1、第 1 页（共 23 页） 2015-2016 学年山东省临沂市郯城县八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（共 14 小题，每小题 3 分，满分 42 分） 1要使分式 有意义，则 x 的取值应满足（ ） Ax2 Bx 1 Cx=2 Dx= 1 2若三角形的三边长分别为 3，4，x1，则 x 的取值范围是（ ） A0x8 B2x8 C0x6 D2x6 3分式 可变形为（ ） A B C D 4下列代数运算正确的是（ ） A（x 3） 2=x5 B（2x） 2=2x2 C（x+1） 2=x2+1Dx 3x2=x5 5如图，已知直线 ABCD，C=125，A=45，那么 E 的大小为（ ） A70
2、 B80 C90 D100 6把多项式（m+1）（m1）+（m1）提取公因式（m 1）后，余下的部分是（ ） Am+1 B2m C2 Dm+2 7化简 结果正确的是（ ） Aab Bab Ca 2b2 Db 2a2 8如图，在边长为 2a 的正方形中央剪去一边长为（a+2）的小正方形（a2），将剩余部分剪开密铺成 一个平行四边形，则该平行四边形的面积为（ ） 第 2 页（共 23 页） Aa 2+4 B2a 2+4a C3a 24a4 D4a 2a2 9如图，给出下列四组条件： AB=DE，BC=EF，AC=DF； AB=DE， B=EBC=EF； B=E，BC=EF ，C=F； AB=DE，
3、AC=DF，B=E 其中，能使ABCDEF 的条件共有（ ） A1 组 B2 组 C3 组 D4 组 10已知 a+b=2，则 a2b2+4b 的值是（ ） A2 B3 C4 D6 11如图，在平面直角坐标系中，点 P（1，2）关于直线 x=1 的对称点的坐标为（ ） A（1，2） B（2，2） C（3，2） D（4，2） 12已知点 P（1 2a，a 2）关于 y 轴的对称点在第四象限内，且 a 为整数，则关于 x 的分式方程 + =2 的解是（ ） A3 B1 C5 D不能确定 13如图，ABC 中，AB=AC ，BD=CE ，BE=CF ，若 A=50，则DEF 的度数是（ ） 第 3
4、页（共 23 页） A75 B70 C65 D60 14如图，在ABC 中，P 、Q 分别是 BC、AC 上的点，作 PRAB，PSAC，垂足分别为 R、S，若 AQ=PQ，PR=PS ，则这四个结论中正确的有（ ） PA 平分BAC；AS=AR； QPAR； BRPCSP A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 二、填空题 15计算：（2a 2） 3a4= 16化简： = 17若 m=2n+1，则 m24mn+4n2 的值是 18小成每周末要到距离家 5 千米的体育馆打球，他骑自行车前往体育馆比乘汽车多用 10 分钟，乘汽车 的速度是骑自行车速度的 2 倍设骑自行车的速度为 x 千米/时，根
5、据题意列方程为 19如图，已知点 C 是AOB 平分线上一点，点 E，F 分别在边 OA，OB 上，如果要得到 OE=OF，需 要添加以下条件中的某一个即可，请你写出所有可能结果的序号为 OCE=OCF；OEC=OFC；EC=FC ；EF OC 第 4 页（共 23 页） 三、解答题 20分解因式： （1）x 3y4x2y+4xy； （2）a 3+2a23a 21计算： （1）（xy） 2（y+2x）（y2x）； （2）（ ） 22如图，在ABC 中，已知ABC=46，ACB=80，延长 BC 至 D，使 CD=CA，连接 AD，求 BAD 的度数 23小明和小亮在学习探索三角形全等时，碰到如
6、下一题：如图 1，若 AC=AD，BC=BD，则ACB 与 ADB 有怎样的关系？ （1）请你帮他们解答，并说明理由 （2）细心的小明在解答的过程中，发现如果在 AB 上任取一点 E，连接 CE、DE，则有 CE=DE，你知道 为什么吗？（如图 2） （3）小亮在小明说出理由后，提出如果在 AB 的延长线上任取一点 P，也有第 2 题类似的结论请你帮 他画出图形，并写出结论，不要求说明理由（如图 3） 24从甲市到乙市乘坐高速列车的路程为 180 千米，乘坐普通列车的路程为 240 千米高速列车的平均 速度是普通列车的平均速度的 3 倍高速列车的乘车时间比普通列车的乘车时间缩短了 2 小时高速
