1、第 1 页（共 23 页） 2015-2016 学年广西桂林市高一（上）期末数学试卷 一、选择题（12*5=60） 1已知全集 U=1，2，3，4，5，6，集合 A=1，2，5， UB=4，5，6，则集合 AB=（ ） A1 ，2 B5 C1，2，3 D3 ，4，6 2已知平面上两点 A（1，1），B（5，9），则|AB|= （ ） A10 B20 C30 D40 3下列函数中，在（0，+）上为减函数的是（ ） Af（x）=3 x B C D 4设 f（x）= ，则 f（f（2）=（ ） A1 B C D 5若幂函数 f（x）=（m 2m1）x m 在（0，+ ）上为增函数，则实数 m=（ ）
2、 A2 B1 C3 D1 或 2 6已知直线 l1：x+2ay1=0 ，与 l2：（2a 1）xay 1=0 平行，则 a 的值是（ ） A0 或 1 B1 或 C0 或 D 7若定义在 R 上的偶函数 f（x）在0，+ ）上是减函数，则有（ ） 第 2 页（共 23 页） Af（3）f （ 2）f（1） Bf（1）f（2）f（3） Cf（2）f（1）f（3） Df（3）f（1）f （ 2） 8过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（ ） A B C D 9空间四边形 ABCD 的对角线 AC=8，BD=6 ，M，N 分别为 AB，CD 的中点，并且 A
3、C 与 BD 所 成的角为 90，则 MN=（ ） A10 B6 C8 D5 10已知 a0，b0 且 ab=1，则函数 f（x）=a x 与函数 g（x）=log bx 的图象可能是（ ） A B C D 11一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） 第 3 页（共 23 页） A64 B72 C80 D112 12已知函数 f（x）=log 2（a 2x4ax+1），且 0a1，则使 f（x）0 成立的 x 的取值范围是（ ） A（，0） B（0，+） C（ ，2log a2） D（2log a2，+） 二、填空题（4*5=20）. 13计算： = 14直线 3x+4y5=0
4、到直线 3x+4y+15=0 的距离是 15在边长为 a 的等边三角形 ABC 中，ADBC 于 D，沿 AD 折成二面角 BADC 后， ，这 时二面角 BADC 的大小为 第 4 页（共 23 页） 16如图，平面 ABCD平面 ABEF，四边形 ABCD 是正方形，四边形 ABEF 是矩形，且 AF= =a，G 是 EF 的中点，则 GB 与平面 AGC 所成角的正弦值为 三、解答题（共 6 题，70 分，解答应给出文字说明，证明过程及演算步骤.） 17求下列函数的定义域： （1）f（x）=log 2 （2）f（x）= 18在平面直角坐标系 xoy 中，已知ABC 的顶点坐标为 A（2，
5、4），B（1， 2），C（2，3） （1）求直线 BC 的方程； （2）求边 BC 上高 AD 所在的直线方程 19已知函数 f（x）= （1）在下表中画出该函数的草图； （2）求函数 y=f（x）的值域、单调增区间及零点 第 5 页（共 23 页） 20某投资公司计划投资 A、 B 两种金融产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润 y 与投资量 x 成正比例，其关系如图 1，B 产品的利润 y 与投资量 x 的算术平方根成正比例，其关系如图 2，（注：利润与投资量单位：万元） （1）分别将 A、B 两产品的利润表示为投资量的函数关系式； （2）该公司已有 10 万元资金，并全部投入 A、B
6、两种产品中，问：怎样分配这 10 万元投资，才 能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？ 21如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，AC BC，点 D 是 AB 的中点求证： （1）AC BC1； （2）AC 1平面 B1CD 第 6 页（共 23 页） 22已知定义域为 R 的函数 f（x）= （a，b 是常数）是奇函数 （1）求函数 f（x）的解析式； （2）判断函数 f（x）的单调性，并证明你的结论； （3）若对于任意 都有 f（kx 2）+f（2x1）0 成立，求实数 k 的取值范围 第 7 页（共 23 页） 2015-2016 学年广西桂林市高一（上）期末数学试卷 参考答案
