1、河北定兴中学 20102011 学年第一学期 双曲线期末复习单元测试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的） 1双曲线 的焦距为（ ） 210xy A3 B4 C3 D423 2 “双曲线的方程为 ”是“双曲线的准线方程为 ”的（ ） 2196xy95x A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 3已知双曲线 的一个顶点到它的一条渐近线的距离为 ，则291(0)ymx15 （ ）m A1 B2 C3 D4 4双曲线 （ ， ）的左、右焦点分别是 ，过 作倾斜角为 21xyab0ab12F
2、， 1 的直线交双曲线右支于 点，若 垂直于 轴，则双曲线的离心率为（ ）30 M2Fx A B C D633 5与曲线 共焦点，而与曲线 共渐近线的双曲线方程为（ ）1492yx 16432yx A B C D61962yx21692yx 6已知双曲线 （a0,b0）的一条渐近线为 y=kx(k0),离心率 e= ,则双 2 5k 曲线方程为（ ） A =1 B C D 2xa4y215xya214xb 215xyb 7如果双曲线 上一点 P 到双曲线右焦点的距离是 2，那么点 P 到 y 轴的距离 24xy 是（ ） A B C D36362623 8 （理）若双曲线 （a0,b0）上横坐
3、标为 的点到右焦点的距离大于它到 21xy3a 左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( ) A(1,2) B(2,+ ) C(1,5) D(5,+ ) （文）双曲线 的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离0,(12bayx 相等，则双曲线离心率的取值范围是( ) A B C D 1,(1,221,) 9已知双曲线 的左右焦点分别为 ， 为 的右支上一点，且 2:196xyC12,FPC ，则 的面积等于( )21PF12PF 434896 10连接双曲线 与 的四个顶点构成的四边形的面积为 S1，连接它们2byax12ax 的的四个焦点构成的四边形的面积为 S2，则 S1：S 2 的最
4、大值是 （ ） A2 B 1 C D 4 11设椭圆 C1 的离心率为 ，焦点在 X 轴上且长轴长为 26.若曲线 C2 上的点到椭圆 C1 的35 两个焦点的距离的差的绝对值等于 8，则曲线 C2 的标准方程为（ ） A B C D42yx152yx1432yx32yx 12 为双曲线 的右支上一点， ， 分别是圆 和P196MN2(5)4 上的点，则 的最大值为（ ）2(5)1xyPMN 6789 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.把答案填在题中的横线上） 13若曲线 表示双曲线，则 的取值范围是 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 21xykk
5、14已知双曲线 的两条渐近线方程为 ，若顶点到渐近 2(0,)ab3y 线的距离为 1，则双曲线方程为 15过双曲线 的右顶点为 A，右焦点为 F。过点 F 平行双曲线的一 296xy 条渐近线的直线与双曲线交于点 B，则AFB 的面积为_ 。 16方程 所表示的曲线为 C，有下列命题： 214xyt 若曲线 C 为椭圆，则 ；4t 若曲线 C 为双曲线，则 或 ；2 曲线 C 不可能为圆； 若曲线 C 表示焦点在 上的双曲线，则 。y4t 以上命题正确的是 。 （填上所有正确命题的序号） 三、解答题（本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （本题满分
6、 12 分）已知双曲线经过点 M（ ） ，且以直线 x= 1 为右准线6, （1）如果 F（3，0）为此双曲线的右焦点，求双曲线方程； （2）如果离心率 e=2，求双曲线方程 （12 分） 18 （本题满分 12 分）设双曲线 的方程为 ，A 、B 为其左、右1C21(0,)xyab 两个顶点，P 是双曲线 上的任一点，引 ，AQ 与 BQ 相交于点 Q。1 ,QBP （1）求 Q 点的轨迹方程； （2）设（1）中所求轨迹为 ， 、 的离心率分别为 、 ，当 时，求 的2C121e212e 取值范围。 19 （本小题满分 12 分）如图，在以点 为圆心， 为直径的半圆 中，O|4ABADB ，
7、 是半圆弧上一点， ，曲线 是满足 为定值的ODABP30PC|M 动点 的轨迹，且曲线 过点 .MC （）建立适当的平面直角坐标系，求曲线 的方程； （）设过点 的直线 与曲线 相交于不同的两点 、 .l EF 若 的面积等于 ，求直线 的方程。.OEF2l 20 （本小题满分 12 分）双曲线的中心为原点 ，焦点在 轴上，两条渐近线分别为Ox ，经过右焦点 垂直于 的直线分别交 于 两点已知 成12l， F1l12l， ,ABABO、 、 等差数列，且 与 同向BA （）求双曲线的离心率； （）设 被双曲线所截得的线段的长为 4，求双曲线的方程 21 （本题满分 12 分）如图，F 为双曲
