1、北京市朝阳区 2010 2011 学年度高三年级第一学期期末统一考试 数学试卷（文科） 2011.1 （考试时间 120 分钟 满分 150 分） 本试卷分为选择题（共 40 分）和非选择题（共 110 分）两部分 第一部分（选择题 共 40 分） 注意事项： 1答第 I 卷前，考生务必将自己的姓名、考试科目涂写在答题卡上。考试结束时，将试题 卷和答题卡一并交回。 2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答 案标号，不能答在试题卷上。 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，选出 符合题目要
2、求的一项 1设全集 UR， A20x， 10Bx，则 ABI= （A） (2, 1) （B） 1, ) （C） (2, （D） (1, 2) 2已知圆的方程为 862yx，那么下列直线中经过圆心的直线方程为 （A） 0yx （B ） 01yx （C） 1 （D ） 2 3设等差数列 na的前 项和为 nS， 246a，则 5S等于 （A）10 （B）12 （C）15 (D) 30 4若 0m，则下列结论正确 的是 （A） 2n （B） 1()2mn （C ） 2logl （D ） 12logl 5要得到函数 sin()4yx的图象，只要将函数 sinyx的图 象 （A）向左平移 单位 （B）向
3、右平移 4单位 （C）向右平移 8单位 （D ）向左平移 8单位 6 关于直线 l， m及平面 ， ，下列命题中正确的是 （A）若 /， I，则 /lm； （B）若 /l， /m，则 /l； （C ）若 ， l，则 ； （D）若 /l， ，则 7设椭圆的两个焦点分别为 1F， 2，过 作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点 为 P，若 12为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 （A） （B） 2 （C） 2 （D） 2 8如图，正方体 1CDA-中， E， F 分别为棱 B， 的中点，在平面 1DA 内且与平面 1EF平行的直线 （A）有无数条 （B）有 2 条 （C ）有 1 条 （D ）
4、不存在 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在题中横线上 9已知 3cos5x， ,2，则 tanx 10 经过 点 (, )且与直线 0y垂 直的直线方程为 11 一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图与侧视图 都是边长为 2 的正三角形，俯视图半径为 1 的圆，则这个 几何体的体积为 . 12. 设 x， y满足约束条件 ,0,xy 则的最 大值为 . 13平面向量 a与 b的夹角为 6， (2, )=a， |1b，则 |2|+ab= . 14按下列程序框图运算： A B CD A1 B1 C1D1 E F 正视图
5、侧视图 俯视图 若 5x，则运算进行 次才停止；若 运算进行 3次才停止，则 x的取值范围是 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 15 （本小题满分 13 分） 已知函数 2()3sincosfxx （）求 的最小正周期； （）当 0, 2x时，求函数 ()fx的最大值和最小值及相应的 x的值 16 （本小题满分 13分） 如图，已知三棱柱 1ABC中， 1A底面 BC， 2A， 14A，2AB ， M， N分别是棱 ， 中点. （）求证： 平面 1； （）求证： /C平面 AB； （）求三棱锥 1N的体积 17 （本小题满分 13 分） 已知函
6、数 32()fxbcxd的图象过点 (0, 2)P，且在点 (1, )Mf处的切 线方程为 076y. （）求函数 )(xf的解析式； （）求函数 y的单调区间. A B C A1 B1 C1 M N 输入 x 结束 开始 输出 x 324?x 是 否 18 （本小题满分 13 分） 已知点 (4, 0)M， (1, )N，若动点 P满足 6|MNP （）求动点 P的轨迹 C的方程； （）设过点 的直线 l交轨迹 于 A， B两点，若 181275ANB ，求直线l 的斜率的取值范围. 19 （本小题满分 14 分） 已知函数 2()1fxab（ , a为实数， 0a， xR） （）当函数 的
7、图像过点 (0)，且方程 ()f有且只有一个根，求 ()fx的表达 式； （）在（）的条件下，当 2, x时， ()gxfkx是单调函数，求实数 k的取 值范围； （）若 () 0,fFxx 当 mn， 0， a，且函数 ()fx为偶函数时， 试判断 ()mn能否大于 ？ 20 （本小题满分 14 分） 已 知 点 (, )nPab（ N） 满 足 11nnab， 24nba， 且 点 1P的 坐 标 为(1, ) . ( )求 经 过 点 1， 2的 直 线 l的 方 程 ； ( ) 已 知 点 (, )nPab（ N） 在 1P， 2两 点 确 定 的 直 线 l上 ， 求 证 ： 数 列
