1、1 长宁区 2010 学年第一学期高三数学检测试题 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 4 分，共计 56 分） 1、已知集合 (,0A， 1,3Ba，若 AB，则实数 a 的取值范围是 2、若复数 1iz， 24iz，其中 i 是虚数单位，则复数 12z的虚部是 3、 （理）函数 的最小正周期为 2，则实数 。xay2sin)0(_a （文）函数 的最小正周期为 2，则实数 。co 4、若 的二项展开式中的第 5 项的系数是 （用数字表示） 。71(2)x 5、已知 为第三象限的角， ,则 = .3cos)4tan( 6、不等式 的解集为_。093142x 7、给出下面 4 个命题:
2、(1) 在第一象限是增函数；xytan (2)奇函数的图象一定过原点； (3)f-1(x)是 f(x)的反函数,如果它们的图象有交点,则交点 必在直线 y=x 上； (4)“ab1“是“log ab2“的充分但不必要条件.其中正确的 命题的序号是_.(把你认为正确的命题的序号都填上) 8、如图是一个算法的流程图，则最后输出的 S 9、无穷等比数列 中，公比为 ，且所有项的和为 ，则nq23 的范围是_1a 10、设函数 ，则函数 的零点是 .1,2xxf )(xfy 11、一个质地均匀的正四面体玩具的四个面上分别标有 1，2，3，4 这四个数 字若 连续两次抛掷这个玩具，则两次向下的面上的数字
3、之积为偶数的概率是 12、 （理）在 中，角 所对的边分别是 ，若 ，ABC, ,abc221bc 且 （第 8 题图） 结束 开始 输出 SY 0,1Sn2 NSn2 2 ，则 的面积等于 .4ACBAC （文）在 中，角 所对的边分别是 ，若 ，且,B,abc012A 则 的面积等于 .ABC 13、 （理）已知函数 f(x)=x22x15，定义域是 ),(Zba，值域是 15,0， 则满足条件的整数对 ),(ba有 对 （文）对于函数 ，在使 成立的所有常数 中，我们把 的最大xfMxf( M 值称为函数 的“下确界” ，则函数 的“下确界”)( ),0(,sin2)(xf 为 。_ 1
4、4、 （理）对于函数 ，在使 成立的所有常数 中，我们把 的xfxf 最大值称为函数 的“下确界” ，则函数 的)( xxxf cssii)(22 “下确界”为 。_ （文）直线 与曲线 有四个交点，则 的取值范围是 .1y2yxaa 二、选择题.（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分） 15、 “m ”是“一元二次方程 x2+x+m=0 有实数解”的（ ）4 )(Rm A、充分非必要条件 B、充分必要条件 C、必要非充分条件 D、非充分非必要条件 16、 （理）函数 f(x)=sin(2x+)+ cos(2x+)的图像关于原点对称的充要条件是3 （ ） A、=2 k ，k Z
5、B、 =k ，kZ 6 6 C、=2k ，kZ D、 =k ，kZ 3 3 （文）函数 的图像关于原点对称的充要条件是 （ ）)32sin()(xf A、=2 k ，k Z B、 =k ，kZ 6 6 C、=2k ，kZ D、 =k ，kZ 3 3 3 17、 （理）如图，连结 的各边中点得到一个新的 ，又 的ABC1CBA1 各边中点得到一个新的 ，如此无限继续下去，得2 到一系列三角形， ， ， ， 1 3, 这一系列三角形趋向于一个点 。已知M ，则点 的坐标是（ ）2,0,3,CBA 、 、 、 、)5()1,35()1,32()32,( （文）已知 ,0ab，向量 ab与 垂直，则实
6、数 的值为 A、 17 B、 C、 6 D、 67 18、 （理）已知函数 ，正实数 m,n 满足 ，且 ，若2logfxmnfn 在区间 上的最大值为 2，则 m、n 的值分别为 （ ） fx2,mn A、 B、 C、 D、,1,41,1,4 （文）如图，连结 的各边中点得到一个新的 ，又 的各边中点得1BA1C 到一个新的 ，如此无限继续下去，得到一系列三角形， ， ，2C 2BA ， 这一系列三角形趋向于一个点 。已知 ，则点3BA, M,0,3, 的坐标是（ ）M 、 、 、 、)2,5()1,35()1,32()32,( 三、解答题（本大题共 5 小题，共 74 分） 19、 （本题