8、线 C： 的右焦点。P 为双 210,xyab 曲线 C 右支上一点，且位于 轴上方，M 为左准线上一点， 为坐标原点。已知四边形xO 为平行四边形， 。OPMPOF （）写出双曲线 C 的离心率 与 的关系式；e （）当 时，经过焦点 F 且平行于 OP 的直线1 交双曲线于 A、B 点，若 ，求此时的双曲线方2 程。 22 （本小题满分 14 分）已知双曲线 的右焦点为 ，过点 的动直线与双曲2xyF 线相交于 两点，点 的坐标是 AB， C(10)， （I）证明 为常数； （II）若动点 满足 （其中 为坐标原点） ，求点 的轨迹方程MABO MO F x y PM 第 21 题图 H
9、参考答案 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的） 1D 解：由双曲线方程得 ，于是 ，故选22210,1abc23,4c 。 2A 解：“双曲线的方程为 ” “双曲线的准线方程为 ” 2916xy95x 但是“准线方程为 ” “双曲线的方程 ”，52196xy 反例： 。故选 A。 218xy 3D 解： 取顶点 , 一条渐近线为2 19(0),3mxabm1(0)30,mxy 故选。22 1|3|954.5 4B 解：如图在 中，12RtMFA121230,Fc ，143cos0c tanc ，故选 B。223a
10、 3e 5A 解：由双曲线与曲线 共焦点知焦点在 轴上，可排除 B、D ，与曲线1492yxy 共渐近线可排除 C，故选 A。16432yx 6C 解： ， 所以 ，故选 C。5ceka225bkacb24ab 7A 解：由点 到双曲线右焦点 的距离是 2 知 在双曲线右支上又由双曲线P(6,0)P 的 第二定义知点 到双曲线右准线的距离是 ，双曲线的右准线方程是 ，3263x 故点 到 轴的距离是 选 APy463 8 （理）B 解： 20 3,aexac250,e 或 (舍去), 故选 B.213(,e （文） 解： 200aexc201)axc2(1),ae11,2,e, 而双曲线的离心
11、率 故选.,(,1, 9 解法一：双曲线 中 2:96xyC3,45abc12,05,F 21PF1210PFa 作 边上的高 ，则 2A8 2086 的面积为 故选 C。1PF12648PF 解法二：双曲线 中 2:96xyC3,5abc12,05,F 设 ， 则由 得00,Pxy， 21PF200xy 又 为 的右支上一点 PC20196xy2200619x 即 22005161xx2058 解得 或 （舍去）00395 220 14816695xy 的面积为 故选 C。12PF120Fy 10 ， ，故选212,()SabScAA1221Sabc C。 11 解：对于椭圆 ， ，曲线 为
12、双曲线， ，标准方程为：1C3,52C5,4 。故选 A。 243xy 12 解：设双曲线的两个焦点分别是 F1（5，0）与 F2（5，0） ，则这两点正好是两 圆的圆心，当且仅当点 P 与 M、F 1 三点共线以及 P 与 N、F 2 三点共线时所求的值最大，此 时 |PM|PN| （|PF 1|2）（|PF 2|1）1019，故选 B。 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.把答案填在题中的横线上） 13 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解： 。(,)(,)()0(4)10,4kkk或 14 解：如图由题设 ， 2341AP3O2aA ，所以双曲线
13、方程为3b24xy 15 解：双曲线的右顶点坐标 ，右焦点坐标215(3,0)A ，设一条渐近线方程为 ，(,0)Fyx 建立方程组 ，得交点纵坐标 ，从而 。2 4(5)3196yx32151325AFBS B P yx OA Q 16 解：若曲线 C 为椭圆，则 ，错误； 40243ttt且 若曲线 C 为双曲线，则 ，正确；(4)20tt或 当 时曲线 C 方程为 ，表示圆，错误；3t1xy 若曲线 C 表示焦点在 上的双曲线，则 ，正确。4420tt 三、解答题（本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17解：（1）设 P（x ，y ）为所求曲线上任