7、与试题解析 一、选择题（12*5=60） 1已知全集 U=1，2，3，4，5，6，集合 A=1，2，5， UB=4，5，6，则集合 AB=（ ） A1 ，2 B5 C1，2，3 D3 ，4，6 【考点】交集及其运算 【专题】集合 【分析】由题意全集 U=1，2，3，4，5，6，C UB=4， 5，6 ，可以求出集合 B，然后根据交集 的定义和运算法则进行计算 【解答】解：全集 U=1，2，3，4，5，6， 又 UB=4，5 ，6， B=1，2，3， A=1，2，5， AB=1，2， 故选：A 【点评】此题主要考查集合和交集的定义及其运算法则，是一道比较基础的题 2已知平面上两点 A（1，1），
8、B（5，9），则|AB|= （ ） A10 B20 C30 D40 【考点】两点间距离公式的应用 【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆 【分析】利用两点间距离公式求解 【解答】解：平面上两点 A（ 1，1），B（5，9）， |AB|= =10 故选：A 第 8 页（共 23 页） 【点评】本题考查两点间距离公式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的 合理运用 3下列函数中，在（0，+）上为减函数的是（ ） Af（x）=3 x B C D 【考点】函数单调性的判断与证明 【专题】函数的性质及应用 【分析】根据函数 f（x）=3 x，f（x）= ，f （x）= 在（0，+）
9、上为增函数，故排除利用对 数函数的性质可得 在（0，+）上为减函数， 满足条件，从而得出结论 【解答】解：由于函数 f（x ）=3 x，f（x）= ，f （x） = 在（0，+）上为增函数，故排除 由对数函数的性质可得 在（0，+）上为减函数，满足条件， 故选 B 【点评】本题主要考查函数的单调性，属于基础题 4设 f（x）= ，则 f（f（2）=（ ） A1 B C D 【考点】分段函数的应用；函数的值 【专题】函数的性质及应用 【分析】直接利用分段函数，由里及外逐步求解即可 【解答】解：f（x）= ，则 f（f（2）=f（2 2）=f（ ）=1 =1 = 故选：C 【点评】本题考查分段函数
10、的应用，函数值的求法，考查计算能力 5若幂函数 f（x）=（m 2m1）x m 在（0，+ ）上为增函数，则实数 m=（ ） 第 9 页（共 23 页） A2 B1 C3 D1 或 2 【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用 【专题】函数的性质及应用 【分析】直接利用幂函数的定义与性质求解即可 【解答】解：幂函数 f（x）=（m 2m1）x m 在（0，+ ）上为增函数， 所以 m2m1=1，并且 m0， 解得 m=2 故选：A 【点评】本题考查幂函数的断断续续以及幂函数的定义的应用，基本知识的考查 6已知直线 l1：x+2ay1=0 ，与 l2：（2a 1）xay 1=0 平行，则 a 的值
11、是（ ） A0 或 1 B1 或 C0 或 D 【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系 【专题】计算题；分类讨论 【分析】先检验当 a=0 时，是否满足两直线平行，当 a0 时，两直线的斜率都存在，由 ，解得 a 的值 【解答】解：当 a=0 时，两直线的斜率都不存在， 它们的方程分别是 x=1，x= 1，显然两直线是平行的 当 a0 时，两直线的斜率都存在，故它们的斜率相等， 由 ，解得：a= 综上，a=0 或 ， 故选：C 【点评】本题考查两直线平行的条件，要注意特殊情况即直线斜率不存在的情况，要进行检验 7若定义在 R 上的偶函数 f（x）在0，+ ）上是减函数，则有（ ） 第 10
12、页（共 23 页） Af（3）f （ 2）f（1） Bf（1）f（2）f（3） Cf（2）f（1）f（3） Df（3）f（1）f （ 2） 【考点】奇偶性与单调性的综合 【专题】计算题；函数的性质及应用 【分析】利用函数的单调性及奇偶性，即可得出结论 【解答】解：定义在 R 上的函数 f（x）在0 ，+）上是减函数， f（ 3）f（2）f（1）， 函数是偶函数， f（ 3）f（2 ）f（1）， 故选：A 【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合，考查学生分析解决问题的能力，比较基础 8过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（ ） A B C D 【考点
13、】球的体积和表面积 【专题】计算题 【分析】由题意设出球的半径，圆 M 的半径，二者与 OM 构成直角三角形，求出圆 M 的半径，然 后可求球的表面积，截面面积，再求二者之比 【解答】解：设球的半径为 R，圆 M 的半径 r， 由图可知，R 2= R2+r2， R2=r2，S 球 =4R2， 截面圆 M 的面积为：r 2= R2， 则所得截面的面积与球的表面积的比为： 故选 A 第 11 页（共 23 页） 【点评】本题是基础题，考查球的体积、表面积的计算，仔细体会，理解并能够应用小圆的半径、 球的半径、以及球心与圆心的连线的关系，是本题的突破口 9空间四边形 ABCD 的对角线 AC=8，B