7、满分 12 分，第（1）小题 6 分，第（2）小题 6 分） 若四棱锥 的底面是边长为 2 的正方形， 底面 (如图 )，PABCDPABCD 且 23 （1）求异面直线 与 所成角的大小； y xoA 2 B2 C2 C1 B1 A1 A B C y xoA 2 B2 C2 C1 B1 A1 A B C 4 （2）求四棱锥 的体积PABCD 20、 （本题满分 13 分，第（1）小题 5 分，第（2）小题 8 分） 设复数 sin2co3z (1)当 时，求 的值；4 (2)若复数 所对应的点在直线 上，求 的值。z 03yx)4sin(21co 21、 （本题满分 13 分，第（1）小题
8、6 分，第（2）小题 7 分） 为了降低能源损耗，最近上海对新建住宅的屋顶 和外墙都要求建造隔热 层某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元该建筑物每年的能源消耗费用 C（单位：万元）与隔热层厚度 （单位：x cm）满足关系： ，若不建隔热层，每年能源消耗费用0135kCxx 为 8 万元设 为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和f （1）求 的值及 的表达式；kx （2）隔热层修建多厚时，总费用 达到最小，并求最小值fx 22、 （本题满分 18 分，第（1）小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 8 分） （理）已知点 ， ， （ 为
9、正整数）都在函),(baP),(2),(nbaP 数 的图像上，其中 是以 1 为首项，2 为公差的等差数列。,0(ayx na （1）求数列 的通项公式，并证明数列 是等比数列；n （2）设数列 的前 项的和 ，求 ；nbnS1limn A B C D P 5 （3）设 ，当 时，问 的面积是否存在最大值？若存在，求)0,(naQ32nQOP 出最大值；若不存在，请说明理由； （文）设 为奇函数， 为常数。xaxf1log2 a （1）求 的值；a （2）判断函数 在 时的单调性，并说明理由；)(xf),( （3）若对于区间 上的每一个 值，不等式 恒成立，求实数4,3xmxf x21 取值
10、范围。m 23、 （本题满分 18 分，第（1）小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 8 分） .（理）已知函数 ，实数 且 。2axf()=+aR0 （1）设 ，判断函数 在 上的单调性，并说明理由；0mn)(f,mn （2）设 且 f(x)的定义域和值域都是 ，求 的最大值；时 ， ,mn （3） 若不等式 对 恒成立，求 的范围；2|()|afx1a （文）已知点 ， ， （ 为正整数）都在函数,1bP),2),(nbP 的图像上，其中 是以 1 为首项，2 为公差的等差数列。),0(ayx na （1）求数列 的通项公式，并证明数列 是等比数列；n n （2）设数列 的前
11、项的和 ，求 ；nbnS1limn （3）设 ，当 时，问 的面积是否存在最大值？若存在，求)0,(naQ32QOP 出最大值；若不存在，请说明理由； 6 2010 年第一学期高三数学检测试卷参考答案 一、填空题（共 14 题，每题 4 分，共 56 分） 1、 2、2 3、 4、280 5、 6、 0,(217),23,( 7、 （4） 8、36 9、 10、0，1 11、 12、 13、 （理）7 ， （文）),(),32 3 14、 （理）0， （文） 45 二、选择题（共 4 题，每题 5 分，共 20 分） 15、A 16、D 17、 （理）A （文） 18、 （理）C （文）BA
12、三、解答题 19、 （本题满分 12 分，每小题 6 分） 解：（1） ， 的大小即为异面直线 与 所成角的大小。BC|PPDB . 2 分 ， ，由 ， ，ADP平 面A2,3A3tanA . 4 分 ，故异面直线 与 所成角的大小为 。06PBC06 . 6 分 （2） ， 。ABDP平 面3823131PASVBCDABP . 12 分 20、 （本题满分 13 分，第（1）小题 5 分，第（2）小题 8 分） 解：（1） ，iiz 34sn3co,34 . 2 分 。21)()2|z 7 . 5 分 （2）由条件得， 。21tan,0)si2(3co . 9 分 原式= 。1tansi
