0f 在 上是增函数 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j()fx,) （2） ， ， 是偶函数不等式 可化为 ，(4)(ff()fx2(1)fx2(|1|)(4fxf 又函数在 上是增函数，0 ，解得：, 2|41| 2x且 18.已知函数 f(x)的定义
5、域为 R，且对 m、 nR,恒有 f(m+n)=f(m)+f(n)1,且 f( )=0,当 x 时， f(x)0.求证：22 f(x)是单调递增函数； 证明：设 x1 x2,则 x2 x1 ,由题意 f(x2 x1 )0,2 f(x2) f(x1)=f( x2 x1)+x1 f(x1)=f(x2 x1)+f(x1)1 f(x1)=f(x2 x1)1= f(x2 x1)+f( ) 1= f( x2 x1) 0, f(x)是单调递增函数. 19.定义在 R+上的函数 f(x)满足: 对任意实数 m,f(xm)=mf(x); f(2)=1. (1)求证:f(xy)=f(x)+f(y)对任意正数 x,
6、y都成立; (2)证明 f(x)是 R+上的单调增函数; (3)若 f(x)+f(x-3)2,求 x 的取值范围. 解:(1)令 x=2m,y=2n,其中 m,n为实数,则 f(xy)=f(2m+n)=(m+n)f(2)=m+n. 又 f(x)+f(y)=f(2m)+f(2n)=mf(2)+nf(2)=m+n,所以 f(xy)=f(x)+f(y),2x,x0:)2( nm121 且 使可 令设证 明 0nm)2(f)2(fx)(f)1( nm12 得由 故 f(x1)0,即 f(x2)f(x1),所以函数 f(x)在1，1上是增函数. （2）由不等式 f(x+ ) f( )得 ,解得1 x0,即为所求. 12xx