7、列 车的平均速度是每小时多少千米？ 第 5 页（共 23 页） 25在边长为 1 的小正方形组成的正方形网格中建立如图片所示的平面直角坐标系，已知格点三角形 ABC（三角形的三个顶点都在小正方形上） （1）画出ABC 关于直线 l：x=1 的对称三角形A 1B1C1；并写出 A1、B 1、C 1 的坐标 （2）在直线 x=l 上找一点 D，使 BD+CD 最小，满足条件的 D 点为 提示：直线 x=l 是过点（1，0）且垂直于 x 轴的直线 26如图：已知在ABC 中，ACB=90，AC=BC=1，点 D 是 AB 上任意一点，AE AB，且 AE=BD，DE 与 AC 相交于点 F （1）试
8、判断CDE 的形状，并说明理由 （2）是否存在点 D，使 AE=AF？如果存在，求出此时 AD 的长，如果不存在，请说明理由 第 6 页（共 23 页） 2015-2016 学年山东省临沂市郯城县八年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共 14 小题，每小题 3 分，满分 42 分） 1要使分式 有意义，则 x 的取值应满足（ ） Ax2 Bx 1 Cx=2 Dx= 1 【考点】分式有意义的条件 【分析】根据分式有意义，分母不等于 0 列式计算即可得解 【解答】解：由题意得，x2 0， 解得 x2 故选：A 【点评】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念
9、： （1）分式无意义分母为零； （2）分式有意义分母不为零； （3）分式值为零分子为零且分母不为零 2若三角形的三边长分别为 3，4，x1，则 x 的取值范围是（ ） A0x8 B2x8 C0x6 D2x6 【考点】三角形三边关系 【分析】三角形的三边关系是：任意两边之和第三边，任意两边之差第三边已知两边时，第三边 的范围是两边的差，两边的和这样就可以确定 x 的范围，从而确定 x 的值 【解答】解：依据三角形三边之间的大小关系，列出不等式组 ，解得 2x8 故选 B 【点评】考查了三角形的三边关系，能够熟练解不等式组 第 7 页（共 23 页） 3分式 可变形为（ ） A B C D 【考点
10、】分式的基本性质 【分析】根据分式的性质，分子分母都乘以1，分式的值不变，可得答案 【解答】解：分式 的分子分母都乘以1， 得 ， 故选：D 【点评】本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘以或除以同一个不为 0 的整式，分式的值不变 4下列代数运算正确的是（ ） A（x 3） 2=x5 B（2x） 2=2x2 C（x+1） 2=x2+1Dx 3x2=x5 【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法；完全平方公式 【分析】根据幂的乘方、积的乘方、完全平方公式和同底数幂的乘法计算即可 【解答】解：A、（x 3） 2=x6，错误； B、（2x） 2=4x2，错误； C、（x+1） 2=x2+2x+
11、1，错误； D、x 3x2=x5，正确； 故选 D 【点评】此题考查幂的乘方、积的乘方、完全平方公式和同底数幂的乘法，关键是根据法则进行计算 5如图，已知直线 ABCD，C=125，A=45，那么 E 的大小为（ ） A70 B80 C90 D100 【考点】三角形内角和定理；平行线的性质 第 8 页（共 23 页） 【专题】计算题 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补，求得EFA=55，再利用三角形内角和定理即可求得E 的度 数 【解答】解：ABCD，C=125， EFB=125， EFA=180125=55， A=45 ， E=180 AEFA=18045 55=80 故选 B 【点评】本
12、题应用的知识点为：两直线平行，同旁内角互补；三角形内角和定理 6把多项式（m+1）（m1）+（m1）提取公因式（m 1）后，余下的部分是（ ） Am+1 B2m C2 Dm+2 【考点】因式分解-提公因式法 【专题】压轴题 【分析】先提取公因式（m1）后，得出余下的部分 【解答】解：（m+1）（m1）+（m1）， =（m1）（m+1+1）， =（m1）（m+2） 故选 D 【点评】先提取公因式，进行因式分解，要注意 m1 提取公因式后还剩 1 7化简 结果正确的是（ ） 第 9 页（共 23 页） Aab Bab Ca 2b2 Db 2a2 【考点】约分 【专题】计算题 【分析】首先将分式的分