14、D=6 ，M，N 分别为 AB，CD 的中点，并且 AC 与 BD 所 成的角为 90，则 MN=（ ） A10 B6 C8 D5 【考点】异面直线及其所成的角 【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离 【分析】取 AD 中点 P，连结 MP、NP，则 MPBD，NPAC，从而MPN=90，MP=3，PN=4，由 此能求出 MN 【解答】解：空间四边形 ABCD 的对角线 AC=8，BD=6， M，N 分别为 AB，CD 的中点，并且 AC 与 BD 所成的角为 90， 取 AD 中点 P，连结 MP、NP，则 MPBD，NPAC， MPN=90，MP=3，PN=4， MN= =5
15、 故选：D 【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培 养 10已知 a0，b0 且 ab=1，则函数 f（x）=a x 与函数 g（x）=log bx 的图象可能是（ ） 第 12 页（共 23 页） A B C D 【考点】对数函数的图像与性质；指数函数的图像与性质 【专题】常规题型；数形结合 【分析】由条件 ab=1 化简 g（x）的解析式，结合指数函数、对数函数的性质可得正确答案 【解答】解：ab=1，且 a0，b0 又 所以 f（x）与 g（x）的底数相同，单调性相同 故选 B 【点评】本题考查指数函数与对数函数的图象，以及对数运算，属中档
16、题 11一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A64 B72 C80 D112 【考点】由三视图求面积、体积 【专题】计算题 第 13 页（共 23 页） 【分析】由几何体的三视图可知，该几何体下部为正方体，边长为 4，上部为三棱锥（以正方体上 底面为底面），高为 3分别求体积，再相加即可 【解答】解：由几何体的三视图可知，该几何体下部为正方体，边长为 4，体积为 43=64， 上部为三棱锥，以正方体上底面为底面，高为 3体积 ， 故该几何体的体积是 64+8=72 故选 B 【点评】本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原几何体直观图，考查与锥体积公式， 本题是一个基
17、础题 12已知函数 f（x）=log 2（a 2x4ax+1），且 0a1，则使 f（x）0 成立的 x 的取值范围是（ ） A（，0） B（0，+） C（ ，2log a2） D（2log a2，+） 【考点】对数函数的图像与性质 【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用 【分析】首先利用对数函数的单调性得到 a2x4ax+11，然后整理，利用指数函数的单调性求 x 范 围 【解答】解：由题意，使 f（ x）0 成立即 log2（a 2x4ax+1）0，所以 a2x4ax+11， 整理得 ax4，且 0a 1，所以 xlog a4=2loga2； 故选 D 【点评】本题考查了对数函数和指数
18、函数的性质运用；注意底数与 1 的关系 二、填空题（4*5=20）. 13计算： = 【考点】对数的运算性质 【专题】计算题 【分析】利用对数的运算性质 =mlogab 即可得到答案 【解答】解： +20 第 14 页（共 23 页） = +20 = +1 = 故答案为： 【点评】本题考查对数与指数的运算性质，属于基础题 14直线 3x+4y5=0 到直线 3x+4y+15=0 的距离是 4 【考点】两条平行直线间的距离 【专题】计算题；直线与圆 【分析】利用两条平行线间的距离公式，可得结论 【解答】解：直线 3x+4y5=0 与直线 3x+4y+15=0 平行， 利用两条平行线间的距离公式，
19、可得 =4 故答案为：4 【点评】本题考查两条平行线间的距离公式，考查学生的计算能力，属于基础题 15在边长为 a 的等边三角形 ABC 中，ADBC 于 D，沿 AD 折成二面角 BADC 后， ，这 时二面角 BADC 的大小为 60 【考点】二面角的平面角及求法 【专题】计算题 第 15 页（共 23 页） 【分析】根据已知中 ADBC 于 D，易得沿 AD 折成二面角 BADC 后， BDC 即为二面角 BADC 的平面角，解三角形 BDC 即可求出二面角 BADC 的大小 【解答】解：AD BC 沿 AD 折成二面角 BADC 后， ADBD，ADCD 故BDC 即为二面角 BADC