13、nc . 13 分 21、 （本题满分 13 分，第（1）小题 6 分，第（2）小题 7 分） 解：（1）当 时， ， ，0x8c40k . 2 分 ， 。534)(xC )10(5386536)( xxxf . 6 分 （2） ，108)(2)f . 8 分 设 ， ，35,3tx 701822tty . 10 分 当且仅当 这时 ，因此 。时 等 号 成 立 。即 0,82tt 5x)(最 小 值 为xf . 12 分 所以，隔热层修建 厚时，总费用 达到最小，最小值为 70 万元cm5f . 13 分 22、 （本题满分 18 分，第（1）小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题
14、 8 分） （理）解：（1） ， （ ，2na)N . 2 分 ， ， 是等比数列。12nanbn （ 定 值 ）21bnnb数 列 . 4 分 (2)因为 是等比数列，且公比 ， ， 。n 12a21)(aSnn21nnaS . 6 分 当 时， ；10alim1nS 8 . 7 分 当 时， 。1a 2221 1limlilimaaSnnnn . 9 分 因此， 。 1,0li21aSn . 10 分 （3） ， ，12)3(nnb12)3(n .12 分 设 ，当 最大时，则 ，12)(2nncnc1nc . 14 分 解得 ， ， 。3.1nN2 . 16 分 所以 时 取得最大值 ，
15、因此 的面积存在最大值 。2nc94nQOP94 . 18 分 （文）解：（1）由条件得： ， ，0)(xff 01log1log22xaxa 化简得 ，因此 ，但 不符合题意，因此 。0)1(2xa1,2a （也可以直接根据函数定义域关于坐标原点对称，得出结果，同样给分） . 4 分 （2） ，xxxf )12(log1log)(12 . 6 分 当 时， 单调递减，因此 单调递增， 单调递),1(xx )(l21x)(xf 增。 （也可以利用单调性的定义判断，对照给分） . 10 分 （3）不等式为 恒成立， 。xfm)21(min)21(xf 9 .12 分 在 上单调递增， 在 上单调
16、递减，)(xf4,3x)21(4,3 在 上单调递增，x21 . 16 分 当 时取得最小值为 ， 。3815)815,(m . 18 分 23、 （本题满分 18 分，第（1）小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 8 分） （理）解：（1）设 ，则 ，nxm2 212121)( xaxafxf . 2 分 ， ， ，,0nnx21 0,2121x0)(21xff 即 ，因此函数 在 上的单调递增。)(1fxf )(xf,mn . 4 分 （2）由（1）及 的定义域和值域都是 得 ，)(xf ,nfmf)(,)( 因此 是方程 的两个不相等的正数根，nm,a21 . 6 分 等价于
17、方程 有两个不等的正数根，0)(22xx 即 ，01024)( 2122 axaa且且 解得 ，1a . 8 分 ，316)2(342 aamn ， 时， 最大值为 。),1(amn4 . 10 分 10 （3） ,则不等式 对 恒成立，即221()afxax2|()|afx1 即不等式 ,对 恒成立,2 21xa . 12 分 令 h(x)= ,易证 h(x)在 递增，同理 递减。 12x1,)1()2gx,) . 14 分 ，minmax()()3,)()hg . 16 分 。 231a1 . 18 分 （文）解：（1） ， （ ，2n)N . 2 分 ， ， 是等比数列。12nanbn （ 定 值 ）21abnnb数 列 . 4 分 (2)因为 是等比数列，且公比 ， ， 。n 1221)(aSnn21nnaS . 6 分 当 时， ；10alim1nS . 7 分 当 时， 。1a 2221 1limlili aaSnnnn . 9 分 因此， 。 1,0lim21aSn . 10 分 （3） ， ，12)3(nnb12)3(n 11 .12 分 设 ，当 最大时，则 ，12)3(21nncnc1nc . 14 分 解得 ， ， 。.1nN2 . 16 分 所以 时 取得最大值 ，因此 的面积存在最大值 。2nc94nQOP94 . 18 分