13、子因式分解，进而约分求出即可 【解答】解： = =ab 故选：B 【点评】此题主要考查了约分，正确分解因式是解题关键 8如图，在边长为 2a 的正方形中央剪去一边长为（a+2）的小正方形（a2），将剩余部分剪开密铺成 一个平行四边形，则该平行四边形的面积为（ ） Aa 2+4 B2a 2+4a C3a 24a4 D4a 2a2 【考点】平方差公式的几何背景 【专题】几何图形问题 【分析】根据拼成的平行四边形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，列式整理即可得解 【解答】解：（2a） 2（a+2） 2 =4a2a24a4 =3a24a4， 故选：C 【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，
14、根据拼接前后的图形的面积相等列式是解题的关键 9如图，给出下列四组条件： AB=DE，BC=EF，AC=DF； AB=DE， B=EBC=EF； B=E，BC=EF ，C=F； 第 10 页（共 23 页） AB=DE，AC=DF，B=E 其中，能使ABCDEF 的条件共有（ ） A1 组 B2 组 C3 组 D4 组 【考点】全等三角形的判定 【分析】要使ABCDEF 的条件必须满足 SSS、SAS、ASA、AAS，可据此进行判断 【解答】解：第组满足 SSS，能证明ABCDEF 第组满足 SAS，能证明ABCDEF 第组满足 ASA，能证明ABCDEF 第组只是 SSA，不能证明ABCDE
15、F 所以有 3 组能证明ABCDEF 故符合条件的有 3 组 故选：C 【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有： SSS、SAS、ASA 、AAS、HL添加时注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已 知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键 10已知 a+b=2，则 a2b2+4b 的值是（ ） A2 B3 C4 D6 【考点】因式分解的应用 【分析】把 a2b2+4b 变形为（ab）（a+b）+4b，代入 a+b=2 后，再变形为 2（a+b）即可求得最后结果 【解答】解：a+b=2， a 2b2+4b=（a b）（a+b）+4b，
16、 =2（ab）+4b， =2a2b+4b， =2（a+b）， =22， 第 11 页（共 23 页） =4 故选 C 【点评】本题考查了代数式求值的方法，同时还利用了整体思想 11如图，在平面直角坐标系中，点 P（1，2）关于直线 x=1 的对称点的坐标为（ ） A（1，2） B（2，2） C（3，2） D（4，2） 【考点】坐标与图形变化-对称 【分析】先求出点 P 到直线 x=1 的距离，再根据对称性求出对称点 P到直线 x=1 的距离，从而得到点 P 的横坐标，即可得解 【解答】解：点 P（ 1，2）， 点 P 到直线 x=1 的距离为 1（1）=2， 点 P 关于直线 x=1 的对称点
17、 P到直线 x=1 的距离为 2， 点 P的横坐标为 2+1=3， 对称点 P的坐标为（3，2） 故选 C 【点评】本题考查了坐标与图形变化对称，根据轴对称性求出对称点到直线 x=1 的距离，从而得到横坐 标是解题的关键，作出图形更形象直观 第 12 页（共 23 页） 12已知点 P（1 2a，a 2）关于 y 轴的对称点在第四象限内，且 a 为整数，则关于 x 的分式方程 + =2 的解是（ ） A3 B1 C5 D不能确定 【考点】解分式方程；关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标 【专题】计算题；分式方程及应用 【分析】根据 P 点在第四象限及 a 为整数，确定出 a 的值，代入分式方程计
18、算即可求出解 【解答】解：点 P（1 2a， a2）关于 y 轴的对称点在第四象限内，且 a 为整数， ，即 a2， a=1， 代入分式方程得： + =2， 去分母得：x+1=2x 2， 解得：x=3， 经检验 x=3 是分式方程的解， 故选 A 【点评】此题考查了解分式方程，以及关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标，熟练掌握运算法则是解本题的关 键 13如图，ABC 中，AB=AC ，BD=CE ，BE=CF ，若 A=50，则DEF 的度数是（ ） A75 B70 C65 D60 【考点】全等三角形的判定与性质 【分析】首先证明DBEECF，进而得到EFC=DEB，再根据三角形内角和计算出C