20、 的平面角 又 BD=CD= ， BDC=60 故答案为：60 【点评】本题考查的知识点是二面角的平面角的求法，解答的关键是求出二面角的平面角，将问题 转化为一个解三角形问题 16如图，平面 ABCD平面 ABEF，四边形 ABCD 是正方形，四边形 ABEF 是矩形，且 AF= =a，G 是 EF 的中点，则 GB 与平面 AGC 所成角的正弦值为 【考点】平面与平面垂直的性质 【专题】空间位置关系与距离 【分析】由面面垂直的性质证明 CBAG，用勾股定理证明 AGBG，得到 AG平面 CBG，从而面 AGC面 BGC，在平面 BGC 内作 BHGC，垂足为 H，则 BH平面 AGC，故BG
21、H 是 GB 与平面 AGC 所成的角，解 RtCBG，可得 GB 与平面 AGC 所成角的正弦值 【解答】解：ABCD 是正方形， CBAB， 面 ABCD面 ABEF 且交于 AB， CB面 ABEF AG，GB 面 ABEF，CB AG，CBBG， 又 AD=2a，AF=a，ABEF 是矩形， G 是 EF 的中点， 第 16 页（共 23 页） AG=BG= a，AB=2a，AB 2=AG2+BG2，AGBG， BGBC=B，AG 平面 CBG，而 AG面 AGC，故平面 AGC平面 BGC 在平面 BGC 内作 BHGC，垂足为 H，则 BH平面 AGC， BGH 是 GB 与平面
22、AGC 所成的角 在 RtCBG 中，BH= = ，BG= a，sinBGH= = 故答案为： 【点评】本题考查面面垂直的判定方法，以及求线面成的角的求法，考查学生的计算能力，属于中 档题 三、解答题（共 6 题，70 分，解答应给出文字说明，证明过程及演算步骤.） 17求下列函数的定义域： （1）f（x）=log 2 （2）f（x）= 【考点】函数的概念及其构成要素 【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用 【分析】根据函数成立的条件即可求出函数的定义域 【解答】解：（1）要使函数有意义，则 3x20，即 x ， 即函数的定义域为（ ，+） （2）要使函数有意义，则 42x0， 即 2x4
23、，得 x2， 即函数的定义域为（，2 【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件，比较基础 第 17 页（共 23 页） 18在平面直角坐标系 xoy 中，已知ABC 的顶点坐标为 A（2，4），B（1， 2），C（2，3） （1）求直线 BC 的方程； （2）求边 BC 上高 AD 所在的直线方程 【考点】待定系数法求直线方程；直线的一般式方程与直线的垂直关系 【专题】直线与圆 【分析】（1）利用两点式求直线 BC 方程； （2）由（1）可求 AD 的斜率，利用点斜式求 AD 方程 【解答】解：（1）因为 B（ 1， 2），C（2，3） 所以直线 BC 的方程：
24、整理得 5x+3y+1=0； （2）因为边 BC 上高 AD，所以 AD 的斜率为 ，又 A（2，4），所以 AD 的方程为 y4= （x2）， 整理得所求方程：3x5y+14=0 【点评】本题考查了直线方程的确定；用到了两点式、点斜式求直线方程 19已知函数 f（x）= （1）在下表中画出该函数的草图； （2）求函数 y=f（x）的值域、单调增区间及零点 【考点】对数函数图象与性质的综合应用 第 18 页（共 23 页） 【专题】函数的性质及应用 【分析】（1）根据函数的解析式画出函数的图象 （2）结合函数的图象求出的值域、单调增区间及零点 【解答】解：（1）函数草图，如图所示： f（x）=
25、x 21（x 1）过点（0，1），（1，0）， 显然 f（x）=x 21（x1）与 都过点（1，0）， 且 过点（2，1） （2）y=f（x）的值域为 R， y=f（x）的单调增区间：0，1， y=f（x）的零点为 x1=1，x 2=1 【点评】本题主要考查函数的图象和性质的综合应用，分段函数的应用，属于基础题 20某投资公司计划投资 A、 B 两种金融产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润 y 与投资量 x 成正比例，其关系如图 1，B 产品的利润 y 与投资量 x 的算术平方根成正比例，其关系如图 2，（注：利润与投资量单位：万元） （1）分别将 A、B 两产品的利润表示为投资量的函数关
26、系式； （2）该公司已有 10 万元资金，并全部投入 A、B 两种产品中，问：怎样分配这 10 万元投资，才 能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？ 第 19 页（共 23 页） 【考点】函数模型的选择与应用；二次函数在闭区间上的最值 【专题】应用题 【分析】（1）由于 A 产品的利润 y 与投资量 x 成正比例，B 产品的利润 y 与投资量 x 的算术平方 根成正比例，故可设函数关系式，利用图象中的特殊点，可求函数解析式； （2）设 A 产品投入 x 万元，则 B 产品投入 10x 万元，设企业利润为 y 万元利用（1）由此可建 立函数，采用换元法，转化为二次函数利用配方法求函数的最值