14、意一点，由双曲线定义得 = 16)0()3(161)0()3( 2222 MFFe 3 化简整理得 63 2yx （2） abaccae 3,22又 因此，不妨设双曲线方程为 ，132yx 因为点 M（ ）在双曲线上，所以 ，得 ，6, 62a4212b 故所求双曲线方程为 124yx 18解：（1）设 0(,)(,)PQ (,)AaBBAP ， ， ， 0220011yxyxaaA 201xyab20ybxa ，化简得： ， 2yxb224by 经检验，点 不合题意，点 Q 的轨迹方程为(,0),a 224,(0)axbya （2） 由（1）得 的方程为 ，2C241xyab ， 42222
15、11abecae ， ， 。122()e2 19解：（）解法 1：以 为原点， 所在直线分别为 轴、 轴，建立平面直O,ABDxy 角坐标系，则 ， ，依题意得(2,0)(,AB(0,2)3,1)PMP24AB（ ） 曲线 是以原点为中心， 为焦点的双曲线.C, 设实半轴长为 ，虚半轴长为 ，半焦距为 ，abc 则 ， ，曲线 的方程为 .2c22,aC12yx 解法 2：同解法 1 建立平面直角坐标系，则依题意可得 .4MABPAB 曲线 是以原点为中心， 为焦点的双曲线.C, 设双曲线的方程为 0，b0）.ayx(12 则由 解得 , 曲线 C 的方程为 2(3)4.ab2 .12yx (
16、)解法 1：依题意，可设直线 的方程为 ，代入双曲线 的方程并整理，lykC 得 .2()460kx 直线 与双曲线 相交于不同的两点 ,lCEF ,3,10)1(64)(,0122 ， kkk .3, 设 ，则由式得 于是12()()ExyF1212246,xxkk21()y = |1|34)(1 2221212 kxxk 而原点 到直线 的距离 ,Ol2dk 2222133| 1.2|1|EF kkSA 若 ，即 解得 ,OEFA ,0|3242k 满足.故满足条件的直线 有两条，其方程分别为 和l yx.2xy 解法 2：依题意，可设直线 的方程为 ,代入双曲线 C 的方程并整理，2yk
17、x 得 . 2(1)460kx 直线 与双曲线 C 相交于不同的两点 ，l ,EF .310)1(64)(,22 ， kkk 3, 设 ，则由式得12()()ExyF . 2121212234|1|kxk 当 在同一支上时（如图 1 所示） ，,EF ；1212|2OQOESSxOQxAAA 当 在不同支上时（如图 2 所示） ，, 1212|(|)|.OEFQOExxAAA 综上得 ，于是12|2S 由 及式，得 . 23|OEFkSA 若 ，即 ,解得 ,满足.2OEFSA 0|1| 242 k 2k 故满足条件的直线 有两条，方程分别为 和lyx.yx 20解：（）设 ， ，mdABOm
18、d 由勾股定理可得： 22()() 得： ， ，14dtanbOF4tanta3ABF 由倍角公式 ，解得 ,则离心率 2431ba1252e （）过 直线方程为 ,与双曲线方程 联立F()yxcb21xyab 将 ， 代入，化简有2ab5c215804212114()4axxxb 将数值代入，有 ,解得 2235843b 故所求的双曲线方程为 。 21369xy 21解：四边形 是平行四边形， ，作双曲线的右准线交 PMOFPM|OFPMc 于 H，则 ，又 ， 2|ac 2222| ceeaHac 。20e （）当 时， ， ， ，双曲线为 四边形12eca23b2143xya 是菱形，所
19、以直线 OP 的斜率为 ，则直线 AB 的方程为 ，代入OFPM()a 到双曲线方程得： ，2294860x 又 ，由 得： ，1AB211()kxx22860()49 解得 ，则 ，所以 为所求。24a27b2794y 22解：由条件知 ，设 ， (0)F， 1()Ax， 2()Bx， （I）当 与 轴垂直时，可设点 的坐标分别为 ， ，ABx， (， (2)， 此时 ()1C， ， 当 不与 轴垂直时，设直线 的方程是 xAB()ykx 代入 ，有 2y222(1)4(0kx 则 是上述方程的两个实根，所以 ， ，12x， 124kx214kx 于是 21212212()()()CABxy
20、22()()4kkxk2224)11 2()k 综上所述， 为常数 CAB1 （II）解法一：设 ，则 ， ，()Mxy， (1)Cxy， 1()CAxy， ， ，由 得：2(1CBx， 10O， BO 即123y， 21xy， 于是 的中点坐标为 AB， 当 不与 轴垂直时， ，即 x122yyx1212()yx 又因为 两点在双曲线上，所以 ， ，两式相减得AB， 21y2xy ，即 1212122()()xxy12()()y 将 代入上式，化简得 y 24xy 当 与 轴垂直时， ，求得 ，也满足上述方程ABx12x(0)M， 所以点 的轨迹方程是 M4y 解法二：同解法一得 12x， 当 不与 轴垂直时，由（I） 有 ABx 214kx 21212 24()kyk 由、得 21xk 241ky 当 时， ，由、得， ，将其代入有0y2xky 整理得 22 44()()1xyxy24xy 当 时，点 的坐标为 ，满足上述方程0kM(0)， 当 与 轴垂直时， ，求得 ，也满足上述方程ABx12x(20)M， 故点 的轨迹方程是 4y