19、FE+FEC 的度数，进而得到DEB+FEC 的度数，然后可算出 DEF 的度数 第 13 页（共 23 页） 【解答】解：AB=AC， B=C ， 在DBE 和ECF 中， ， DBEECF（SAS ）， EFC=DEB， A=50 ， C=（180 50）2=65， CFE+FEC=180 65=115， DEB+FEC=115， DEF=180115=65 ， 故选：C 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，以及三角形内角和的定理，关键是掌握三角形内角和是 180 14如图，在ABC 中，P 、Q 分别是 BC、AC 上的点，作 PRAB，PSAC，垂足分别为 R、S，若 AQ=PQ
20、，PR=PS ，则这四个结论中正确的有（ ） PA 平分BAC；AS=AR； QPAR； BRPCSP A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 【考点】全等三角形的判定与性质 【分析】根据已知条件利用 HL 易证APR APS，再利用全等三角形的性质可得 PAR=PAS，AR=AS，从而可证（1）、（2）正确；由 AQ=PQ，利用等边对等角易得1=APQ， 再利用三角形外角的性质可得PQC=21，而（1）中 PA 是BAC 的角平分线可得BAC=21，等量 第 14 页（共 23 页） 代换，从而有PQC=BAC，利用同位角相等两直线平行可得 QPAR，（3）正确；根据已知条件可 知BRP 与
21、CSP 只有一角、一边对应相等，故不能证明两三角形全等，因此（4）不正确 【解答】解：（1）PA 平分BAC PR AB，PSAC，PR=PS，AP=AP ， APR APS ， PAR=PAS， PA 平分BAC； （2）由（1）中的全等也可得 AS=AR； （3）AQ=PR， 1=APQ ， PQS=1+APQ=2 1， 又PA 平分BAC ， BAC=21， PQS=BAC， PQAR ； （4）PR AB，PSAC， BRP= CSP ， PR=PS， BRP 不一定全等与CSP（只具备一角一边的两三角形不一定全等） 故选 B 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质；做题时利用了平行
22、线的判定、等边对等角、三角形外角 的性质，要熟练掌握这些知识并能灵活应用 第 15 页（共 23 页） 二、填空题 15计算：（2a 2） 3a4= 8a 10 【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法 【专题】压轴题 【分析】根据积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；同底数幂相乘，底数 不变指数相加，计算即可 【解答】解：（2a 2） 3a4， =8a6a4， =8a10 故答案为：8a 10 【点评】本题考查积的乘方的性质，同底数幂的乘法的性质，熟练掌握运算性质是解题的关键 16化简： = x+2 【考点】分式的加减法 【专题】计算题 【分析】先转化为同分母（x2）
23、的分式相加减，然后约分即可得解 【解答】解： + = = =x+2 故答案为：x+2 【点评】本题考查了分式的加减法，把互为相反数的分母化为同分母是解题的关键 17若 m=2n+1，则 m24mn+4n2 的值是 1 【考点】完全平方公式 第 16 页（共 23 页） 【专题】计算题 【分析】所求式子利用完全平方公式变形，将已知等式变形后代入计算即可求出值 【解答】解：m=2n +1，即 m2n=1， 原式=（m2n） 2=1 故答案为：1 【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键 18小成每周末要到距离家 5 千米的体育馆打球，他骑自行车前往体育馆比乘汽车多用 10 分钟，
24、乘汽车 的速度是骑自行车速度的 2 倍设骑自行车的速度为 x 千米/时，根据题意列方程为 = 【考点】由实际问题抽象出分式方程 【分析】如果设骑自行车的速度为 x 千米/时，那么乘汽车的速度为 2x 千米/ 时，根据“ 他骑自行车前往体 育馆比乘汽车多用 10 分钟”，得到等量关系为：骑自行车所用的时间 乘汽车所用的时间= ，据此列出方 程即可 【解答】解：设骑自行车的速度为 x 千米/时，那么乘汽车的速度为 2x 千米/ 时， 由题意，得 = 故答案为 = 【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键本 题用到了行程问题中的基本关系式关系：时间=路程