27、 【解答】解：（1）设投资为 x 万元，A 产品的利润为 f（ x）万元，B 产品的利润为 g（x）万元 由题意设 f（x）=k 1x， 由图知 ， 又 g（4）=1.6， 从而 ， （2）设 A 产品投入 x 万元，则 B 产品投入 10x 万元，设企业利润为 y 万元 （0x 10） 令 ，则 = 当 t=2 时， ，此时 x=104=6 答：当 A 产品投入 6 万元，则 B 产品投入 4 万元时， 该企业获得最大利润，利润为 2.8 万元 【点评】本题的考点是函数模型的选择与应用，主要考查正比例函数模型，关键是将实际问题转化 为数学问题 21如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，A
28、C BC，点 D 是 AB 的中点求证： （1）AC BC1； （2）AC 1平面 B1CD 第 20 页（共 23 页） 【考点】直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系 【专题】证明题 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理先证明 AC平面 BCC1B1，BC 1平面 BCC1B1，即可证得 ACBC1； （2）取 BC1 与 B1C 的交点为 O，连 DO，则 OD 是三角形 ABC1 的中位线，OD AC1，而 AC1平 面 B1CD，利用线面平行的判定定理 即可得证 【解答】证明：（1）在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，CC 1平面 ABC， CC1AC， 又 ACBC，
29、BC CC1=C， AC平面 BCC1B1 ACBC1 （2）设 BC1 与 B1C 的交点为 O，连接 OD，BCC 1B1 为平行四边形，则 O 为 B1C 中点，又 D 是 AB 的中点， OD 是三角形 ABC1 的中位线，ODAC 1， 又 AC1平面 B1CD，OD 平面 B1CD， AC1平面 B1CD 第 21 页（共 23 页） 【点评】本题考查直线与平面的平行与垂直，着重考查直线与平面平行的判定定理与直线与平面垂 直的判定定理的应用，属于中档题 22已知定义域为 R 的函数 f（x）= （a，b 是常数）是奇函数 （1）求函数 f（x）的解析式； （2）判断函数 f（x）的
30、单调性，并证明你的结论； （3）若对于任意 都有 f（kx 2）+f（2x1）0 成立，求实数 k 的取值范围 【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质 【专题】证明题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用 【分析】（1）根据 f（x）为 R 上的奇函数便有 ，这样即可求出 a，b，从 而得出 ； （2）分离常数得到 ，可看出 f（x）在 R 上单调递减，根据减函数的定义，设 任意的 x1，x 2R，且 x1x 2，然后作差，通分，证明 f（x 1）f（x 2），这样便可得出 f（x）在 R 上单调递减； （3）根据 f（x）为奇函数且为减函数便可得到 kx212x 对任
31、意 恒成立，从而有 对任意 恒成立，可设 ，求导数 g（x），根据导数符号便可 得出 x=1 时，g（x）取最小值1，从而得出 k 的取值范围 第 22 页（共 23 页） 【解答】解：（1）f（x）为 R 上的奇函数； ； 解得 a=2，b=1； ； （2） ； x 增大时，f（x）减小，f（x）在 R 上为减函数，证明如下： 设 x1x 2，则： = ； x1 x2； ， ； 又 ； f（ x1）f（x 2）； f（ x）在 R 上单调递减； （3）f（x）为 R 上的奇函数，由 f（kx 2）+f（2x 1）0 得：f （kx 2）f（12x）； 又 f（x）单调递减； kx21 2x 对任意 恒成立； 对任意 x 恒成立； 设 g（x）= ， ； 时，g（x）0，x （1，3时，g（x）0； x=1 时，g（x）取到最小值 1； 第 23 页（共 23 页） k 1； 实数 k 的取值范围为（ ， 1） 【点评】考查奇函数、减函数的定义，奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为 0，分离常数法 的运用，根据减函数的定义证明一个函数为减函数的方法和过程，根据导数符号求函数的最值的方 法