8、 1na是 等 差 数 列 . （）在( )的 条 件 下 ， 求 对 于 所 有 n， 能 使 不 等 式 12()()na 231nkb 成 立 的 最 大 实 数 k的 值 . 北京市朝阳区 20102011 学年度高三年级第一学期期末统一考试 数学试卷（文科）参考答案 一选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B C D C C A A 二填空题： 题号 9 10 11 12 13 14 答案 43280xy32 34， (10, 28 三解答题： 15 （本小题满分 13 分） 解：（）因为 1()sin2cos2fxx1sin()62x， 4 分 所以 2T，故
9、()f的最小正周期为 . 7 分 （）因为 0x ， 所以 566x 9 分 所以当 26， 即 3时， )(f有最大值 12. 11 分 当 2x，即 0x时， x有最小值 13 分 16 （本小题满分 13 分） （）证明：因为三棱柱 1ABC中， 1A底面 BC 又因为 N平面 ， 所以 N. 1 分 因为 2AC， 是 中点， 所以 . 2 分 因为 1BI， 3 分 所以 N平面 1 4 分 （）证明：取 A的中点 G，连结 M， N， 因为 ， 分别是棱 B， 1A中点， 所以 1/N， 2. 又因为 CM， 1， 所以 /G， N. 所以四边形 是平行四边形. 6 分 A B C
10、 A1 B1 C1 M N G 所以 /CNMG. 7 分 因为 平面 1AB， 平面 1AMB， 8 分 所以 /平面 9 分 （）由（）知 平面 1N. 10 分 所以 11MN2433BAABV. 13 分 17 （本小题满分 13 分） 解：（）由 )(xf的图象经过 (0, )P，知 d， 1 分 所以 32bc. 所以 ()fxx. 3 分 由在 1, )Mf处的切线方程是 670xy， 知 6(70，即 (1)f， ()f. 5 分 所以 326,1.bc 即 23,0.bc 解得 3bc. 6 分 故所求 的解析式是 32()fxx. 7 分 （）因为 2()6f， 8 分 令
11、 230x，即 10x， 解得 1， 2. 10 分 当 x或 x时， ()fx， 11 分 当 时， 0， 12 分 故 32()fxx在 (,12)内是增函数，在 (12, )内是减函数， 在 ,1内是增函数. 13 分 18 （本小题满分 13 分） 解：（）设动点 (, )Pxy， 则 4, M， (3, 0)N， (1, )Pxy. 2 分 由已知得 22)(1(6)4(3yxx， 化简得 2y，得 3. 所以点 P的轨迹 C是椭圆， 的方程为 142yx. 6 分 （）由题意知，直线 l的斜率必存在， 不妨设过 N的直线 的方程为 ()ykx， 设 A， B两点的坐标分别为 1,
12、A， 2, By. 由 2 (1),43ykx 消去 y得 22(43)8410kxk. 8 分 因为 N在椭圆内，所以 0. 所以 21228,4.3kx 10 分 因为 211212()()()NABxykx 2xk 2222 43)(9438)1( kk ， 12 分 所以 2897345k . 解得 21 . 所以 1 或 3 . 13 分 19 （本小题满分 14 分） 解：（）因为 ()0f，所以 10ab. 1 分 因为方程 x有且只有一个根，所以 240a. 所以 24(1)b. 即 2， . 3 分 所以 2fx. 4 分 （）因为 22()1()1gxfkxkxx = 2(
13、)4 6 分 所以当 2k 或 k 时， 即 6 或 时， ()gx是单调函数 9 分 （） ()fx为偶函数，所以 0b. 所以 2()1fxa. 所以 21 ,.axF 10 分 因为 0mn，不妨设 0，则 n. 又因为 ，所以 . 所以 . 12 分 此时 22()()1Fnffnamn2()0amn. 所以 0m 14 分 20 （本小题满分 14 分） 解：( )因 为 12234ba， 所 以 213ab. 所 以 21(, )3P. 1 分 所 以 过 点 1P， 2的 直 线 l的 方 程 为 xy. 2 分 ( )因 为 (, )nb在 直 线 上 ， 所 以 21nab. 所 以 11nna. 3 分 由 11a， 得 1()na. 即 2na. 所以 12n. 所 以 n是 公 差 为 2 的 等 差 数 列 . 5 分 （）由( )得 1()na. 所以 2()n. 所以 1a. 7 分 所以 2311nnba. 8 分 依题意 2231()()nnkab 恒 成 立 . 设 1)F ， 所以只需求满足 ()kF 的 的最小值. 10 分 因为 1212321()()()nnaabn = 1213nbn= 2483n ， 所 以 ()F（ xN） 为 增 函 数 . 12 分 所以 min23(1). 所以 23k . 所 以 ax3k. 14 分