25、速度本题要注意：时间的单位要和所设速度的单 位相一致 19如图，已知点 C 是AOB 平分线上一点，点 E，F 分别在边 OA，OB 上，如果要得到 OE=OF，需 要添加以下条件中的某一个即可，请你写出所有可能结果的序号为 OCE=OCF；OEC=OFC；EC=FC ；EF OC 第 17 页（共 23 页） 【考点】全等三角形的判定与性质 【分析】要得到 OE=OF，就要让OCEOCF，都行，只有EC=FC 不行，因为证明三角 形全等没有边边角定理 【解答】解：若OCE=OCF ，根据三角形角平分线的性质可得，EOC=COF，故居 ASA 定 理可求出OECOFC，由三角形全等的性质可知
26、OE=OF正确； 若OEC= OFC，同可得OECOFC，由三角形全等的性质可知 OE=OF正确； 若 EC=FC 条件不够不能得出错误； 若 EFOC ，根据 SSS 定理可求出 OECOFC ，由三角形全等的性质可知 OE=OF正确 故填 【点评】本题主要考查了三角形全等的判与性质；由求线段相等转化为添加条件使三角形全等是正确解 答本题的关键 三、解答题 20分解因式： （1）x 3y4x2y+4xy； （2）a 3+2a23a 【考点】提公因式法与公式法的综合运用；因式分解-十字相乘法等 【分析】（1）先提公因式，再根据完全平方公式分解即可； （2）先提公因式，再根据十字相乘法分解即可
27、【解答】解：（1）x 3y4x2y+4xy =xy（x 24x+4） =xy（x 2） 2； （2）a 3+2a23a =a（a 2+2a3） =a（a+3）（a1） 【点评】本题考查了分解因式的应用，能熟练地掌握因式分解的方法是解此题的关键 第 18 页（共 23 页） 21计算： （1）（xy） 2（y+2x）（y2x）； （2）（ ） 【考点】分式的混合运算；完全平方公式；平方差公式 【专题】整式；分式 【分析】（1）原式利用平方差公式及完全平方公式化简，去括号合并即可得到结果； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结 果 【解答】解
28、：（1）原式=x 22xy+y2y2+4x2=5x22xy； （2）原式= = = = 【点评】此题考查了分式的混合运算，以及完全平方公式、平方差公式，熟练掌握运算法则是解本题的 关键 22如图，在ABC 中，已知ABC=46，ACB=80，延长 BC 至 D，使 CD=CA，连接 AD，求 BAD 的度数 【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质 【分析】要求BAD 的度数，只要求出C 的度数就行了，根据三角形内角和为 180，求出BAD 的度 数，根据三角形内角和外角关系及等腰三角形性质，易求C 的度数 【解答】解：ACB=80 ACD=180ACB=18080=100
29、 又CD=CA CAD=D ACD+CAD+D=180 第 19 页（共 23 页） CAD=D=40 在ABC 内 BAD=180ABCD=180 4640=94 【点评】此题主要考三角形内角与外角的关系及等腰三角形的性质；找出角之间的关系利用内角和求解 是正确解答本题的关键 23小明和小亮在学习探索三角形全等时，碰到如下一题：如图 1，若 AC=AD，BC=BD，则ACB 与 ADB 有怎样的关系？ （1）请你帮他们解答，并说明理由 （2）细心的小明在解答的过程中，发现如果在 AB 上任取一点 E，连接 CE、DE，则有 CE=DE，你知道 为什么吗？（如图 2） （3）小亮在小明说出理由
30、后，提出如果在 AB 的延长线上任取一点 P，也有第 2 题类似的结论请你帮 他画出图形，并写出结论，不要求说明理由（如图 3） 【考点】全等三角形的判定与性质 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理 SSS 证得ACBADB； （2）由（1）中的全等三角形（ACBADB）的对应角相等证得CAE=DAE，则由全等三角形的 判定定理 SAS 证得CAEDAE ，则对应边 CE=DE； （3）同（2），利用全等三角形的对应边相等证得结论 【解答】解：（1）ACBADB，理由如下： 如图 1，在ACB 与ADB 中， ， ACBADB（SSS）； （2）如图 2，由（1）知，ACBADB，则CAE=
31、DAE 在CAE 与DAE 中， 第 20 页（共 23 页） ， CAEDAE（SAS）， CE=DE； （3）如图 3，PC=PD 理由同（2），APCAPD（SAS），则 PC=PD 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边 和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形 24从甲市到乙市乘坐高速列车的路程为 180 千米，乘坐普通列车的路程为 240 千米高速列车的平均 速度是普通列车的平均速度的 3 倍高速列车的乘车时间比普通列车的乘车时间缩短了 2 小时高速列 车的平均速度是每小时多少千米？ 【考点】分式方程的应用 【分析】设普通列车平均速
32、度每小时 x 千米，则高速列车平均速度每小时 3x 千米，根据题意可得，坐高 铁走 180 千米比坐普通车 240 千米少用 2 小时，据此列方程求解 【解答】解：设普通列车平均速度每小时 x 千米，则高速列车平均速度每小时 3x 千米， 根据题意得， =2， 解得：x=90， 经检验，x=90 是所列方程的根， 则 3x=390=270 答：高速列车平均速度为每小时 270 千米 【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系， 列方程求解，注意检验 第 21 页（共 23 页） 25在边长为 1 的小正方形组成的正方形网格中建立如图片所示的平面直
33、角坐标系，已知格点三角形 ABC（三角形的三个顶点都在小正方形上） （1）画出ABC 关于直线 l：x=1 的对称三角形A 1B1C1；并写出 A1、B 1、C 1 的坐标 （2）在直线 x=l 上找一点 D，使 BD+CD 最小，满足条件的 D 点为 （ 1，1） 提示：直线 x=l 是过点（1，0）且垂直于 x 轴的直线 【考点】作图-轴对称变换；轴对称 -最短路线问题 【分析】（1）分别作出点 A、B、C 关于直线 l：x=1 的对称的点，然后顺次连接，并写出 A1、B 1、C 1 的坐标； （2）作出点 B 关于 x=1 对称的点 B1，连接 CB1，与 x=1 的交点即为点 D，此时
34、 BD+CD 最小，写出点 D 的坐标 【解答】解：（1）所作图形如图所示： A1（3，1），B 1（0，0），C 1（1，3）； （2）作出点 B 关于 x=1 对称的点 B1， 连接 CB1，与 x=1 的交点即为点 D， 此时 BD+CD 最小， 点 D 坐标为（1，1） 故答案为：（1，1） 第 22 页（共 23 页） 【点评】本题考查了根据轴对称变换作图，解答本题的关键是根据网格结构作出对应点的位置，并顺次 连接 26如图：已知在ABC 中，ACB=90，AC=BC=1，点 D 是 AB 上任意一点，AE AB，且 AE=BD，DE 与 AC 相交于点 F （1）试判断CDE 的形
35、状，并说明理由 （2）是否存在点 D，使 AE=AF？如果存在，求出此时 AD 的长，如果不存在，请说明理由 【考点】全等三角形的判定与性质 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质求出B=BAC=45 ，再求出CAE=45，从而得到 B=CAE，再利用“边角边”证明ACE 和BCD 全等，根据全等三角形对应边相等可得 CD=CE，全 等三角形对应角相等可得ACE=BCD，再求出DCE=90，从而得解； （2）根据等腰三角形两底角相等求出AEF=AFE=67.5，再根据直角三角形两锐角互余求出 ADE=22.5，然后求出ADC=67.5，利用三角形的内角和定理求出ACD=67.5 ，从而得到 A
36、CD=ADC，根据等角对等边即可得到 AD=AC 【解答】解：（1）CDE 是等腰直角三角形理由如下： ACB=90，AC=BC， B=BAC=45 ， AEAB， 第 23 页（共 23 页） CAE=9045=45 ， B=CAE， 在ACE 和BCD 中， ， ACEBCD（SAS）， CD=CE，ACE=BCD， ACD+BCD=ACB=90 ， DCE=ACD+ACE=90， CDE 是等腰直角三角形； （2）存在 AD=1理由如下： AE=AF，CAE=45， AEF=AFE= （180 45）=67.5 ， ADE=90 67.5=22.5， CDE 是等腰直角三角形， CDE=45， ADC=22.5+45=67.5， 在ACD 中，ACD=180 4567.5=67.5， ACD=ADC， AD=AC=1 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟 练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键
